球體直觀圖及其北極點(diǎn)位置的構(gòu)圖方法及使用的模板的制作方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及一種球體直觀圖的畫法及其使用的模板，特別是公開一種球體直觀圖及其北極點(diǎn)位置的構(gòu)圖方法及使用的模板，本發(fā)明的模板是學(xué)校文教用品，是一種用于繪制球體直觀圖的工具模板。
【背景技術(shù)】
[0002]在二維平面上，畫出的具有立體感的圖形，叫直觀圖。選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)男逼叫型队胺较颍梢缘玫叫倍y直觀圖。因此，得到的斜二測直觀圖實(shí)際上是一個(gè)影子，斜二測直觀圖是不直觀的直觀圖。假定視線是平行的，并且視線的方向順著平行投影的方向，這時(shí)看到的投影實(shí)際上是幾何體在平行投影線法平面上的正投影。常見的正等測直觀圖就是這種正投影。這種直觀圖是直觀的直觀圖。但是，由于正等測直觀圖要求投影線與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行，這種規(guī)定，約束了人們的想象力。
[0003]幾十年來，無法簡單有效地畫出球體直觀圖一直成為學(xué)界的心中之痛，歪歪扭扭的教科書球體插圖也成為數(shù)學(xué)的一種恥辱。造成出現(xiàn)這種附圖情況的原因是生搬硬套軸測圖，對球體直觀圖北極點(diǎn)和南極點(diǎn)的位置定位不正確，見附圖3，球體直觀圖上的北極點(diǎn)是隨著赤道橢圓離心率的變小而下移的。北極點(diǎn)定位不準(zhǔn)確，南極點(diǎn)的位置也相應(yīng)不正確，勢必畫出的球體直觀圖比例失真，不能獲得良好的直觀視覺效果，見附圖1和附圖2，類似的插圖在教科書中隨處可見。
[0004]由于代表國家最高水平的、經(jīng)嚴(yán)格審定的教科書出了如此問題，高考試題插圖中問題也屢見不鮮，教師論文插圖無奇不有也就不足為怪。為了千千萬萬下一代學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)，這種狀況應(yīng)當(dāng)?shù)酱藶橹埂?br>
【發(fā)明內(nèi)容】

[0005]本發(fā)明的目的是解決現(xiàn)有技術(shù)中繪制球體直觀圖時(shí)不能正確定位北極點(diǎn)、南極點(diǎn)的問題，公開一種球體直觀圖及其北極點(diǎn)位置的構(gòu)圖方法及使用的模板，本發(fā)明設(shè)計(jì)的模板，兼容簡單多面體，還能繪制出真正的球體直觀圖，解決了目前國家標(biāo)準(zhǔn)教科書上尚未解決的難題。
[0006]本發(fā)明是這樣實(shí)現(xiàn)的:一種球體直觀圖及其北極點(diǎn)位置的構(gòu)圖方法及使用的模板，其特征在于所述北極點(diǎn)位置的確定:在T平行投影方向下，以球心0為圓心、赤道橢圓的短半軸為半徑畫圓，交赤道橢圓長半軸于點(diǎn)A，連接點(diǎn)A和圓心0為線段A0，過圓心0向球體北極方向作線段A0的垂線，與球體的輪廓圓相交于點(diǎn)D，為線段D0，過點(diǎn)A向球體北極方向作線段A0的垂線，與球體的輪廓圓相交于點(diǎn)B，為線段AB，過點(diǎn)B作線段A0的平行線，得到與線段D0相交的交點(diǎn)C，所述的交點(diǎn)C為球體直觀圖北極點(diǎn)的位置；所述球體直觀圖的南極點(diǎn)位置的確定與北極點(diǎn)的位置的確定方法相同、方向相反；過所述的北極點(diǎn)和南極點(diǎn)作球體的經(jīng)線，完成球體直觀圖的繪制。
[0007]所述的模板分為經(jīng)線模板和瑋線模板，使用所述的模板確定球體直觀圖上北極點(diǎn)的位置，所述的經(jīng)線模板繪制球體直觀圖的赤道橢圓及球體直觀圖上經(jīng)線的大圓，所述的瑋線模板在利用經(jīng)線模板畫出瑋線定位大圓的基礎(chǔ)上繪制球體直觀圖的瑋線小圓，所述的經(jīng)線模板和瑋線模板均設(shè)有繪制垂線和平行線的直線部分；所述的經(jīng)線模板上排中設(shè)置了具有同樣長軸、不同短軸的經(jīng)線橢圓，供畫大圓使用，其中標(biāo)記為8#、16#、24#的經(jīng)線橢圓為推薦使用的赤道橢圓；下排設(shè)有四個(gè)球體圓，其中右下角的球體圓為帶有用于繪制赤道橢圓基準(zhǔn)的四等分標(biāo)記的球體輪廓圓，左側(cè)三個(gè)橢圓分別為對應(yīng)于三種推薦赤道橢圓的、帶有北極點(diǎn)和南極點(diǎn)的瑋線定位大圓，在畫瑋線定位大圓的同時(shí)也畫出了北極點(diǎn)和南極點(diǎn)，最后再根據(jù)需要使用瑋線模板畫出各種不同位置的瑋線小圓。
[0008]根據(jù)附圖4，有一種正投影方向雖然不滿足正投影的要求，卻是最原始的直觀方向，稱為T平行投影方向。設(shè)平行投影線與4由、4由、4由的夾角依次為α，90°，90° -α
(α為銳角)，則稱這種投影方向?yàn)棣称叫型队胺较颉?br>[0009]軸測軸的單位長度與相應(yīng)直角坐標(biāo)軸的單位長度的比值，叫做軸向伸縮系數(shù)。根據(jù)附圖5?附圖8，軸向伸縮系數(shù)結(jié)論一:直觀圖上軸測軸方向的線段長度(作直觀圖時(shí)量取的長度)與實(shí)際長度的比值叫做軸向伸縮系數(shù)；
軸向伸縮系數(shù)結(jié)論二:在正投影時(shí)，直觀圖上軸測軸方向的線段長度也就是直接看到的、投影線法平面上的線段長度(如附圖4中的線段AC)。所以，附圖4中X軸的軸向伸縮系數(shù)=AC/AB=sin α。(線段AC就是線段AB在平行投影線法平面上的射影，而AB正是在相應(yīng)直角坐標(biāo)系中占有的計(jì)算長度)；
軸向伸縮系數(shù)結(jié)論三:在T平行投影方向下，這三個(gè)座標(biāo)軸的伸縮比例依次為sina、sin90°、sin (90° -α)，即 sina, 1，cos a。
[0010]從軸向伸縮系數(shù)的定義及其容易驗(yàn)證的結(jié)論可以看出，由軸向伸縮系數(shù)確定畫直觀圖時(shí)軸向的線段長度。在正投影時(shí)，這個(gè)長度既是畫圖的線段長度，也是眼睛看到的(假設(shè)視線與平行投影方向一致)、因而也是直觀的、在平行投影線法平面上的那一部分影像。因此，幾何體在視線法平面上的射影就是幾何體的直觀圖。
[0011]對本發(fā)明確定的北極點(diǎn)位置和南極點(diǎn)位置的證明如下。
[0012]根據(jù)附圖4，圖中的橢圓在平面中是一個(gè)圓。所以在二維平面上畫球的直觀圖時(shí)，赤道橢圓的短、長軸之比，就是的軸向伸縮系數(shù)，見附圖10。
[0013]根據(jù)附圖11，設(shè)球半徑為1，平行投影線與的夾角依次為a，90°，90° -a ( α為銳角)。以物圓心，β?為半徑畫圓交例于點(diǎn)為，過點(diǎn)為作咖勺垂線交球輪廓大圓于點(diǎn)忍，過點(diǎn)忍作的平行線交4由于點(diǎn)
[0014]由軸向伸縮系數(shù)結(jié)論二，4由的軸向伸縮比例=ΑΒ:ΜΝ=0Α !: OB^ cos β ；
又4由的軸向伸縮系數(shù)=sin a ,
所以 cos β = sin acos2 β = sin2 a1-cos2 β =1- sin2 asin2 β = cos2 a，
因?yàn)閍，β都是銳角，所以sinP=cosa sinP=A1B1= 0C 所以 0C=cos a o
[0015]由軸向伸縮系數(shù)結(jié)論三，cos α就是ζ軸的軸向伸縮比例，因此，點(diǎn)C就是北極點(diǎn)。
[0016]在確定了球體的北極點(diǎn)和南極點(diǎn)后，繪制球體直觀圖從理論上已成為可能。但現(xiàn)有技術(shù)繪制過程中過多的輔助線不僅將主要線條嚴(yán)重遮擋，而且過程極其繁瑣。雖然本發(fā)明北極點(diǎn)位置的確定方法糾正了現(xiàn)有技術(shù)中確定的北極點(diǎn)位置的歷史性錯(cuò)誤，但目前尚無一種有效的工具來簡易地完成球體直觀圖的繪制，目前普遍使用的機(jī)械制圖用的正等測模板是無法完成這種繪制的。所以在確定了球體直觀圖上北極點(diǎn)位置、南極點(diǎn)位置的基礎(chǔ)上，本發(fā)明設(shè)計(jì)了新穎、易用繪制球體直觀圖的模板，本發(fā)明設(shè)計(jì)的球體直觀圖模板分為兩塊:一塊專門用來畫球體直觀圖上的經(jīng)線大圓和一般位置大圓的經(jīng)線模板和另一塊專門用來畫球體直觀圖上的瑋線小圓的瑋線模板。
[0017]本發(fā)明的有益效果是:糾正了現(xiàn)有技術(shù)中北極點(diǎn)位置確定的錯(cuò)誤，并設(shè)計(jì)了一種由“理論上北極點(diǎn)位置的確定”引伸出的能確定北極點(diǎn)位置及南極點(diǎn)位置的模板，并提供了三種經(jīng)常使用的北極點(diǎn)