本發(fā)明涉及基于壓縮感知的波束域DOA估計，屬于計算機應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

波達方向估計(direction of arrival，DOA)是陣列信號處理中的重要研究內(nèi)容之一，在雷達、聲納、移動通信、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用。自20世紀(jì)60年代以來，研究者們提出了大量有效的DOA估計算法，主要有Capon提出的最小方差譜估計法(minimum variance distortionless response，MVDR)和以Schimidt提出的多重信號分類法(multiple signal classification，MUSIC)為代表的子空間算法。然而，上述DOA估計算法都是基于如下假設(shè)：信源信號需要統(tǒng)計固定和不相關(guān)，快拍數(shù)量足夠多，信噪比(signal noise ratio，SNR)足夠大。若在快拍數(shù)量少和低信噪比條件下，這些算法的性能將會明顯下降，尤其在信源信號相關(guān)情況下，由于接收信號協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)秩虧現(xiàn)象，導(dǎo)致這些算法的估計精確度更低。

近年來，信號處理領(lǐng)域中提出的壓縮感知(Compressing Sensing，CS)理論吸引了研究者們的極大關(guān)注，已廣泛應(yīng)用于圖像處理和無線通信等諸多領(lǐng)域。針對陣列信號處理領(lǐng)域DOA運算量較大的問題，基于CS理論，Liang G等充分利用目標(biāo)信號空域稀疏特性，提出了一種稀疏恢復(fù)l₁-SVD算法對信號DOA進行估計。該算法是在已知信源數(shù)量條件下，即使信源信號相關(guān)或陣元間距非常小的情況下，該算法都將得到信號波達方向角的高精度估計。然而，在沒有給出信源數(shù)量先驗信息的情況下，該算法估計性能會明顯下降。針對此問題，Cotter把多次快拍和匹配追蹤算法(MP)相結(jié)合對信號的波達方向角進行估計，提高了DOA估計的精確度。為了進一步提高DOA估計的分辨率和精確度，Gorodnitsky和Rao提出把欠定系統(tǒng)聚焦求解(focal underdetermined system solver，F(xiàn)OCUSS)算法和l_p懲罰函數(shù)結(jié)合對信號波達方向角進行估計，其中p＜1。此外，為了避免接收信號協(xié)方差矩陣求解產(chǎn)生奇異值的缺陷，L.Sun等人提出一種通過迭代和閾值轉(zhuǎn)換的DOA估計方法。Chen Y等人基于波束域采用Dantzig Selector算法實現(xiàn)DOA估計，減少了算法的計算復(fù)雜度。然而，Dantzig Selector算法的DOA估計譜峰相對比較寬，不利于角度高分辨。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

針對上述問題，本發(fā)明提出一種基于波束域的測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解(beamspace-regularized multi-vectors focal undetermined system solver，BS-RMFOCUSS)算法。所提算法利用目標(biāo)信號空域稀疏特性，基于壓縮感知理論，采用隨機陣列對空域稀疏信號進行壓縮采樣，然后將接收到的壓縮信號從陣元域映射到波束域，得到波束空間的接收信號數(shù)據(jù)矩陣，隨后采用性能較好的RMFOCUSS算法進行DOA估計。與MFOCUSS算法相比，BS-RMFOCUSS算法在低信噪比條件下也可獲得較高角度分辨率；與傳統(tǒng)的CAPON算法和MUSIC算法相比，所提算法能夠?qū)ο嚓P(guān)信號進行有效估計，且具有更高的角度分辨力及更優(yōu)的角度估計性能。

本發(fā)明具體步驟包含如下：

1.壓縮感知模型

(1)稀疏字典描述

假設(shè)為N×1的信號矢量，則x可表示為稀疏字典Ψ中列向量的線性組合，設(shè)對應(yīng)的系數(shù)為z_i，i＝1,2,…,N，即

其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,…,ψ_N]為N×N的正交稀疏字典，z＝[z₁,z₂,…,z_N]為包含K＜＜N個非零值的N×1維信息矢量，即若||z||₀＝K＜＜N，則稱信號x為正交稀疏字典Ψ上的K稀疏信號，||z||₀表示信息矢量z的l₀范數(shù)。

(2)測量矩陣描述

壓縮感知理論表明，x可以通過在M×N的投影測量矩陣Φ上得到的M＝KO(logN)個線性投影測量值近似重構(gòu)，其中投影測量矩陣和稀疏字典Ψ互不相關(guān)，測量矩陣Φ中的元素可以從L×M(L＜M)維高斯隨機矩陣隨機抽取，且滿足約束等距性質(zhì)準(zhǔn)則，即滿足下列不等式：

其中δ_K為K-約束等距常數(shù)，是使對任何K稀疏信號上述不等式成立的最小數(shù)。

所以，投影觀測矢量y可表示為：

y＝Φx＝ΦΨz＝Θz (3)

其中，Θ＝ΦΨ為感知矩陣，滿足約束等距性質(zhì)準(zhǔn)則條件。

(3)陣列信號稀疏表述

基于上述分析，信息矢量z可以由投影觀測矢量y通過求解l₀范數(shù)優(yōu)化問題近似重構(gòu)：

min||z||₀s.t.y＝Θz (4)

優(yōu)化問題(4)實際上是一個NP-hard問題，求解l₀范數(shù)優(yōu)化問題可以通過松弛化轉(zhuǎn)化為求解l₁范數(shù)凸優(yōu)化問題，即求解l₁范數(shù)與求解l₁范數(shù)將會產(chǎn)生等價解。所以優(yōu)化問題(4)可以進一步表示為：

min||z||₁s.t.y＝Θz (5)

在噪聲存在的情況下，式(3)重寫為：

y＝Θz+w (6)

其中w為加性高斯白噪聲，即w～CN(0,σ²I)。

所以，z估計的優(yōu)化模型可表示為：

min||z||₁s.t.||y-Θz||₂＜ε (7)

其中ε為與噪聲有關(guān)的一個常量。最優(yōu)化問題(7)可以通過正交匹配追蹤和多矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解等算法近似求解。

2.信號波達方向角估計的稀疏表示

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到一個具有M個全方向陣列、陣元間距為d的理想均勻線性陣列上，其中陣元間距d的大小為半波長，所以每個陣元接收的復(fù)合信號表示為：

其中a(θ_k)＝[1,exp(-jα),…,exp(-j(M-1)α)]^T表示來波方向θ_k的M×1維陣列導(dǎo)向矢量，α＝2π/λsin(θ_k)表示均勻線性陣列平面內(nèi)各陣元之間的第k條信號到達此陣元時的相移，w(t)表示疊加在陣列上的M×1維噪聲矢量。

為了便于推導(dǎo)，(8)式可重新表示為：

x(t)＝As(t)+w(t) (9)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_k)]是陣列流型矩陣，s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_k(t)]^T是K×1維信號矢量。

基于壓縮感知的陣列DOA估計模型中，角度支撐空間一致性劃分為角度字典的形式，其中角度字典代表所有來波信號的可能方向，N_S決定信號波達方向角估計的分辨率，一般情況下N_S＞＞M。由上述分析，可得過完備陣列流型矩陣，即過完備稀疏基，則每個可能的來波信號對應(yīng)導(dǎo)向矢量可表示為：

定義N_S×1信號稀疏矢量:

其中K個非零系數(shù)對應(yīng)于原信號所在幅度信息，零系數(shù)對應(yīng)于剩下N_S-K個原信號幅度信息。

基于式(10)和式(11)，式(9)可重新表示為：

x(t)＝Ψz(t)+w(t) (12)

由此，將接收信號x(t)投影至投影測量矩陣Φ，可得：

y(t)＝Φx(t)＝ΦΨz(t)+Φw(t) (13)

對于多次快拍，快拍數(shù)量為N，上式可表示為：

Y＝ΦX＝ΦΨΖ+ΦW＝ΘZ+ΦW (14)

由式(14)可知，上述算法基于陣元域建立接收信號模型，在采用稀疏重構(gòu)算法實現(xiàn)DOA估計的同時，也會導(dǎo)致算法計算量大、估計穩(wěn)定性差等問題，實施性比較差。

3.波束域RMFOCUSS重構(gòu)算法

(1)波束轉(zhuǎn)換矩陣

為了進一步提高DOA估計的精確度和穩(wěn)健性，降低DOA估計算法的運算復(fù)雜度，本發(fā)明提出一種波束域的欠定系統(tǒng)聚焦求解算法，通過波束轉(zhuǎn)換矩陣T將陣列接收到的信號從陣元域映射到波束域，即：

y_B(t)＝T^HΦx(t)＝Φ_BΨz(t)+Φ_Bw(t) (15)

其中T表示M×N_B的波束形成矩陣，N_B代表波束的數(shù)量，Φ_B＝T^HΦ，波束形成矩陣T需要滿足波束形成矩陣T可表示為：

其中m為波束形成矩陣的始端點。

對于多次快拍，式(15)重寫為：

Y_B(t)＝T^HΦX(t)＝Φ_BΨZ(t)+Φ_BW(t)＝Θ_BZ(t)+Φ_BW(t) (17)

其中，Θ_B＝Φ_BΨ表示波束域下的感知矩陣。

(2)基于RMFOCUSS算法的波達方向優(yōu)化問題求解

基于上述分析，基于壓縮感知的波束域DOA估計優(yōu)化問題可表示如下：

其中，0≤p≤1,q≥1為稀疏度測量的松弛形式，行范數(shù)表示為：p,q為折衷稀疏性與優(yōu)化問題凸性參數(shù)，z[i]＝[z⁽¹⁾[i],z⁽²⁾[i],…,z^(L)[i]]為Z的第i行。

上述優(yōu)化問題可以采用拉格朗日乘子法進行求解，即：

min||Y_B-Θ_BZ||_F+γJ^(p,q)(Z) (19)

其中γ為平衡估計誤差與稀疏性的參數(shù)，可以根據(jù)修正l曲線法預(yù)先選取最優(yōu)的r值，其取值在一定的信噪比范圍內(nèi)變化較小。

式(19)可通過DOA近似重構(gòu)算法實現(xiàn)求解，本發(fā)明通過RMFOCUSS算法對優(yōu)化模型(19)中的稀疏信號z進行估計，得到BS-RMFOCUSS算法的譜估計公式：

P(θ_i)＝||z(i,:)||₂。 (20)

本發(fā)明有益效果：針對傳統(tǒng)波達方向角估計算法采樣數(shù)據(jù)量大導(dǎo)致較大計算復(fù)雜度的問題，本發(fā)明基于壓縮感知理論，利用目標(biāo)信號的空域稀疏性，提出一種基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解算法。該算法將目標(biāo)壓縮信號從陣元域映射到波束域，在一定程度上克服了稀疏重構(gòu)算法無法用于低信噪比情況下的缺陷，且具有較低的運算復(fù)雜度。仿真表明，與傳統(tǒng)DOA估計算法相比，本發(fā)明所提算法具有更優(yōu)的參數(shù)估計性能。實現(xiàn)本發(fā)明的基本思路是，首先基于壓縮感知理論得到陣列信號波達方向的稀疏表達式，然后利用波束轉(zhuǎn)換矩陣將接收到的壓縮信號從陣元域映射到波束域，最后引入RMFOCUSS算法進行求解。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實現(xiàn)的流程圖；

圖2為本發(fā)明在非相干信號時的空域譜估計圖；

圖3為本發(fā)明在鄰近非相干信號時的空域譜估計圖；

圖4為本發(fā)明在-10dB時的非相干信號的空域譜估計圖；

圖5為本發(fā)明在非相干信號時DOA估計均方根誤差隨信噪比的變化曲線圖；

圖6為本發(fā)明在相干信號時的空域譜估計圖。

本發(fā)明的效果可通過以下仿真進一步說明：

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比具有以下優(yōu)點：

本發(fā)明基于波束域，將目標(biāo)壓縮信號從陣元域映射到波束域，在一定程度上克服了稀疏重構(gòu)算法無法用于低信噪比情況下的缺陷，且具有更高的角度分辨能力、估計精度和較低的運算復(fù)雜度。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖1對本發(fā)明的實現(xiàn)步驟做進一步詳細(xì)描述：

1壓縮感知模型

(1)稀疏字典描述

假設(shè)為N×1的信號矢量，則x可表示為稀疏字典Ψ中列向量的線性組合，設(shè)對應(yīng)的系數(shù)為z_i，i＝1,2,…,N，即

其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,…,ψ_N]為N×N的正交稀疏字典，z＝[z₁,z₂,…,z_N]為包含K＜＜N個非零值的N×1維信息矢量，即若||z||₀＝K＜＜N，則稱信號x為正交稀疏字典Ψ上的K稀疏信號，||z||₀表示信息矢量z的l₀范數(shù)。

(2)測量矩陣描述

壓縮感知理論表明，x可以通過在M×N的投影測量矩陣Φ上得到的M＝KO(logN)個線性投影測量值近似重構(gòu)，其中投影測量矩陣和稀疏字典Ψ互不相關(guān)，測量矩陣Φ中的元素可以從L×M(L＜M)維高斯隨機矩陣隨機抽取，且滿足約束等距性質(zhì)準(zhǔn)則，即滿足下列不等式：

其中δ_K為K-約束等距常數(shù)，是使對任何K稀疏信號上述不等式成立的最小數(shù)。

所以，投影觀測矢量y可表示為：

y＝Φx＝ΦΨz＝Θz (23)

其中，Θ＝ΦΨ為感知矩陣，滿足約束等距性質(zhì)準(zhǔn)則條件。

(3)陣列信號稀疏表述

基于上述分析，信息矢量z可以由投影觀測矢量y通過求解l₀范數(shù)優(yōu)化問題近似重構(gòu)：

min||z||₀s.t.y＝Θz (24)

優(yōu)化問題(4)實際上是一個NP-hard問題，求解l₀范數(shù)優(yōu)化問題可以通過松弛化轉(zhuǎn)化為求解l₁范數(shù)凸優(yōu)化問題，即求解l₁范數(shù)與求解l₁范數(shù)將會產(chǎn)生等價解。所以優(yōu)化問題(4)可以進一步表示為：

min||z||₁s.t.y＝Θz (25)

在噪聲存在的情況下，式(3)重寫為：

y＝Θz+w (26)

其中w為加性高斯白噪聲，即w～CN(0,σ²I)。

所以，z估計的優(yōu)化模型可表示為：

min||z||₁s.t.||y-Θz||₂＜ε (27)

其中ε為與噪聲有關(guān)的一個常量。最優(yōu)化問題(7)可以通過正交匹配追蹤和多矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解等算法近似求解。

2.信號波達方向角估計的稀疏表示

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到一個具有M個全方向陣列、陣元間距為d的理想均勻線性陣列上，其中陣元間距d的大小為半波長，所以每個陣元接收的復(fù)合信號表示為：

其中a(θ_k)＝[1,exp(-jα),…,exp(-j(M-1)α)]^T表示來波方向θ_k的M×1維陣列導(dǎo)向矢量，α＝2π/λsin(θ_k)表示均勻線性陣列平面內(nèi)各陣元之間的第k條信號到達此陣元時的相移，w(t)表示疊加在陣列上的M×1維噪聲矢量。

為了便于推導(dǎo)，(8)式可重新表示為：

x(t)＝As(t)+w(t) (29)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_k)]是陣列流型矩陣，s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_k(t)]^T是K×1維信號矢量。

基于壓縮感知的陣列DOA估計模型中，角度支撐空間一致性劃分為角度字典的形式，其中角度字典代表所有來波信號的可能方向，N_S決定信號波達方向角估計的分辨率，一般情況下N_S＞＞M。由上述分析，可得過完備陣列流型矩陣，即過完備稀疏基，則每個可能的來波信號對應(yīng)導(dǎo)向矢量可表示為：

定義N_S×1信號稀疏矢量:

其中K個非零系數(shù)對應(yīng)于原信號所在幅度信息，零系數(shù)對應(yīng)于剩下N_S-K個原信號幅度信息。

基于式(10)和式(11)，式(9)可重新表示為：

x(t)＝Ψz(t)+w(t) (32)

由此，將接收信號x(t)投影至投影測量矩陣Φ，可得：

y(t)＝Φx(t)＝ΦΨz(t)+Φw(t) (33)

對于多次快拍，快拍數(shù)量為N，上式可表示為：

Y＝ΦX＝ΦΨΖ+ΦW＝ΘZ+ΦW (34)

由式(14)可知，上述算法基于陣元域建立接收信號模型，在采用稀疏重構(gòu)算法實現(xiàn)DOA估計的同時，也會導(dǎo)致算法計算量大、估計穩(wěn)定性差等問題，實施性比較差。

3.波束域RMFOCUSS重構(gòu)算法

(1)波束轉(zhuǎn)換矩陣

為了進一步提高DOA估計的精確度和穩(wěn)健性，降低DOA估計算法的運算復(fù)雜度，本發(fā)明提出一種波束域的欠定系統(tǒng)聚焦求解算法，通過波束轉(zhuǎn)換矩陣T將陣列接收到的信號從陣元域映射到波束域，即：

y_B(t)＝T^HΦx(t)＝Φ_BΨz(t)+Φ_Bw(t) (35)

其中T表示M×N_B的波束形成矩陣，N_B代表波束的數(shù)量，Φ_B＝T^HΦ，波束形成矩陣T需要滿足波束形成矩陣T可表示為：

其中m為波束形成矩陣的始端點。

對于多次快拍，式(15)重寫為：

Y_B(t)＝T^HΦX(t)＝Φ_BΨZ(t)+Φ_BW(t)＝Θ_BZ(t)+Φ_BW(t) (37)

其中，Θ_B＝Φ_BΨ表示波束域下的感知矩陣。

(2)基于RMFOCUSS算法的波達方向優(yōu)化問題求解

基于上述分析，基于壓縮感知的波束域DOA估計優(yōu)化問題可表示如下：

其中，0≤p≤1,q≥1為稀疏度測量的松弛形式，行范數(shù)表示為：p,q為折衷稀疏性與優(yōu)化問題凸性參數(shù)，z[i]＝[z⁽¹⁾[i],z⁽²⁾[i],…,z^(L)[i]]為Z的第i行。

上述優(yōu)化問題可以采用拉格朗日乘子法進行求解，即：

min||Y_B-Θ_BZ||_F+γJ^(p,q)(Z) (39)

其中γ為平衡估計誤差與稀疏性的參數(shù)，可以根據(jù)修正l曲線法預(yù)先選取最優(yōu)的r值，其取值在一定的信噪比范圍內(nèi)變化較小。

式(19)可通過DOA近似重構(gòu)算法實現(xiàn)求解，本發(fā)明通過RMFOCUSS算法對優(yōu)化模型(19)中的稀疏信號z進行估計，得到BS-RMFOCUSS算法的譜估計公式：

P(θ_i)＝||z(i,:)||₂ (40)

本發(fā)明的效果可通過以下仿真進一步說明：

仿真條件：陣元個數(shù)M＝12，信號快拍數(shù)為50，波束數(shù)為8，網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量為361。目標(biāo)信號采用零均值、方差為1的復(fù)高斯隨機信號，目標(biāo)信號與加性復(fù)高斯噪聲互不相關(guān)。BS-RMFOCUSS算法中，折衷考慮稀疏性與優(yōu)化問題的凸性，仿真中取p＝0.8，q＝2，γ＝20。

仿真內(nèi)容：

仿真1：非相干信號的空域譜估計。兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖2為采用CAPON算法、MUSIC算法和本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。

由圖2可以看出，在兩個非相干信號角度間隔為5°時，各算法均能正確分辨出兩個目標(biāo)角度，且具有相近的估計性能，需要注意的是，本發(fā)明提出的BS-RMFOCUSS算法比CAPON算法、MUSIC算法空域譜估計輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，因而具有更好的角度分辨力及估計精度。

仿真2：鄰近非相干信號的空域譜估計。兩個入射角度分別為10°和12°的鄰近非相干信號，信噪比為10dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖3為采用CAPON算法、MUSIC算法和本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。

由圖3可以看出，在兩個鄰近非相干信號角度間隔為2°時，本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法能夠?qū)︵徑繕?biāo)實現(xiàn)有效估計，而CAPON算法和MUSIC算法無法分辨兩個鄰近信號，表明本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法具有更高的分辨能力。

仿真3：-10dB時的非相干信號的空域譜估計。兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為-10dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖4為采用CAPON算法、MUSIC算法和本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。

由圖4可以看出，在低信噪比條件下，本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法能夠成功分辨兩個信號，而CAPON算法和MUSIC算法只出現(xiàn)了一個譜峰，無法分辨兩個信號，表明本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法在低信噪比的情況下同樣具有較好的分辨能力。

仿真4：兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖5為采用CAPON算法、MUSIC算法和本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系曲線。

從圖5可以看出，本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法在低信噪比條件下的均方根誤差曲線略低于CAPON和MUSIC方法，且隨著信噪比的增大，各算法的均方根誤差曲線均趨向于平穩(wěn)狀態(tài)。

仿真5：相干信號的空域譜估計。兩個入射角度分別為10°和20°的相干信號，信噪比為10dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖6為采用CAPON算法、MUSIC算法和本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。

從圖6可以看出，CAPON算法和MUSIC算法在相干信號情況下，不能對兩個相干信號進行精確有效的估計，而本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法能夠成功分辨兩個相干信號，表明本發(fā)明所提BS-RMFOCUSS算法在信號相干的情況下同樣具有較好的分辨能力。

綜上所述，本發(fā)明基于壓縮感知理論，利用目標(biāo)信號的空域稀疏性，提出一種基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解算法。該算法利用低旁瓣的波束形成器，將目標(biāo)壓縮信號從陣元域映射到波束域，避免了傳統(tǒng)波達方向角估計算法采樣數(shù)據(jù)量大導(dǎo)致較大計算復(fù)雜度的問題。仿真結(jié)果表明本發(fā)明所提算法在低信噪比和相干信號條件下，具有更優(yōu)的參數(shù)估計性能，且均方根誤差低于傳統(tǒng)DOA估計算法。由此，本發(fā)明所提算法可以為工程應(yīng)用中陣列信號處理領(lǐng)域的DOA估計性能研究提供堅實的理論與實現(xiàn)依據(jù)。