本發(fā)明屬于信號(hào)處理與通信領(lǐng)域，涉及一種低復(fù)雜度的魯棒子空間估計(jì)方法。

背景技術(shù)：

子空間方法在信號(hào)處理、通信以及計(jì)算機(jī)視覺中具有重要的應(yīng)用，其主要作用是通過選取低維不相關(guān)的變量成分來表示高維數(shù)據(jù)，以便于達(dá)到降噪和降維的效果。傳統(tǒng)子空間方法大多為基于歐式范數(shù)(l2)空間下的低秩矩陣分解，例如基于截?cái)嗥娈愔祷蛱卣鞣纸獾膒ca(principalcomponentanalysis)方法；《multipleemitterlocationandsignalparameterestimation》。眾所周知，這種傳統(tǒng)基于l2范數(shù)的方法不能夠適用于脈沖噪聲，因?yàn)閘2范數(shù)僅在高斯背景噪聲下具有最優(yōu)性。事實(shí)上，在許多實(shí)際應(yīng)用中，噪聲成分除了包含一些相對(duì)較小幅度的高斯擾動(dòng)之外，還包含了一小部分的奇異點(diǎn)(outliers)。這些奇異點(diǎn)通常是由于傳感器的異常擾動(dòng)、放大器飽和以及一些惡意的攻擊或干擾等因素而造成的。

近年來，研究適用于脈沖噪聲下的子空間估計(jì)受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。由于l2范數(shù)對(duì)脈沖噪聲不具有魯棒性，學(xué)者們開始嘗試?yán)闷渌鼘?duì)脈沖噪聲不具有敏感性的代價(jià)函數(shù)。最常用的代價(jià)函數(shù)為l1罰函數(shù)。首先，它具有比l2函數(shù)更低罰函數(shù)值特性；另外，它的凸函數(shù)特性使得在算法求解上也比較容易實(shí)現(xiàn)?！秓ptimalalgorithmsforl1-subspacesignalprocessing》利用基于l1范數(shù)的投影最大化算法；然而，該算法的計(jì)算復(fù)雜度非常高(隨著數(shù)據(jù)維數(shù)增加而呈指數(shù)型增長)，因此不實(shí)用于較大的數(shù)據(jù)模型。《practicallow-rankmatrixapproximationunderrobustl1-norm》利用交替優(yōu)化求解低秩矩陣分解的方法分離出子空間，主要通過線性或二階錐規(guī)劃求解每一個(gè)凸子優(yōu)化問題?！秎p-music:robustdirection-ofarrivalestimatorforimpulsivenoiseenvironments》利用lp(1＜p＜2)范數(shù)為代價(jià)函數(shù)求解復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)條件下的低秩矩陣分解，但仍然使用交替凸優(yōu)化方法求解最小化問題，不同的是子問題通過復(fù)牛頓迭代算法求解。然而，該方法的計(jì)算復(fù)雜度仍然相對(duì)較高，因?yàn)槊恳粋€(gè)子問題都需要搜索最優(yōu)的步長和求解hessian矩陣(包括矩陣求逆運(yùn)算)。另外，與l1范數(shù)和lp(1＜p＜2)范數(shù)相比較，lp(1＜p＜2)范數(shù)對(duì)脈沖噪聲更具有魯棒性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，從低秩矩陣分解的觀點(diǎn)來求解子空間，提出了一種低復(fù)雜度的魯棒子空間估計(jì)方法，具體為高效的迭代重加權(quán)算法，該方法不需要任何的步長搜索，每次迭代都是一個(gè)子問題的最優(yōu)閉式解。該方法能夠適用于多種不同類型的脈沖噪聲，為子空間估計(jì)提供了靠性保證。

本發(fā)明的技術(shù)方案是：

一種低復(fù)雜度的魯棒子空間估計(jì)方法，該方法用于對(duì)脈沖噪聲兼具魯棒性的子空間估計(jì)，其特征在于，包括以下步驟：

s1、獲取接收信號(hào)如下公式1：

y＝y(tǒng)t+e(公式1)

公式1中，為無污染的測(cè)量信號(hào)，e為脈沖噪聲；

s2、根據(jù)魯棒子空間估計(jì)的目的，即找到和r＜＜min{m,n}，且使得yt盡可能的逼近uv^h，如下公式2：

yt≈uv^h(公式2)

公式2中，(·)^h表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算；

將目標(biāo)u和v分解為2r個(gè)塊變量，且每個(gè)塊變量為u和v的列矢量，采用如下迭代方法獲取u和v：

s21、設(shè)初始迭代數(shù)k＝0，并隨機(jī)初始化初始化權(quán)重矩陣w為空矩陣；

s22、將第k次迭代估計(jì)值u(k)和v(k)賦給中間變量和

s23、通過公式r＝(kmodr)+1獲取每次要更新的列r；其中，mod表示求余運(yùn)算；

s24、根據(jù)獲得的列r，通過如下公式3獲得矩陣hr：

公式3中，和分別表示矩陣和的第i個(gè)列向量；

s25、對(duì)權(quán)重矩陣w進(jìn)行更新：

首先，將權(quán)重矩陣w更新為然后，如果|wij|≤ε，那么將wij更新為否則，wij更新為其中，wij為w的第i行、j列元素，ε>0，p∈(0,2]；

s26、對(duì)列向量ur(k+1)進(jìn)行更新：

采用如下公式4更新列向量ur(k+1)中的m個(gè)元素：

其中，[ur(k+1)]i表示u(k+1)的第r個(gè)列向量的第i個(gè)元素，1≤i≤m，hr[i,:]表示矩陣hr的第i行，w[i,:]表示矩陣w的第i行，為hadmard積；

s27、采用如步驟s25的方法再次更新權(quán)重矩陣w：

首先，將權(quán)重矩陣w更新為然后，如果|wij|≤ε，那么將wij更新為否則，wij更新為

s28、對(duì)列向量vr(k+1)進(jìn)行更新：

采用如下公式5更新列向量vr(k+1)中的n個(gè)元素：

公式5中，[vr(k+1)]j表示v(k+1)的第r個(gè)列向量的第j個(gè)元素，hr[:,j]表示矩陣hr的第j列，w[:,j]表示矩陣w的第j列；

s29、采用如下公式6更新u(k+1)，v(k+1)：

s210、更新迭代次數(shù)k:k＝k+1；

s211、判斷迭代次數(shù)k是否達(dá)到預(yù)設(shè)值，若是，則進(jìn)入步驟s3，若否，則返回到步驟s22繼續(xù)迭代更新；

s3、將s2中的輸出目標(biāo)值u(k)和v(k)分別賦給u和v；orth(u)為所需的列子空間，其中orth表示正交化。

為了處理常規(guī)范數(shù)不具有二階可微分性，本發(fā)明利用文獻(xiàn)《sparsegeneralizedeigenvalueproblemviasmoothoptimization》中的改進(jìn)的lp范數(shù)

其中，|·|表示絕對(duì)值或求模運(yùn)算(對(duì)復(fù)數(shù)變量)，ε>0為平滑參數(shù)(同時(shí)提供了魯棒性)。

基于通過求解如下最優(yōu)化問題找到所需的子空間：

其中，γ>0為正則化參數(shù)，||·||f為frobenius范數(shù)，且

其中，[·]ij表示對(duì)應(yīng)矩陣的第(i,j)元。

直接求解優(yōu)化問題是非常困難的，特別是對(duì)于較高的數(shù)據(jù)維數(shù)，即當(dāng)m或n很大時(shí)，每一步迭代中使用常規(guī)的梯度下降法都需要搜索對(duì)應(yīng)的步長。為了減小計(jì)算復(fù)雜度，一種減少此計(jì)算復(fù)雜度的有效策略是將待優(yōu)化變量分解為比較小的塊變量，然后對(duì)相應(yīng)較容易求解的字問題進(jìn)行優(yōu)化。為此，本發(fā)明提出了一種有效的塊迭代重新加權(quán)算法來求解問題，并且，每個(gè)子問題都有唯一的閉式解。因此，相對(duì)于常規(guī)的塊坐標(biāo)下降(bcd，blockcoordinatedescent)方法而言，此方法還不需要任何步長的搜索。

本發(fā)明的法涉及兩個(gè)關(guān)鍵：1)將未知變量分解為一系列塊變量并選擇塊(索引)更新規(guī)則；2)找到適當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)于原始目標(biāo)函數(shù)的上界函數(shù)。首先，我們將未知變量(u，v)分解成2r個(gè)塊成分，且每個(gè)塊變量為u和v的列矢量。采用這種塊分解策略的主要原因是其可以導(dǎo)致一種高效的算法，且該算法在每次迭代中只需要基本的向量四則運(yùn)算操作，因此具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。具體來說，假設(shè)在當(dāng)前迭代的估計(jì)為(u(k),v(k))，則在下一次迭代中，我們只需要更新兩個(gè)列矢量變量，其分別為ur(k+1)和vr(k+1)，其中mod為求余運(yùn)算。這種塊更新的方式稱之為round-robin(circle)fashion更新規(guī)則。在數(shù)學(xué)上，下一次迭代估計(jì)為求解如下兩個(gè)優(yōu)化問題：

其中，

值得注意的是，雖然上式仍然沒有一個(gè)閉式解，但是本發(fā)明提出的方法可以找到這兩個(gè)優(yōu)化問題的逼近解，從而避免步長因子的搜索問題。

本發(fā)明的有益效果是：既具有對(duì)各種異常點(diǎn)噪聲的魯棒性，又不需要步長的搜索且具有較低的復(fù)雜度，能夠適用于多種不同類型的脈沖噪聲，為子空間估計(jì)提供了靠性保證。

附圖說明

圖1為數(shù)據(jù)降維的方向圖實(shí)例。

圖2為信源定位的空間譜圖實(shí)例。

具體實(shí)施方式

實(shí)例1下面以魯棒(實(shí)數(shù))數(shù)據(jù)降維為例子，詳細(xì)闡述本發(fā)明中所提出的魯棒子空間方法的具體應(yīng)用。首先，我們產(chǎn)生150個(gè)二維真實(shí)數(shù)據(jù)樣本(如圖1中的五角星)，且服從如下高斯分布：

其中，表示正太分布，02(2維列矢量)為均值，表示其方差。同時(shí)，產(chǎn)生5個(gè)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)，o1,…,o5，如圖1中的左上角圓圈點(diǎn)。同時(shí)，5個(gè)隨機(jī)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)服從如下高斯分布：

在此實(shí)例中，將算法1中的y定義為同時(shí)，設(shè)ε＝1，γ＝0.5，p＝1。u(0)和v(0)的初始化分別為常規(guī)pca(奇異值分解)得到的結(jié)果，設(shè)最大的迭代次數(shù)為200，r＝1。最終結(jié)果如圖1所示，據(jù)圖可知，本發(fā)明提出的方法與真實(shí)數(shù)據(jù)的主方向更接近，這說明了本發(fā)明提出的方案具有對(duì)異常點(diǎn)數(shù)據(jù)的魯棒性。aco方法為文獻(xiàn)《lp-music:robustdirection-ofarrivalestimatorforimpulsivenoiseenvironments》中的方案；常規(guī)pca方法具有最差的性能，這是因?yàn)閘2對(duì)異常點(diǎn)不具有魯棒性而造成的。

實(shí)例2下面闡述本發(fā)明方案在傳感器陣列信源定位中的應(yīng)用。設(shè)k個(gè)波達(dá)方向角為θ＝[θ1,...,θk]的窄帶信源位于m(m>k)個(gè)均勻線性陣列結(jié)構(gòu)(uniformlineararray,ula)的遠(yuǎn)場(chǎng)，則n個(gè)快拍陣列接受信號(hào)模型為

x(t)＝a(θ)s(t)+n(t),t＝1,…,n

式中，s(t)為零均值信號(hào)矢量，為陣列流型矢量，a(θk)為m維列矢量且其元素為m＝1,...,m，θk∈(-π/2,π/2)，λ與d分別表示信號(hào)波長與陣元間距。本案例中，設(shè)天線數(shù)m＝8，信源數(shù)k＝4，快拍數(shù)n＝100，信源位置為θ＝[-20°,0°,6°,35°]^t，且d＝λ/2；疊加噪聲為高斯混合脈沖噪聲，信噪比為-5db。為了使本發(fā)明方案適用于信源定位，先將數(shù)學(xué)符號(hào)與發(fā)明內(nèi)容中符號(hào)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，設(shè)接收信號(hào)樣本為r＝k＝4。本案例中，設(shè)p＝γ＝ε＝0.5。在得到最終的子空間orth(u)之后，再利用類似于文獻(xiàn)《multipleemitterlocationandsignalparameterestimation》中標(biāo)準(zhǔn)music算法實(shí)現(xiàn)信源定位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，據(jù)圖可知，本發(fā)明方案具有更好的譜分辨率特性，分別在-20°,0°,6°,35°這4個(gè)位置都出現(xiàn)了較銳利的譜峰。特別地，其它兩種方案在0°,6°這兩個(gè)較近位置只出現(xiàn)了一個(gè)譜峰，即不具有分辨能力。