一種基于Stirling插值多項式逼近的橢球集員濾波方法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明屬于航空航天系統(tǒng)處理的導航制導與控制的技術領域，具體涉及一種基于 Stirling插值多項式逼近的擴展橢球集員濾波方法，可以應用于慣性導航系統(tǒng)。
【背景技術】
[0002] 傳統(tǒng)的隨機概率濾波方法一般要求已知過程噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計特性，或者假 設其滿足一定的分布條件，而實際的非線性系統(tǒng)中系統(tǒng)狀態(tài)或者參數(shù)的統(tǒng)計特性往往是未 知的，因此，常規(guī)的隨機概率濾波算法的應用有很大的局限性。集員濾波算法僅僅要求噪聲 的有界性，不需要精確獲得噪聲的統(tǒng)計特性，這一點在實際系統(tǒng)中通常是能夠得到保證的， 并且在集員濾波計算框架下得到的狀態(tài)參數(shù)估計結(jié)果是一個可行解集合，而不是常規(guī)濾波 計算獲得的單個估計值。從控制角度來說，集員濾波方法提供了魯棒控制和最優(yōu)控制等理 論所要求的狀態(tài)參數(shù)邊界，可更好地實現(xiàn)濾波方法與控制策略結(jié)合。
[0003] 考慮到可行狀態(tài)參數(shù)集合形狀一般無法準確確定，甚至是非凸的，集員濾波方法 在形式上大多采用橢球定界算法。Schweppe和Bertsekas首先提出了可以利用外定界 橢球集合來包含系統(tǒng)的真實狀態(tài)，但是沒有考慮橢球的最優(yōu)化問題。在此基礎上，F(xiàn)ogel 和Huang給出了最優(yōu)化定界橢球算法，得到了最小體積和最小跡橢球集合；Maksarov、 Kurzhanski和Chernousko等人進一步發(fā)展了針對狀態(tài)和參數(shù)估計計算的橢球計算技術； 并且Lin針對特定應用情況提出了一種自適應的邊界估計計算的橢球算法；Polyak推倒了 用于具有模型不確定性系統(tǒng)的橢球算法，進一步擴展了橢球集員濾波算法的應用領域。
[0004] 但是，上述這些算法都是應用于線性系統(tǒng)的，Scholte和Campell將橢球定界算法 推廣到非線性系統(tǒng)提出了一種擴展集員濾波算法，其主要思想是首先對非線性系統(tǒng)線性化 處理，并采用區(qū)間分析技術估計線性化近似后的高階項誤差范圍，將其用橢球外包后與噪 聲橢球集合實施直和計算組成虛擬噪聲橢球集合，然后對得到的線性化系統(tǒng)實施線性橢球 集員濾波計算，最終得到非線性系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的估計計算結(jié)果。
[0005] 但是，基于Taylor級數(shù)線性化處理得到的擴展集員濾波算法存在著很大的缺 陷，首先當系統(tǒng)非線性比較強時，圍繞系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)預測估計或者狀態(tài)參數(shù)預估值的一階 Taylor級數(shù)展開式往往存在著很大的截斷誤差，使得該算法存在著數(shù)值計算穩(wěn)定性變差， 計算復雜，甚至出現(xiàn)濾波算法發(fā)散的現(xiàn)象；再者一階Taylor級數(shù)擴展需要計算Jacobi矩 陣，二階Taylor級數(shù)擴展需要計算復雜的Hessian矩陣，計算量巨大，對處理器要求很高， 難以滿足導航系統(tǒng)快速初始對準的要求。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0006] 為了解決現(xiàn)有技術在捷聯(lián)摜導系統(tǒng)（StrapdowninertialNavigationSystem， SINS)初始對準狀態(tài)參數(shù)計算過程中，基于Taylor級數(shù)線性近似的擴展橢球集員濾波 算法的計算復雜，效率低下，精算精度不能滿足系統(tǒng)要求的問題，本發(fā)明提出了一種基于 Stirling插值多項式逼近的橢球集員濾波方法，有效地減小了計算量，提高了系統(tǒng)狀態(tài)參 數(shù)估計的計算效率，并且能夠有效地改善擴展集員濾波方法的計算精度。
[0007] 為了達到上述目的，本發(fā)明的技術方案是：一種基于Stirling插值多項式逼近的 橢球集員濾波方法，其步驟如下：
[0008] 步驟一：建立組合導航系統(tǒng)的非線性誤差狀態(tài)方程和觀測方程；
[0009] 步驟二：計算k_l時刻系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)向量的狀態(tài)分量的不確定區(qū)間；
[0010] 步驟三：基于Stirling插值多項式逼近法對組合導航系統(tǒng)的非線性誤差狀態(tài)方 程和觀測方程實施線性化處理操作，確定Lagrange余子的取值區(qū)間；
[0011] 步驟四：計算線性化誤差邊界，利用橢球?qū)⒕€性化誤差外包得到非線性誤差狀態(tài) 方程和觀測方程的線性化誤差的外包橢球；
[0012] 步驟五：計算虛擬過程狀態(tài)噪聲誤差橢球和虛擬觀測噪聲橢球；
[0013] 步驟六：利用線性化橢球集員濾波算法的預測步驟計算預測狀態(tài)橢球邊界；
[0014] 步驟七：利用線性橢球集員濾波算法的更新步驟更新狀態(tài)橢球邊界；
[0015] 步驟八：利用線性橢球集員濾波算法的狀態(tài)估計步驟完成系統(tǒng)狀態(tài)變量k時刻的 估計計算和估計方差矩陣計算，從而完成組合導航系統(tǒng)初始對準參數(shù)的估計計算任務。
[0016] 所述組合導航系統(tǒng)的非線性誤差狀態(tài)方程和觀測方程為：
[0018] 其中，XkGR，ZkGRm分別表示k時刻的狀態(tài)變量和觀測向量，f( ?)和h( ?) 是非線性二階可導函數(shù)，wkeRlPVkGRm分別表示k時刻的過程噪聲和觀測噪聲，m和n 分別表示狀態(tài)變量和觀測向量維數(shù)，記WkG(0,Qk)和VkG(〇,Rk)，QkS過程噪聲包絡矩陣， Rk為觀測噪聲包絡矩陣，且f=丨二，/ = 1，2,?"肩，e為大于〇 的誤差界；組合導航系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)xji于一個已知的有界集合X。，即X(]GX。， 對于給定的測量序列向量那么k時刻的橢球集員濾波算法的狀態(tài)可行集合為\;定 義橢球集合E(a,P) ={xGRn| (x-a)TPYx-a)彡1}，其中，a表示橢球集合的中心，P為滿 足正定性的橢球包絡矩陣，定義系統(tǒng)初始狀態(tài)估計橢球集合為％ ，那么k-1時 刻估計得到的系統(tǒng)狀態(tài)橢球集合;)。
[0019] 所述k_l時刻系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)向量的狀態(tài)分量的不確定區(qū)間為：
[0020]
其中i= 1，2,…，n，表示k-1時刻橢球包 絡矩陣Pki的第i個對角元素，s表示插值步長，勾；表示k-1時刻的狀態(tài)變量的估計點。
[0021] 所述基于Stirling插值多項式逼近法對組合導航系統(tǒng)的非線性誤差狀態(tài)方程和 觀測方程實施線性化處理操作，確定Lagrange余子的取值區(qū)間的方法是：基于區(qū)間分析技 術利用Stirling插值多項式獲得線性化生成的Lagrange余子的最大區(qū)間，以k-1時刻狀 態(tài)變量的估計點做Stirling插值多項式逼近獲得系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性化表達式為：
[0023] 其中，現(xiàn).，戸1，2,...具為差分算子，筆/(>^)定義為
[0026]其中，Up為觀測向量預測的的偏差算子，Sp為觀測向量預測的的 平均算子，分別表示為
[0028] 其中，ep為沿軸向的單位向量，
s為插值步長；取Stirling插值多項 式式（2)的前兩項作為非線性系統(tǒng)狀態(tài)過程函數(shù)的線性化近似，那么Lagrange余子的取值 區(qū)間 (Ax1 ,)為：
[0029]
[0030] 其中，私表示二階差分算子余子符號；
[0031] 基于區(qū)間分析技術利用Stirling插值多項式獲得線性化生成的Lagrange余子的 最大區(qū)間，以k-1時刻狀態(tài)變量的一步預測估計點毛^ *做Stirling插值多項式逼近獲得 觀測過程方程的線性化表達式
[0036]式中知= yp為觀測向量預測的偏差算子，Sp為觀測向量預測的平均 算子，分別表示為

[0039]其中，ep為沿軸向的單位向量，
s為插值步長；取Stirling插值多項式 式（2'）的前兩項作為非線性觀測方程線性化近似，那么Lagrange余子的取值區(qū)間可表達 為
[0041] 所述計算線性化誤差邊界，利用橢球?qū)⒕€性化誤差外包得到非線性誤差狀態(tài)方程 和觀測方程的方法是：利用Stirling插值多項式逼近的線性化操作獲得二階Stirling差 分算子作為Lagrange余子的計算線性化誤差邊界，用橢球?qū)顟B(tài)方程的線性化誤差外包
[0043] 獲得狀態(tài)方程的線性化誤差的外包橢球為/:(0,?，其中，表示系統(tǒng)狀態(tài)方 程線性化誤差外包橢球包絡矩陣，表示系統(tǒng)狀態(tài)方程線性化誤差外包橢球包絡矩陣 Sm的對角線元素；
[0044] 用橢球?qū)⒂^測方程的線性化誤差外包
[0046]獲得觀測方程的線性化誤差的外包橢球為其中，為觀測方程線性 化誤差外包橢球包絡矩陣、表示觀測方程線性化誤差外包橢球包絡矩陣尾4的對角線 元素。
[0047] 所述計算虛擬過程狀態(tài)噪聲誤差橢球和虛擬觀測噪聲