本發(fā)明涉及一種鋁棒加熱爐燃燒溫度自動控制
技術領域：
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背景技術：
：鋁型材生產企業(yè)屬于高能耗、高排放制造企業(yè)，擠壓生產的成本控制是企業(yè)關注的重點問題之一。鋁棒加熱爐是配合擠壓機使用的設備，將鋁棒鑄錠使用天然氣加熱至擠壓工藝設定溫度，有利于擠壓成型。鋁棒加熱爐是擠壓生產線中能耗最大的一個環(huán)節(jié)，因此降低加熱爐的能耗，可以保證擠壓生產穩(wěn)定、經濟地運行，實現(xiàn)節(jié)能減排的目的。傳統(tǒng)的溫度控制采用比例、積分、微分控制，簡稱PID控制方法，PID控制方法結構簡單、穩(wěn)定性好、調整方法，是一種線性控制方法，根據溫度給定值和實際溫度值的偏差的比例、積分和微分，通過線性組合的形式構成控制量，對加熱爐的天然氣輸入量進行控制。然而由于生產現(xiàn)場環(huán)境復雜，對溫度的影響因素是多方面的，導致了溫度是一個非線性時變參數(shù)，且燃燒過程存在較長的時間滯后性。因此使用PID方法對溫度進行控制難以獲得良好的控制效果。神經網絡是一種模擬人類大腦思維的非線性網絡系統(tǒng)，具有分布式存儲和并行協(xié)同處理能力，可以針對不同的復雜環(huán)境和多目標控制要求自適應的調整自身的網絡加權系數(shù)，以任意精度逼近任意非線性函數(shù)，可以用于具有非線性、滯后性、高精度的控制對象。技術實現(xiàn)要素：本發(fā)明目的在于，提出一種基于神經網絡的鋁棒加熱爐燃燒溫度自動控制系統(tǒng)，系統(tǒng)根據當前加熱爐燃燒溫度和給定溫度的差值，動態(tài)地調整神經網絡 的輸出參數(shù)(PID輸入參數(shù))，實現(xiàn)溫度自動控制；同時通過神經網絡的反向傳播方法，不斷調整神經網絡的網絡加權系數(shù)，使得其輸出對應于某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID控制參數(shù)。本發(fā)明采用的技術方案是：一種基于神經網絡的鋁棒加熱爐燃燒溫度自動控制裝置，其改進在于：包含有加熱爐燃燒系統(tǒng)和溫度自動控制電氣系統(tǒng)；其中，所述加熱爐燃燒系統(tǒng)包含天燃氣系統(tǒng)、空氣系統(tǒng)、電動執(zhí)行器和組合火槍構成，所述天燃氣系統(tǒng)及空氣系統(tǒng)通過電動執(zhí)行器和組合火槍相連；其中，所述溫度自動控制電氣系統(tǒng)包含溫度傳感器及PID控制器；所述PID控制器通過D/A模塊與電動執(zhí)行器相連，所述溫度傳感器通過A/D模塊與PID控制器相連。其中，所述天燃氣系統(tǒng)包含燃氣管道、及安裝于燃氣管道上的燃氣過濾器、減壓閥、燃氣總電磁閥、點火電磁閥和大火電磁閥；所述減壓閥、燃氣總電磁閥、點火電磁閥和大火電磁閥與電動執(zhí)行器相連；所述空氣系統(tǒng)包含空氣管道、安裝于空氣管道上的蝶閥；所述蝶閥與電動執(zhí)行器相連。其中，所述溫度自動控制電氣系統(tǒng)包含神經網絡控制模塊，所述神經網絡控制模塊與PID控制器相連。其中，PID控制器包含溫度測量模塊，溫度比較模塊及輸出控制模塊；其中，所述溫度測量模塊與溫度傳感器相連獲取加熱爐的爐內溫度，將爐內溫度傳遞至溫度比較模塊；所述溫度比較模塊比較爐內溫度(ct)和設定溫度(rt，)得出溫度差值(et＝rt-ct)，并將溫度差值(et＝rt-ct)傳遞至輸出控制模塊；其中，所述輸出控制模塊包含第一計算控制模塊和第二計算控制模塊；其中，第一計算控制模塊接收溫度差值，并與閾值比較，溫度差值大于閾 值時，進行全功率加熱；其中，第二計算控制模塊接收溫度差值，并與閾值比較，溫度差值小于閾值時，：通過神經網絡控制模塊對PID控制器進行調整。為達此目的，本發(fā)明首先提供一種PID控制方法，包括：分為比例、積分和微分三部分的線性組合，構成PID控制方程：P=Kp[e(t)+1Ti∫e(t)dt+Tdde(t)dt]---(1)]]>Kp為比例增益，Ti為積分時間，Td為微分時間，P為控制量，e(t)為測量值y(t)與給定值r(t)的偏差。為了將上述連續(xù)的PID控制方程離散化，設定采樣周期為T，采樣序號為n，則積分和微分離散化為：∫0te(τ)dτ≈Σj=0ke(j)T---(2)]]>de(t)dt≈e(n)-e(n-1)T---(3)]]>e(n)和e(n-1)分別為第n次和第n-1次采樣的偏差，則PID的控制方程可以離散化為：P(n)=Kp{e(n)+TTiΣj=0ne(j)+TdT[e(n)-e(n-1)]}=Kpe(n)+KiΣj=0ne(j)+Kd[e(n)-e(n-1)]---(4)]]>Kp為比例增益，Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)。根據當前采樣下得到的e(n)，根據公式(4)得到控制量用于控制加熱爐的天燃氣輸入量。根據型材材料的不同，鋁棒擠壓工作溫度為400°至450°之間，極限溫度為550°。因此根據溫度變化可分為三個區(qū)間：升溫區(qū)[常溫—400°]，穩(wěn)態(tài)區(qū)[400°—500°]，抑制區(qū)[500°—550°]，在升溫區(qū)需要對鋁棒快速加溫以達到擠壓的溫度，此時應調高比例增益、增大采樣周期、減少積分系數(shù)和微分系數(shù)以實現(xiàn)快速增溫； 穩(wěn)態(tài)區(qū)需要將溫度穩(wěn)定在該區(qū)間，此時應降低比例增益、減少采樣周期、調整積分系數(shù)和微分系數(shù)以實現(xiàn)精確溫度控制，抑制區(qū)則是要抑制溫度到達該區(qū)域以避免鋁棒液化，此時應當調高比例增益以實現(xiàn)快速抑制溫度上升。因此控制系統(tǒng)需要對溫度所處不同階段應當動態(tài)地改變控制系數(shù)。神經網絡便具有上述動態(tài)參數(shù)調節(jié)功能，神經網絡具有輸入層、隱含層和輸出層，每個節(jié)點稱之為神經元，同一層的神經元之間沒有聯(lián)系，不同層的神經元兩兩相連形成一個網絡，相互之間的聯(lián)系稱為加權系數(shù)，初始化加權系數(shù)為(-1,1)之間的隨機值。神經網絡分為向前傳播和誤差反向傳播兩部分，神經網絡與PID控制相結合，形成具有動態(tài)參數(shù)調節(jié)的控制系統(tǒng)。其輸出層參數(shù)分別對應PID控制中的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd，其輸入層參數(shù)為當前采樣的溫度偏差e(n)、控制量P(n)。PID控制的參數(shù)輸出由向前傳播部分實現(xiàn)，根據隱含層的神經元個數(shù)，從輸入層-隱含層-輸出層逐層計算神經元的輸出值，每一層的神經元輸出只對下一層的神經元的輸入產生影響。神經元的輸出激活函數(shù)采用非負對稱的Sigmoid函數(shù)：f(x)=exex-e-x---(5)]]>給定一個由n個神經元的輸入層，p個神經元的隱含層，q個神經元的輸出層組成的網絡結構，定義其變量如下：輸入層的輸出向量：x＝(x1,x2,...,xn)隱含層的輸入變量：hi＝(hi1,hi2,...,hip)隱含層的輸出變量：ho＝(ho1,ho2,...,hop)輸出層的輸入變量：yi＝(yi1,yi2,...,yiq)輸出層的輸出變量：yo＝(yo1,yo2,...,yoq)給定的期望輸出變量：d＝(d1,d2,...,dq)神經網絡的向前傳播計算如下：在第t次采樣中，誤差函數(shù)為e(t)=12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2,]]>隱含層的輸入為hih(t)=Σi=1nwihxi(t),h=1,2,...p,]]>隱含層的輸出為hoh(t)＝f(hih(t))，輸出層的輸入為輸出層的輸出為yoo(t)＝f(yio(t))，輸出層的輸出對應PID控制系統(tǒng)的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd。神經網絡的神經元加權系數(shù)調整由誤差反向傳播部分實現(xiàn)，神經網絡的誤差反向傳播方法自適應的調整自身網絡加權系數(shù)，使得其輸出對應于某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID控制參數(shù)：1.首先計算誤差函數(shù)e(t)對輸出層的各神經元的偏導數(shù)∂e(t)∂who=∂e(t)∂yio(t)∂yio(t)∂who]]>∂yio∂who=∂(Σh=1pwhohoh(t))∂who=hoh(t)]]>∂e(t)∂yio(t)=∂(12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2)∂yio(t)=-(do(t)-yoo(t))f′(yio(t))=-δo(t)]]>2.用輸出層神經元的偏導數(shù)修正輸出層神經元的加權系數(shù)，μ表示學習率：who(t+1)=who(t)+μ∂e(t)∂who=who(t)-μδo(t)hoh(t)]]>3.利用隱含層到輸出層的加權系數(shù)、輸出層的偏導數(shù)和隱含層的輸出計算誤差函數(shù)對隱含層各神經元的偏導數(shù)∂e(t)∂wih=∂e(t)∂hih(t)∂hih(t)∂wih]]>∂hih∂wih=∂(Σh=1pwihxi(t))∂wih=xi(t)]]>∂e(t)∂hih(t)=∂(12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2)∂hoh(t)∂hoh(t)∂hih(t)=-(Σo=1qδo(t)who)f′(hih(t))=-δh(t)]]>4.用隱含層神經元的偏導數(shù)修正隱含層神經元的加權系數(shù)wih(t+1)=wih(t)+μ∂e(t)∂wih=who-μδh(t)xi(t)]]>5.計算此時的誤差函數(shù)如誤差已經到達指定精度，則停止迭代，否則繼續(xù)反向傳播以修正網絡的加權系數(shù)。本發(fā)明的有益效果是：針對鋁棒加熱爐燃燒溫度非線性時變、時間滯后性強的特點，在傳統(tǒng)的PID控制基礎上，加入神經網絡控制算法與實現(xiàn)方式，用于溫度自適應控制，神經網絡分為向前傳播和反向學習兩部分，神經網絡的向前傳播用于輸出PID控制中的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd，神經網絡的反向學習用于自適應的調整自身網絡加權系數(shù)，使得輸出對應于某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID控制參數(shù)。神經網絡控制系統(tǒng)階躍響應曲線的超調量較小，系統(tǒng)的過渡過程時間大大縮短，振蕩次數(shù)減少，系統(tǒng)表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。PID控制方法與神經網絡方法相結合，形成具有動態(tài)參數(shù)調節(jié)的控制系統(tǒng)，神經網絡的輸出層參數(shù)分別對應PID控制中的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd，其輸入層參數(shù)為當前采樣的溫度偏差e(n)、控制量P(n)。PID控制的參數(shù)輸出由向前傳播部分實現(xiàn)，從輸入層-隱含層-輸出層逐層計算神經元的輸出 值，每一層的神經元輸出只對下一層的神經元的輸入產生影響。應用于鋁棒加熱爐溫度控制的神經網絡具有反向學習功能，神經網絡的反向學習方法自適應的調整自身網絡加權系數(shù)，使得其輸出對應于某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID控制參數(shù)。首先計算誤差函數(shù)對輸出層的各神經元的偏導數(shù)，然后用輸出層神經元的偏導數(shù)修正輸出層神經元的加權系數(shù)，再利用隱含層到輸出層的加權系數(shù)、輸出層的偏導數(shù)和隱含層的輸出計算誤差函數(shù)對隱含層各神經元的偏導數(shù)，最后用隱含層神經元的偏導數(shù)修正隱含層神經元的加權系數(shù)，通過多次學習實現(xiàn)神經網絡的自適應控制，防止加熱爐燃燒溫度波動。本發(fā)明燃燒溫度自動控制系統(tǒng)結合傳統(tǒng)PID控制和神經網絡方法，與傳統(tǒng)PID控制采用固定的比例、積分、微分參數(shù)調節(jié)燃燒溫度不同，神經網絡根據當前的溫差信號與上一次采樣的控制量可以動態(tài)地修正在不同溫度階段的PID控制參數(shù)，同時利用誤差反向傳播方法以修正網絡加權系數(shù)。該方法不僅有效地避免了數(shù)據滯后性導致的復雜參數(shù)調節(jié)，還有效地減少了能源損耗。附圖說明圖1是本發(fā)明鋁型材加熱爐燃燒溫度自動控制系統(tǒng)結構圖。圖2是本發(fā)明的神經網絡自適應算法系統(tǒng)結構圖。圖3是本發(fā)明的一個實施例提供的神經網絡控制與PID控制曲線對比圖。具體實施方式下面結合附圖及具體實施例對本發(fā)明進行更加詳細與完整的說明。可以理解的是，此處所描述的具體實施例僅用于解釋本發(fā)明，而非對本發(fā)明的限定。另外還需要說明的是，為了便于描述，附圖中僅示出了與本發(fā)明相關的部分而非全部內容。本發(fā)明的基于神經網絡的鋁棒加熱爐燃燒溫度自動控制裝置，包含有加熱 爐燃燒系統(tǒng)A和溫度自動控制電氣系統(tǒng)B兩個組成部分，如圖1所示，所述加熱爐燃燒系統(tǒng)A包含天燃氣系統(tǒng)1、空氣系統(tǒng)2、電動執(zhí)行器3和組合火槍4構成，所述天燃氣系統(tǒng)1及空氣系統(tǒng)2通過電動執(zhí)行器3和組合火槍4相連。其中，所述溫度自動控制電氣系統(tǒng)B包含溫度傳感器5及PID控制器6；所述PID控制器6通過D/A模塊與電動執(zhí)行器4相連，所述溫度傳感器5通過A/D模塊與PID控制器6相連。其中，所述天燃氣系統(tǒng)包含燃氣管道、及安裝于燃氣管道上的燃氣過濾器、減壓閥、燃氣總電磁閥、點火電磁閥和大火電磁閥；所述減壓閥、燃氣總電磁閥、點火電磁閥和大火電磁閥與電動執(zhí)行器相連；所述空氣系統(tǒng)包含空氣管道、安裝于空氣管道上的蝶閥；所述蝶閥與電動執(zhí)行器相連。所述溫度自動控制電氣系統(tǒng)B還包含神經網絡控制模塊7，所述神經網絡控制模塊7與PID控制器6相連。其中，PID控制器6包含溫度測量模塊，溫度比較模塊及輸出控制模塊；其中，所述溫度測量模塊與溫度傳感器相連獲取加熱爐的爐內溫度，將爐內溫度傳遞至溫度比較模塊；所述溫度比較模塊比較爐內溫度(ct)和設定溫度(rt，)得出溫度差值(et＝rt-ct)，并將溫度差值(et＝rt-ct)傳遞至輸出控制模塊；其中，所述輸出控制模塊包含第一計算控制模塊和第二計算控制模塊；其中，第一計算控制模塊接收溫度差值，并與閾值比較，溫度差值大于閾值時，進行全功率加熱；其中，第二計算控制模塊接收溫度差值，并與閾值比較，溫度差值小于閾值時，通過神經網絡控制模塊7對PID控制器6進行調整，即采用變速積分PID算法進行控制參數(shù)的整定。上述PID控制方法，包括：分為比例、積分和微分三部分的線性組合，構成PID控制方程：P=Kp[e(t)+1Ti∫e(t)dt+Tdde(t)dt]---(1)]]>Kp為比例增益，Ti為積分時間，Td為微分時間，P為控制量，e(t)為測量值y(t)與給定值r(t)的偏差。為了將上述連續(xù)的PID控制方程離散化，設定采樣周期為T，采樣序號為n，則積分和微分離散化為：∫0te(τ)dτ≈Σj=0ke(j)T---(2)]]>de(t)dt≈e(n)-e(n-1)T---(3)]]>e(n)和e(n-1)分別為第n次和第n-1次采樣的偏差，則PID的控制方程可以離散化為：P(n)=Kp{e(n)+TTiΣj=0ne(j)+TdT[e(n)-e(n-1)]}=Kpe(n)+KiΣj=0ne(j)+Kd[e(n)-e(n-1)]---(4)]]>Kp為比例增益，Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)。根據當前采樣下得到的e(n)，根據公式(4)得到控制量用于控制加熱爐的天燃氣輸入量。根據型材材料的不同，鋁棒擠壓工作溫度為400°至450°之間，極限溫度為550°。因此根據溫度變化可分為三個區(qū)間：升溫區(qū)[常溫—400°]，穩(wěn)態(tài)區(qū)[400°—500°]，抑制區(qū)[500°—550°]，在升溫區(qū)需要對鋁棒快速加溫以達到擠壓的溫度，此時應調高比例增益、增大采樣周期、減少積分系數(shù)和微分系數(shù)以實現(xiàn)快速增溫；穩(wěn)態(tài)區(qū)需要將溫度穩(wěn)定在該區(qū)間，此時應降低比例增益、減少采樣周期、調整積分系數(shù)和微分系數(shù)以實現(xiàn)精確溫度控制，抑制區(qū)則是要抑制溫度到達該區(qū)域以避免鋁棒液化，此時應當調高比例增益以實現(xiàn)快速抑制溫度上升。因此控制系統(tǒng)需要對溫度所處不同階段應當動態(tài)地改變控制系數(shù)。神經網絡便具有上述動態(tài)參數(shù)調節(jié)功能，神經網絡具有輸入層、隱含層和 輸出層，每個節(jié)點稱之為神經元，同一層的神經元之間沒有聯(lián)系，不同層的神經元兩兩相連形成一個網絡，相互之間的聯(lián)系稱為加權系數(shù)，初始化加權系數(shù)為(-1,1)之間的隨機值。神經網絡分為向前傳播和誤差反向傳播兩部分，神經網絡與PID控制相結合，形成具有動態(tài)參數(shù)調節(jié)的控制系統(tǒng)。其輸出層參數(shù)分別對應PID控制中的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd，其輸入層參數(shù)為當前采樣的溫度偏差e(n)、控制量P(n)。PID控制的參數(shù)輸出由向前傳播部分實現(xiàn)，根據隱含層的神經元個數(shù)，從輸入層-隱含層-輸出層逐層計算神經元的輸出值，每一層的神經元輸出只對下一層的神經元的輸入產生影響。神經元的輸出激活函數(shù)采用非負對稱的Sigmoid函數(shù)：f(x)=exex-e-x---(5)]]>給定一個由n個神經元的輸入層，p個神經元的隱含層，q個神經元的輸出層組成的網絡結構，定義其變量如下：輸入層的輸出向量：x＝(x1,x2,...,xn)隱含層的輸入變量：hi＝(hi1,hi2,...,hip)隱含層的輸出變量：ho＝(ho1,ho2,...,hop)輸出層的輸入變量：yi＝(yi1,yi2,...,yiq)輸出層的輸出變量：yo＝(yo1,yo2,...,yoq)給定的期望輸出變量：d＝(d1,d2,...,dq)神經網絡的向前傳播計算如下：在第t次采樣中，誤差函數(shù)為e(t)=12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2,]]>隱含層的輸入為hih(t)=Σi=1nwihxi(t),h=1,2,...p,]]>隱含層的輸出為hoh(t)＝f(hih(t))，輸出層的輸入為輸出層的輸出為yoo(t)＝f(yio(t))，輸出層的輸出對應PID控制系統(tǒng)的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù) Ki和微分系數(shù)Kd。神經網絡的神經元加權系數(shù)調整由誤差反向傳播部分實現(xiàn)，神經網絡的誤差反向傳播方法自適應的調整自身網絡加權系數(shù)，使得其輸出對應于某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID控制參數(shù)：1.首先計算誤差函數(shù)e(t)對輸出層的各神經元的偏導數(shù)∂e(t)∂who=∂e(t)∂yio(t)∂yio(t)∂who]]>∂yio∂who=∂(Σh=1pwhohoh(t))∂who=hoh(t)]]>∂e(t)∂yio(t)=∂(12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2)∂yio(t)=-(do(t)-yoo(t))f′(yio(t))=-δo(t)]]>2.用輸出層神經元的偏導數(shù)修正輸出層神經元的加權系數(shù)，μ表示學習率：who(t+1)=who(t)+μ∂e(t)∂who=who(t)-μδo(t)hoh(t)]]>3.利用隱含層到輸出層的加權系數(shù)、輸出層的偏導數(shù)和隱含層的輸出計算誤差函數(shù)對隱含層各神經元的偏導數(shù)∂e(t)∂wih=∂e(t)∂hih(t)∂hih(t)∂wih]]>∂hih∂wih=∂(Σh=1pwihxi(t))∂wih=xi(t)]]>∂e(t)∂hih(t)=∂(12Σo=1q(do(t)-yoo(t))2)∂hoh(t)∂hoh(t)∂hih(t)=-(Σo=1qδo(t)who)f′(hih(t))=-δh(t)]]>4.用隱含層神經元的偏導數(shù)修正隱含層神經元的加權系數(shù)wih(t+1)=wih(t)+μ∂e(t)∂wih=who-μδh(t)xi(t)]]>計算此時的誤差函數(shù)如誤差已經到達指定精度，則停止迭代，否則繼續(xù)反向傳播以修正網絡的加權系數(shù)。加熱爐溫度自動控制實現(xiàn)過程是：首先溫度傳感器對火槍溫度進行實時測量并將采集到的溫度數(shù)據轉化為電壓信號，電壓信號經A/D模塊ICP-7017轉換為上位機可識別的數(shù)字信號；然后上位機將當前的溫差信號輸入神經網絡，得到用于計算PID控制系統(tǒng)的比例參數(shù)Kp、積分參數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd，同時神經網絡根據當前的溫差信號與上一次采樣的控制量輸入誤差反向傳播方法以修正網絡加權系數(shù)，實現(xiàn)PID控制系統(tǒng)的動態(tài)自適應參數(shù)調節(jié)，神經網絡結構圖如圖2所示，最后根據PID控制系統(tǒng)得到控制信號，控制信號經D/A模塊ICP-7024轉換為控制電動執(zhí)行器的電流信號，實現(xiàn)對加熱爐溫度的控制。PID初始參數(shù)設定如下，溫度上限530度、下限200度，偏差上限550度、偏差下限180度，輸出電流4—20mA，增益設為3，積分時間2秒，微分時間0.5秒。當溫度接近設定值530度時，電流輸出為4mA，此時電動執(zhí)行器開度最少，火槍輸出最小，這時候系統(tǒng)會不斷通過反饋量與設定值進行對比，控制溫度在530度左右。圖3所示是本發(fā)明一個實施例的神經網絡控制與PID控制曲線對比圖，橫坐標是采樣時間，縱坐標是經A/D轉換后的溫度值，圖中可以看出，相比較PID 控制曲線，神經網絡對PID的三個控制參數(shù)根據溫度變化實現(xiàn)在線自適應調整，控制系統(tǒng)階躍響應曲線的超調量較小，系統(tǒng)的過渡過程時間大大縮短，振蕩次數(shù)減少，系統(tǒng)表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。上所述僅為本發(fā)明的優(yōu)選實施例，并不用于限制本發(fā)明，對于本領域技術人員而言，本發(fā)明可以有各種改動和變化。凡在本發(fā)明的精神和原理之內所作的任何修改、等同替換、改進等，均應包含在本發(fā)明的保護范圍之內。當前第1頁1 2 3