本發(fā)明屬于精密高效數(shù)控加工技術(shù)領域，特別涉及一種數(shù)控參數(shù)曲線插補加工過程中基于初值再生牛頓迭代法的高精度實時輪廓誤差估計方法。

背景技術(shù)：

隨著航空航天、能源動力等重大工程領域的迅猛發(fā)展，對加工復雜曲面類零件的數(shù)控機床加工精度要求不斷提高。由于數(shù)控系統(tǒng)的伺服遲滯、非線性環(huán)節(jié)、外部擾動及動態(tài)特性失匹等因素的存在，往往導致實際加工軌跡與理想輪廓間產(chǎn)生偏差，影響加工精度。因此，考慮多軸耦合作用進行輪廓控制，進而提高數(shù)控系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度，是保障數(shù)控機床加工精度的關鍵。輪廓誤差定義為實際加工刀位點到理想輪廓之間的距離，其有效估計是實現(xiàn)輪廓控制的前提。對于傳統(tǒng)的直線、圓弧插補加工來說，理想刀軌輪廓為規(guī)則的直線、圓弧，此時輪廓誤差估計即可通過求解實際反饋位置點到理想直線或圓弧的距離獲得。然而，對于參數(shù)曲線插補加工來說，理想刀軌輪廓為自由曲線，因難以實現(xiàn)點到曲線距離的快速高精度求解，常采用一階或二階近似的方式進行輪廓誤差估計，此時的估計精度較低，且用于誤差估計的理想點不在理想加工輪廓上，影響輪廓控制效果。鑒于參數(shù)曲線插補加工在提高加工質(zhì)量和加工效率等方面的顯著優(yōu)勢，其應用范圍越來越廣。因此，研究參數(shù)曲線插補加工過程中所產(chǎn)生輪廓誤差的實時高精度估計方法，對提高數(shù)控機床加工精度、實現(xiàn)精密高效數(shù)控加工具有重大意義。

文獻“A Novel Contour Error Estimation for Position Loop-Based Cross-Coupled Control”，Yang等，IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2011，16(4)：643-655，該文獻提出一種基于密切圓弧近似的輪廓誤差估計方法，然而，該方法只適用于二維平面輪廓，且當隨動誤差較大時估計精度較低；文獻“A Real-time contouring error estimation for multi-axis motion systems using the second-order approximation”，Zhu等，International Journal of Machine Tools and Manufacture，2013，68：75-80，該文獻提出一種基于點到曲線距離公式的二階近似空間輪廓誤差實時估計方法，然而該方法當隨動誤差較大時估計精度同樣較低，且估計算法獲得的為實際點到理想曲線的距離值，而非輪廓誤差矢量值。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明旨在克服現(xiàn)有技術(shù)缺陷，發(fā)明一種高精度實時輪廓誤差估計方法，適用于參數(shù)曲線插補加工過程的輪廓誤差實時高精度估計方法。該方法基于牛頓迭代思想計算實際刀位點到理想輪廓的垂足點，并在每步迭代中利用一階泰勒級數(shù)展開法再生迭代初值避免算法發(fā)散，從而實現(xiàn)輪廓誤差的高精度估計。方法可有效避免算法發(fā)散、提高輪廓誤差的估計精度；為避免算法計算時間過長，采用迭代終止精度條件和最大迭代次數(shù)條件雙重約束結(jié)束循環(huán)，可保證算法的實時性。

本發(fā)明的技術(shù)方案是一種高精度實時輪廓誤差估計方法，其特性在于，該方法在每步牛頓迭代計算垂足點前，基于一階泰勒級數(shù)展開法計算參數(shù)曲線上用于牛頓迭代的參數(shù)初值，再利用牛頓迭代法，根據(jù)參數(shù)初值計算單步迭代參數(shù)終值；最后，為避免大幅增加算法計算時間，根據(jù)迭代終止精度條件及最大迭代次數(shù)條件雙重約束結(jié)束循環(huán)，得到垂足點參數(shù)估計值，計算輪廓誤差矢量估計值；方法的具體步驟如下：

設參數(shù)曲線的參數(shù)方程為C＝C(u)，其中u為曲線參數(shù)，當前理想刀位點為R，對應的曲線參數(shù)值為u_r，實際刀位點為P，首先令算法的迭代初始點參數(shù)u_a＝u_r，初始點C_a＝C(u_a)；

第一步 計算牛頓迭代參數(shù)初值

為避免牛頓迭代法不收斂，每步迭代前皆進行迭代參數(shù)初值再生；以向量PC_a在理想輪廓的C_a點處切線方向上的投影長度為基準，根據(jù)一階泰勒級數(shù)展開法，確定用于牛頓迭代計算的參數(shù)初值u_b：

$u_b=u_a-\frac{du}{ds}{|}_{u=u_a}(C_a-P)\·T_a---\left(1\right)$

其中，s為曲線弧長，T_a為C_a點處理想輪廓曲線的單位切矢，參數(shù)u對弧長s的導數(shù)為：

$\frac{du}{ds}{|}_{u=u_a}=\frac{1}{\frac{ds}{du}{|}_{u=u_a}}=\frac{1}{\left|\right|C^{\′}\left(u_a\right)\left|\right|}---\left(2\right)$

其中，C′(u_a)為參數(shù)方程C(u)對參數(shù)u的導矢在u_a處的值；T_a為：

$T_a=\frac{C^{\′}\left(u_a\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_a\right)\left|\right|}---\left(3\right)$

將公式(2)、(3)帶入公式(1)得：

$u_b=u_a-\frac{(C_a-P)\·C^{\′}\left(u_a\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_a\right)|{|}^2}---\left(4\right)$

第二步 計算單步迭代終值

根據(jù)第一步中所求得參數(shù)u_b所對應曲線上的點C_b＝C(u_b)一定是距離理想垂足點較近的點，此時，應用牛頓迭代法，根據(jù)參數(shù)初值u_b計算單步迭代終值u_c；令函數(shù)f(u)為：

$f\left(u\right)=\frac{\left(C\right(u)-P)\·C^{\′}\left(u\right)}{\left|\right|C\left(u\right)-P\left|\right|\left|\right|C^{\′}\left(u\right)\left|\right|}---\left(5\right)$

則垂足點參數(shù)值即可通過求解非線性方程f(u)＝0獲得；利用牛頓迭代方法進行一次迭代得到單步迭代終值u_c為：

$u_c=u_b-\frac{f\left(u_b\right)}{f^{\′}\left(u_b\right)}---\left(6\right)$

式中，f′(u_b)為函數(shù)f(u)對參數(shù)u的導函數(shù)在u_b處的值，計算為：

$f^{\′}\left(u_b\right)=\frac{\left|\right|C\left(u_b\right)|{|}^2+\left(C\right(u_b)-P)\·C^{\′\′}\left(u_b\right)}{\left|\right|C\left(u\right)-P\left|\right|\left|\right|C^{\′}\left(u\right)\left|\right|}---\left(7\right)$

其中，C″(u_b)為參數(shù)方程C(u)在u_b處的二階導矢；

第三步 計算輪廓誤差矢量估計值

給定迭代最多次數(shù)條件k_m和迭代終止精度條件e，e為較小的正數(shù)；記錄當前迭代次數(shù)為k，若k＜k_m且|f(u₁)|＞e，令k＝k+1，u_a＝u_c，返回第一步循環(huán)執(zhí)行上述步驟；否則，說明已滿足迭代終止精度條件或迭代次數(shù)已達規(guī)定的上限值，此時終止迭代，將最后獲得的單步迭代參數(shù)終值u_c作為估計的垂足點參數(shù)，則垂足點即為C(u_c)，估計的輪廓誤差矢量值為：

$\widehat{\mathrm{\ϵ}}=C\left(u_c\right)-P---\left(8\right)$

在參數(shù)曲線插補時的每一個插補周期內(nèi)，執(zhí)行上述迭代循環(huán)實現(xiàn)每一插補點處輪廓誤差矢量值的實時高精度估計。

本發(fā)明的有益效果是基于初值再生牛頓迭代法計算實際刀位點到理想輪廓曲線上的垂足點，可有效避免算法發(fā)散、提高輪廓誤差的估計精度；為避免算法計算時間過長，采用迭代終止條件和最多迭代次數(shù)條件雙重約束結(jié)束循環(huán)，可保證算法的實時性；估計的垂足點在理想輪廓曲線上，可保證輪廓誤差估計值為零時，實際刀位點必然在理想輪廓上。

附圖說明

圖1—估計方法流程圖；

圖2—“倒尖八”形刀軌輪廓幾何模型圖；

圖3—Yang等人方法估計輪廓誤差與實際輪廓誤差的偏差圖；其中，X軸表示插補周期序號，Y軸表示偏差值，單位為mm；

圖4—本方法估計輪廓誤差與實際輪廓誤差的偏差圖；其中，X軸表示插補周期序號，Y軸表示偏差值，單位為mm；

具體實施方式

結(jié)合技術(shù)方案與附圖詳細說明本發(fā)明的具體實施方式。

由于數(shù)控系統(tǒng)存在伺服滯后及外部擾動等原因，會引起較大的加工軌跡輪廓誤差，在參數(shù)曲線直接插補過程中，理想加工輪廓為自由曲線，難以實時高精度計算輪廓誤差，限制了輪廓控制效果。據(jù)此，發(fā)明一種基于初值再生牛頓迭代的實時高精度輪廓誤差估計方法，附圖1為估計方法流程圖。

附圖2為“倒尖八”形刀軌輪廓幾何模型圖，以附圖2所示的“倒尖八”形非均勻有理B樣條刀軌輪廓為例，詳細說明本發(fā)明具體實施過程，該刀軌輪廓的非均勻有理B樣條參數(shù)為：階數(shù)：2；控制點：{(0,0)；(-50,-50)；(-50,50)；(0,0)；(50,-50)；(50,50)；(0,0)}；權(quán)因子：{5,5,10,1,10,5,5}；節(jié)點向量：{0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1}；借助MATLAB/SIMULINK數(shù)值仿真平臺，建立數(shù)控機床進給伺服控制系統(tǒng)模型，X軸進給控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

$G_x\left(s\right)=\frac{3467.15}{s^2+91.24s+3467.15}---\left(9\right)$

其中，s表示拉普拉斯算子；Y軸進給控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

$G_y\left(s\right)=\frac{4105.84}{s^2+91.24s+4105.84}---\left(10\right)$

根據(jù)二階泰勒級數(shù)展開法對附圖2所示刀軌輪廓進行參數(shù)曲線插補，并在每一個插補周期內(nèi)依據(jù)理想插補點參數(shù)u_r、實際刀位點P以及輪廓曲線參數(shù)信息，利用本方法實時估計輪廓誤差；附圖1為本輪廓誤差估計方法的計算流程圖，實施的具體過程如下：

第一步，計算迭代參數(shù)初值：對于初次迭代來說，令u_a＝u_r，對于后續(xù)迭代，令u_a為上步迭代終值，并依據(jù)實際刀位點P和曲線參數(shù)方程，利用公式(4)計算牛頓迭代初值u_b；

第二步，計算單步迭代終值：根據(jù)第一步中計算獲得的迭代初值u_b，利用公式(5)構(gòu)造判定函數(shù)f(u)，進而利用公式(6)計算單步迭代終值u_c；

第三步，計算輪廓誤差矢量估計值：給定迭代終止精度條件e＝0.26，即認為向量與向量的夾角在75°～105°之間時，二者垂直；給定迭代最多次數(shù)條件k_m＝3；判斷當前迭代終值是否滿足迭代終止精度條件，若滿足，說明當前迭代終值對應的參考點即為精度允許范圍內(nèi)的垂足點，根據(jù)公式(8)計算輪廓誤差矢量估計值，結(jié)束算法；若不滿足，進一步判斷當前迭代次數(shù)是否滿足最多迭代次數(shù)條件，若滿足，說明迭代次數(shù)已經(jīng)達到所設定的迭代次數(shù)上限值，同樣依據(jù)當前迭代終值，利用公式(8)計算輪廓誤差矢量估計值；否則，說明迭代次數(shù)未達到設定的次數(shù)上限，令u_a＝u_c，返回第一步，循環(huán)上述過程。

在每個插補周期內(nèi)執(zhí)行第一步到第三步，即可得到每個插補點處的輪廓誤差估計值；為說明本發(fā)明在輪廓誤差估計精度方面的優(yōu)勢，采用Yang等人在文獻“A Novel Contour Error Estimation for Position Loop-Based Cross-Coupled Control”，Yang等，IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2011，16(4)：643-655，中提出的基于密切圓近似的輪廓誤差估計方法進行輪廓誤差估計，附圖3為Yang等人方法估計輪廓誤差與實際輪廓誤差的偏差圖；附圖4為本方法估計輪廓誤差與實際輪廓誤差的偏差圖；對比附圖3和附圖4可見，傳統(tǒng)密切圓近似輪廓誤差估計方法的估計偏差最大值為0.0756mm，本方法的估計偏差最大值為3.5×10^-6mm，說明了采用本方法可極大提高輪廓誤差估計精度，具有良好的輪廓誤差估計效果。

本發(fā)明面向參數(shù)曲線插補實際加工中對產(chǎn)生的輪廓誤差進行輪廓控制時自由曲線輪廓誤差高精度實時估計的重大需求，發(fā)明了基于初值再生牛頓迭代思想的高精度輪廓誤差估計方法，對數(shù)控機床進給伺服系統(tǒng)輪廓跟蹤精度的提高具有重大意義。