專利名稱:控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法
技術領域：
本發(fā)明屬于非線性動力學系統(tǒng)理論應用技術，涉別涉及由測量所得的實驗數(shù)據(jù)序列計算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜，從而確定系統(tǒng)的混沌特性的方法。
背景技術：
由故障誘發(fā)而成的故障混沌控制系統(tǒng)廣泛地存在于航空、航天、化工、發(fā)電等領域的控制系統(tǒng)中，它的存在嚴重影響控制系統(tǒng)的正常工作。如果對這種現(xiàn)象有深入研究，知道產生的內在規(guī)律，并能進一步尋求將處于無序運動狀態(tài)的故障控制系統(tǒng)改變成在平衡狀態(tài)的較大臨域內穩(wěn)定的系統(tǒng)，或者使平衡狀態(tài)成為相空間中對初始條件不敏感的吸引子，將大大提高控制系統(tǒng)的可靠性。
李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)定量的描述了系統(tǒng)相空間中相鄰軌道呈指數(shù)發(fā)散或收斂的性質。若此系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)大于零，表示相鄰軌道按指數(shù)規(guī)律發(fā)散，長時間行為對初始值敏感，我們稱此系統(tǒng)是混沌動力學系統(tǒng)。若控制系統(tǒng)存在正的李雅普諾夫指數(shù)，則此系統(tǒng)是非正常工作，不可控的。若常見的控制系統(tǒng)產生非線性故障就有可能使系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)混沌運動。
對高維系統(tǒng)測量得到的一般是一維的數(shù)據(jù)序列，由此序列計算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)?，F(xiàn)在常用的計算李雅普諾夫指數(shù)的方法有BBA方法和Wolf方法等，BBA方法見(ReggieBrown，Paul Bryant and Henry D.I Abarbanel，Computing the Lyapunov spectrum of adynamical system from an observed time series，Phys.Rev.A，Vol.43，No.6，pp.2787-2805，1991)；Wolf方法見(WolfA，et al.Determining Lyapunov exponents from a time series[J].PhysD.1985，16285-317)。其中Wolf方法僅適用于計算系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)，BBA方法可求出系統(tǒng)的全部李雅普諾夫指數(shù)，但運算量大，需要的數(shù)據(jù)點很多，其應用受到很大限制。

發(fā)明內容本發(fā)明要解決的技術問題是提供一種控制系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，利用該方法，可以逼近任意非線性函數(shù)的能力進行李雅普諾夫指數(shù)指數(shù)譜的計算，不需要很多的數(shù)據(jù)點就可以得到系統(tǒng)的全部李雅普諾夫指數(shù)，且運算量較小。
本發(fā)明解決其技術問題所采用的技術方案是控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，包括以下步驟(1)利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)；(2)利用RBF神經網(wǎng)絡的逼近能力計算所述系統(tǒng)的Oseledec矩陣；(3)計算所述Oseledec矩陣的特征值，求得控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。
所述利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)的方法為對多維系統(tǒng)測量得到數(shù)據(jù)序列x(n)(n＝1，2，ΛN)，其中，x(n)為t0+nτ時刻記錄的數(shù)據(jù)，τ為采樣時間，t0為采樣起始時間；根據(jù)相空間重構理論，設y(t)＝[x(t)，x(t+T)，Λx(t+(d-1)T)]，其中d為嵌入維數(shù)，T為時滯，且T是τ的整數(shù)倍，所述y(t)就是d維重構相空間中的一點，它隨時間的變化形成d維歐氏空間的新的動力學系統(tǒng)，即y(t+T)＝F(y(t))。
計算所述系統(tǒng)的Oseledec矩陣的方法為所述公式y(tǒng)(t+T)＝F(y(t))出現(xiàn)微小擾動時，得到Δy(t+T)＝J(y(t))*Δy(t)，其中J(y(t))是映射F的雅可比矩陣；設映射F的第i個分量是fi，y(t)的第j個分量是xj，則J(y(t))=∂f1∂x1∂f1∂x2Λ∂f1∂xd∂f2∂x1∂f2∂x2Λ∂f2∂x2MMOM∂fd∂x1∂fd∂x2Λ∂fd∂xd,]]>根據(jù)y(t)的得到x(t+d×T)＝fd(y(t))，J(y(t))的形式為J(y(t))=010Λ0001Λ0MMMO1∂fd∂x1∂fd∂x2∂fd∂x3Λ∂fd∂xd,]]>按照該規(guī)律計算N次JN＝J(t+NT)J(t+(N-1)T)ΛJ(t)，根據(jù)Oseledec乘積遍歷性定理，構造Oseledec矩陣
limN→∞[{JNT}{JN}]1/2N.]]>所述步驟(3)中計算所述Oseledec矩陣的特征值時包括如下步驟先設求解的長乘積矩陣T＝TN·TN-1ΛT1，對此長乘積矩陣，計算Ti·Q(i-1)的QR分解T1·Q(0)＝Q(1)·R(1)，T2·Q(1)＝Q(2)·R(2)，Λ，TN·Q(N-1)＝Q(N)·R(N)其中Q(i)為正交矩陣，R(i)為上三角矩陣，Q(0)為d×d階單位矩陣，按公式limN→∞[{JNT}{JN}]1/2N]]>分解后，得到矩陣T的特征值λk=1NΣj=1N1nR(j)kk]]>，k＝1，2，Λd。
本發(fā)明的控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法在計算高維動力學系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)時，運算量較小，需要的計算時間很少，且使用較少的數(shù)據(jù)點能很快的計算出系統(tǒng)的指數(shù)譜，解決了現(xiàn)有技術中Wolf和BBA方法計算速度慢、所需樣本點多等缺點，其結果更準確，可以得到系統(tǒng)的全部李雅普諾夫指數(shù)譜。
具體實施方式下面結合具體實施例對本發(fā)明進一步說明。
(1)利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)假設對多維系統(tǒng)測量得到數(shù)據(jù)序列x(n)(n＝1，2，AN)，其中，x(n)表示t0+nτ時刻記錄的數(shù)據(jù)，τ為采樣時間，t0為采樣起始時間。根據(jù)相空間重構理論，設y(t)＝[x(t)，x(t+T)，Λx(t+(d-1)T]，其中d為嵌入維數(shù)；T為時滯，是τ的整數(shù)倍。y(t)就是d維重構相空間中的一點，它隨時間的變化就形成了d維歐氏空間的一個新的動力學系統(tǒng)，即y(t+T)＝F(y(t)) (1)通過分析(1)式的動力學系統(tǒng)就可以了解原系統(tǒng)x(n)的動力學特性。
(2)Oseledec矩陣的確定若(1)式出現(xiàn)微小擾動，則可以得到Δy(t+T)＝J(y(t))*Δy(t) (2)其中J(y(t))是映射F的雅可比矩陣。設映射F的第i個分量是fi，y(t)的第j個分量是xj，則J(y(t))=∂f1∂x1∂f1∂x2Λ∂f1∂xd∂f2∂x1∂f2∂x2Λ∂f2∂xdMMOM∂fd∂x1∂fd∂x2Λ∂fd∂xd---(3)]]>根據(jù)上述y(t)的定義可知x(t+d×T)＝fd(y(t)) (4)J(y(t))的形式為J(y(t))=010Λ0001Λ0MMMO1∂fd∂x1∂fd∂x2∂fd∂x3Λ∂fd∂xd---(5)]]>按照此種規(guī)律計算N次有JN＝J(t+NT)J(t+(N-1)T)ΛJ(t) (6)根據(jù)Oseledec乘積遍歷性定理，可構造Oseledec矩陣limN→∞[{JNT}{JN}]1/2N---(7)]]>計算此矩陣的特征值，即可求出原數(shù)據(jù)序列的李雅普諾夫指數(shù)譜。
在計算過程中，由于(7)式定義的矩陣存在著指數(shù)和分數(shù)冪，此矩陣往往是病態(tài)的，難以直接精確計算它的全部特征值。采用長乘積矩陣分解技術，可以解決此問題。先設求解的矩陣T＝TN·TN-1ΛT1(8)對此長乘積矩陣，計算Ti·Q(i-1)的QR分解T1·Q(0)＝Q(1)·R(1)，T2·Q(1)＝Q(2)·R(2)，(9)Λ，TN·Q(N-1)＝Q(N)·R(N)式中Q(i)為正交矩陣，R(i)為上三角矩陣，Q(0)是d×d階單位矩陣，按(7)式分解后，得到矩陣T的特征值λk=1NΣj=1N1nR(j)kk]]>，k＝1，2，Λd (10)因此，要求解數(shù)據(jù)序列所反映系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，就需求出(6)式中的每個雅可比矩陣。本發(fā)明采用RBF神經網(wǎng)絡逼近(4)式，從而得到雅可比矩陣的最后一行矩陣元。
(3)RBF神經網(wǎng)絡RBF網(wǎng)絡屬于局部逼近式多層前向神經網(wǎng)絡。此網(wǎng)絡結構簡單、訓練簡潔而且學習收斂速度快，能夠逼近任意非線性函數(shù)。它采用徑向基函數(shù)作為隱含層結點的基函數(shù)，隱含層對輸入向量進行非線性變換，再經輸出層的線性疊加輸出。
本發(fā)明采用廣義RBF神經網(wǎng)絡結構，其學習算法采用自組織選取中心法。這種方法由兩個階段構成一是自組織學習階段，即學習隱層基函數(shù)中心與方差的階段；二是學習輸出層權值的階段。其中自組織學習階段采用K-均值聚類算法，網(wǎng)絡輸出層權值可通過求解線性方程組來確定，即直接用偽逆的方法求解。
下面對本發(fā)明的算法進行驗證以Henon映射為例，按上述方法計算它的李雅普諾夫指數(shù)譜。Henon映射表示為x(t+1)＝1-ax(t)2+y(t) (11)y(t+1)＝bx(t)其中當a＝1.4，b＝0.3時，系統(tǒng)成為一個典型的二維混沌動力學系統(tǒng)，原系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)分別為λ1＝0.408，λ2＝-1.62。根據(jù)“Reggie Brown，Paul Bryant，HenryD.I.Abarbanel，Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed timeseries.Physical ReviewA.Vol.43.No.6.pp.2787-2805.1991”的計算結果，當嵌入維d＝2時，已經可以用重構的相空間計算出原系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，這說明此時的重構相空間已經可以反映原系統(tǒng)的動力學特性。因此可采用嵌入維d＝2，時滯T＝1的重構相空間驗證本發(fā)明算法的正確性。
以初值(0.25，0.25)迭代產生的x(t)混沌序列為例進行計算，去掉前面200個從初始位置到吸引子的過渡點，每100個點擬合一次，計算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。
本發(fā)明采用廣義RBF神經網(wǎng)絡，隱層結點數(shù)為51個，其中有一個結點的輸出恒為1，其他結點采用Gauss函數(shù)作為基函數(shù)。K-均值聚類算法前后兩次中心的變化小于ε＜0.1時結束調整。
下表(表1)是在d＝2時不同樣本點的比較，
在表1中，樣本點數(shù)目增加1.5倍，李雅普諾夫指數(shù)的精度變?yōu)?.7％，沒有很顯著得提高。這說明較少的樣本點數(shù)目就能算出較準確的李雅普諾夫指數(shù)，解決了BBA算法中運算量大，所需數(shù)據(jù)點多的缺點。
下表(表2)是樣本點為200個時不同嵌入維數(shù)的比較，
該表的結果表明，本發(fā)明的方法在計算高維動力學系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)時，運算量較小，需要的計算時間很少，在一般的PC機上就可以實現(xiàn)。
本發(fā)明采用的算法，使用較少的數(shù)據(jù)點能很快的計算出系統(tǒng)的指數(shù)譜，解決了以往Wolf和BBA方法計算速度慢、所需樣本點多的缺點，得到了較為滿意的結果。
權利要求
1.控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，包括以下步驟(1)利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)；(2)利用RBF神經網(wǎng)絡的逼近能力計算所述系統(tǒng)的Oseledec矩陣；(3)計算所述Oseledec矩陣的特征值，求得控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。
2.根據(jù)權利要求
1所述的控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，其特征在于所述利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)的方法為對多維系統(tǒng)測量得到數(shù)據(jù)序列x(n)(n＝1，2，ΛN)，其中，x(n)為t0+nτ時刻記錄的數(shù)據(jù)，τ為采樣時間，t0為采樣起始時間；根據(jù)相空間重構理論，設y(t)＝[x(t)，x(t+T)，Λx(t+(d-1)T)]，其中d為嵌入維數(shù)，T為時滯，且T是τ的整數(shù)倍，所述y(t)就是d維重構相空間中的一點，它隨時間的變化形成d維歐氏空間的新的動力學系統(tǒng)，即y(t+T)＝F(y(t))。
3.根據(jù)權利要求
2所述的控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，其特征在于計算所述系統(tǒng)的Oseledec矩陣的方法為所述公式y(tǒng)(t+T)＝F(y(t))出現(xiàn)微小擾動時，得到Δy(t+T)＝J(y(t))*Δy(t)，其中J(y(t))是映射F的雅可比矩陣；設映射F的第i個分量是fi，y(t)的第j個分量是xj，則J(y(t))=∂f1∂x1∂f1∂x2Λ∂f1∂xd∂f2∂x1∂f2∂x2Λ∂f2∂xdMMOM∂fd∂x1∂fd∂x2Λ∂fd∂xd,]]>根據(jù)y(t)的得到x(t+d×T)＝fd(y(t))，J(y(t))的形式為J(y(t))=010Λ0001Λ0MMMO1∂fd∂x1∂fd∂x2∂fd∂x3Λ∂fd∂xd,]]>按照該規(guī)律計算N次JN＝J(t+NT)J(t+(N-1)T)ΛJ(t)，根據(jù)Oseledee乘積遍歷性定理，構造Oseledec矩陣limN→∞[{JNT}{JN}]1/2N.]]>
4.根據(jù)權利要求
3所述的控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，其特征在于所述步驟(3)中計算所述Oseledec矩陣的特征值時包括如下步驟先設求解的長乘積矩陣T＝TN·TN-1ΛT1，對此長乘積矩陣，計算Ti·Q(i-1)的QR分解T1·Q(0)＝Q(1)·R(1)，T2·Q(1)＝Q(2)·R(2)，Λ，TN·Q(N-1)＝Q(N)·R(N)其中Q(i)為正交矩陣，R(i)為上三角矩陣，Q(0)為d×d階單位矩陣，按公式limN→∞[{JNT}{JN}]1/2N]]>分解后，得到矩陣T的特征值λk=1NΣj=1NlnR(j)kk,k=1,2,Λd.]]>
專利摘要
本發(fā)明公開了一種控制系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法，屬于非線性動力學系統(tǒng)理論應用技術。本發(fā)明的計算方法包括(1)利用相空間重構理論重現(xiàn)系統(tǒng)；(2)利用RBF神經網(wǎng)絡的逼近能力計算所述系統(tǒng)的Oseledec矩陣；(3)計算所述Oseledec矩陣的特征值，求得控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。本發(fā)明的控制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的計算方法在計算高維動力學系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)時，運算量較小，需要的計算時間很少，且使用較少的數(shù)據(jù)點能很快的計算出系統(tǒng)的指數(shù)譜，解決了現(xiàn)有技術中Wolf和BBA方法計算速度慢、所需樣本點多等缺點，其結果更準確，可以得到系統(tǒng)的全部李雅普諾夫指數(shù)譜。
文檔編號G05B13/02GK1996176SQ200610169885
公開日2007年7月11日 申請日期2006年12月30日
發(fā)明者吳云潔, 王衛(wèi)紅, 劉正華, 趙媛媛 申請人:北京航空航天大學導出引文BiBTeX, EndNote, RefMan