一種近距離航天器共面橢圓編隊(duì)的橢圓短半軸控制方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及軌道動(dòng)力學(xué)中的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及近距離航天器共面 橢圓編隊(duì)構(gòu)型控制中的橢圓短半軸控制策略。
【背景技術(shù)】
[0002] 對(duì)于近距離的共面橢圓編隊(duì)航天器，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的控制是實(shí)現(xiàn)群間衛(wèi) 星構(gòu)型的關(guān)鍵，而如何在要求的目標(biāo)構(gòu)型前提下實(shí)現(xiàn)最小控制量的控制則是我們亟需解決 的實(shí)際問題，因此，需要從理論上推導(dǎo)橢圓短半軸改變量Ab與控制量AV、控制時(shí)機(jī)Θ、控 制方向Δ φ的關(guān)系。
[0003] 目前，近距離航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的編隊(duì)構(gòu)型控制策略多采用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法。運(yùn)動(dòng)學(xué) 方法原理簡單，計(jì)算精度高，但需要高精度的數(shù)值積分對(duì)其控制策略進(jìn)行規(guī)劃，計(jì)算量大， 需要衛(wèi)星的絕對(duì)軌道數(shù)據(jù)作為輸入，對(duì)于距離較近的合作航天器，其精確的相對(duì)軌道測(cè)量 信息在這種方法中基本無法應(yīng)用。并且，對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，沒有較簡單的解析方法能夠清 晰、直觀地得到控制量對(duì)其相對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)參數(shù)的改變量值，無法利用解析解進(jìn)行最優(yōu)控制 策略規(guī)劃。
[0004] 為了得到控制量與相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓參數(shù)的改變關(guān)系直觀的解析解，需要探求通過理 論推導(dǎo)的方法，利用描述近距離航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的Hill方程的解析解，得到橢圓短半軸改 變量Ab、控制量AV、控制時(shí)機(jī)Θ與控制方向Δ φ的關(guān)系，能夠?qū)π巧系目刂撇呗云饍?yōu)化 指導(dǎo)作用。本方法完全不依賴絕對(duì)軌道信息的實(shí)時(shí)輸入，僅通過相對(duì)軌道測(cè)量信息以及參 考星的平均軌道角速率就可以用來規(guī)劃控制策略。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明所要解決的技術(shù)問題是：依據(jù)相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方法，推導(dǎo)控制量對(duì) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)一相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的改變，得到直觀的物理關(guān)系，推導(dǎo)過程基于二元連 續(xù)函數(shù)的極值理論。
[0006] 為了達(dá)到上述目的，本發(fā)明采用如下的技術(shù)方案：
[0007] 首先，通過Hill方程解得到軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓參數(shù)，得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短 半軸b的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式得到橢圓短半軸改變量Ab與控制量AV、控制時(shí)機(jī)Θ以及控 制方向Φ的關(guān)系。
[0008] 其次，根據(jù)橢圓短半軸改變量Ab的表達(dá)式，利用二元連續(xù)函數(shù)求極值的方法，對(duì) 橢圓短半軸改變量A b求一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到一階導(dǎo)數(shù)為0的駐點(diǎn)條件。
[0009] 最后，根據(jù)二元函數(shù)自變量控制時(shí)機(jī)Θ以及控制方向Φ的具體意義，對(duì)駐點(diǎn) 條件分情況討論，最終得到極值條件以及一些特殊的駐點(diǎn)控制結(jié)論。
[0010] 進(jìn)一步地，本技術(shù)方案的具體實(shí)現(xiàn)步驟介紹如下：
[0011] 步驟1，根據(jù)Hill方程得到Hill方程參數(shù)解，得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸b的表達(dá) 式。
[0012] 由Hill方程可知，伴隨衛(wèi)星在軌道面內(nèi)相對(duì)參考星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解為相對(duì)軌道坐 標(biāo)系（也稱LVLH坐標(biāo)系，X軸由地心指向參考星質(zhì)心，為徑向；y軸在軌道面內(nèi)垂直于X軸 沿飛行方向，為橫向；z軸為軌道面法向，可參見"圖1"）下長半軸為短半軸兩倍的橫向漂 移橢圓，得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何解和參數(shù)解如下
[0015] 公式⑴和公式⑵中：η為參考星平均軌道角速度，為相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中 心，b為相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸，Θ =nt+0為伴隨衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位（可參見圖 2)，Θ為初始相位。任一時(shí)刻t伴隨衛(wèi)星相對(duì)參考星在軌道面內(nèi)相對(duì)狀態(tài)分量(Av)v4j);已 知，橢圓中心、橢圓短半軸和橢圓上的相位可寫成如下表達(dá)
[0019] 步驟2,根據(jù)Hill方程解得到橢圓短半軸改變量Δ b與控制量Δ V、控制時(shí)機(jī)Θ、 控制方向Φ之間的關(guān)系。
[0020] 任何矢量都可分解在兩個(gè)相互垂直的正交方向上，將軌道面內(nèi)的控制量AV分解 為橫向控制量AV y= AV C0S(})和徑向控制量AVx= AV Ε?ηφ (其中AV為控制量的大 小，Φ為控制方向角，從相對(duì)軌道坐標(biāo)系的正y軸起算，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正），由公式（4)可 知，橫向控制和徑向控制均會(huì)改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的大小。設(shè)橫向控制量A Vy與徑向 控制量A Vx使橢圓短半軸改變Ab，由公式（4)可知
[丨
[0022] 上面兩式相減并考慮公式（2)可得
[0023]
[0024] 上式為Δ b的一元二次方程，有兩個(gè)數(shù)學(xué)解
[0030] 其中K = 為控后相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸，其物理意義決定b'必須為非負(fù)值，所 以公式（8)只能取" + "號(hào)，橢圓短半軸改變量Ab的最終表達(dá)為
[0031]
^ (Il)
[0032] 由公式（11)可知，控制量大小AV-定時(shí)，橢圓短半軸改變量Ab與控制時(shí)機(jī)Θ 和控制方向Φ相關(guān)。
[0033] 步驟3,二元連續(xù)函數(shù)Ab對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ及控制方向Φ求導(dǎo)數(shù)。
[0034] 引入中間變量λ = AVAnb) > 0,公式（9)進(jìn)一步化簡為
[0035] A = 3 λ 2COs2 Φ _2 λ (sin Φ sin Θ+2cos Φ cos Θ) + λ 2+1 (12)
[0036] 由公式（12)可知，中間變量A為控制方向Φ和控制時(shí)機(jī)Θ的二元連續(xù)函數(shù)，求 其最大值。
[0037] A對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ求一階偏導(dǎo)數(shù)
[0038] A1 θ =-2 λ (sin Φ cos Θ-2cos Φ sin Θ) (13)
[0039] A對(duì)控制方向Φ求一階偏導(dǎo)數(shù)
[0040] A' φ =-6 λ 2sin Φ cos Φ-2 λ (cos Φ sin Θ-2sin Φ cos Θ) (14)
[0041] A對(duì)控制時(shí)機(jī)θ求二階偏導(dǎo)數(shù)
[0042] Α" θ θ = 2 λ (sin Φ sin Θ+2cos Φ cos Θ) (15)
[0043] A對(duì)控制方向Φ求二階偏導(dǎo)數(shù)
[0044] Α" φ φ =-6 λ 2cos2 Φ+2 λ (sin Φ sin Θ+2cos Φ cos Θ) (16)
[0045] A對(duì)控制時(shí)機(jī)θ和控制方向Φ求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，由于二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有
[0046] Alfθφ=Α//φθ =-2 λ (cos Φ cos Θ+2sin Φ sinΘ) (17)
[0047] A取極值的必要條件之一為"一階偏導(dǎo)數(shù)為0"，即
[0048]
[0049] 推得
[0050]
[0051] 步驟4,對(duì)A取極值的必要條件之一（駐點(diǎn)條件）分情況討論。
[0052] 一、cos Θ = 〇 或 cos Φ = 0
[0053] 由公式（18)第一式可知，當(dāng)cos Θ = 0時(shí)可推得cos Φ = 0,當(dāng)cos Φ = 0時(shí)同樣 可推得cos Θ = 0,即cos Θ = 0和cos Φ = 0同時(shí)成立，即在左右點(diǎn)（可參見圖3、圖4) 徑向或反徑向施加控制。
[0054] (1) Θ = 90°，Φ = 90° (左點(diǎn)徑向）或 Θ = -90°，Φ = -90° (右點(diǎn)反徑 向）
[0055] Α' Θ6)=2λ，Α' +2 λ，A ' φ 〇= _4 λ (20)
[0056] 若A取極值，則必有
[0057]
[0058] It 匕時(shí)
[0059] Α" ΘΘ = 2 λ > 〇 (22)
[0060] 當(dāng)λ = 1時(shí)，從物理意義上判定也為極值。即當(dāng)λ彡1時(shí)，取極小值，此時(shí)橢圓 短半軸改變量為
[0061]
[0062] 可能增大也可能減小橢圓。即在左點(diǎn)徑向或右點(diǎn)反徑向控制，當(dāng)λ > 1，即AV > nb時(shí)，考慮控制量從零逐漸加到△ V，橢圓短半軸先減小到最小值后又增大，最終結(jié)果可能 比初始橢圓短半軸小，也可能比初始橢圓短半軸大：
[0063] 當(dāng)1 < λ彡2,即nb < AV彡2nb時(shí)，橢圓短半軸最終比初始橢圓短半軸小或等 于初始短半軸；
[0064] 當(dāng)λ > 2,即AV > 2nb時(shí)，橢圓短半軸最終比初始橢圓短半軸大。
[0065] (2) Θ = 90°，Φ = -90° (左點(diǎn)反徑向）或 Θ = -90°，Φ = 90° (右點(diǎn)徑 向）
[0066] Α" θθ=-2λ，Α" φφ=6λ2-2λ，Α" φθ=4λ (24)
[0067] 此時(shí)
[0068] Α" θ θ · Α" φ φ-Α" φ θ · Α" φ θ =-12 λ 2 · ( λ+1) < 〇 十旦成立（25)
[0069] 非極值，此時(shí)橢圓短半軸改變量為
[0070]
[0071] 肯定將橢圓短半軸增大Ab = Δ V/n。
[0072] 二、cos?乒0且cos Φ乒0(非左右點(diǎn)徑向或反徑向控制）
[0073] 由公式（19)可得
[0074]
[0075] 舺舁恃到
[0076] sin<}) = 0 且 sin? = 0 或 cos? = 2Acos<})且 sin? = λβ?ηΦ (28)
[0077] 討論兩個(gè)解的情況如下。
[0078] 1. β?