專利名稱：混q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法和混q算盤的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和算盤領(lǐng)域。
背景技術(shù)：
數(shù)字工程包括數(shù)字電視、數(shù)碼相機(jī)、數(shù)控機(jī)床以及大中型數(shù)字化設(shè)備和數(shù)字系統(tǒng)工程等等。本發(fā)明中“數(shù)字工程”是專指“數(shù)字計(jì)算工程”。它不是解決一個(gè)個(gè)具體的算題，而是四則運(yùn)算法則本身的數(shù)字工程實(shí)現(xiàn)技術(shù)方案。它與具體的計(jì)算工具密切相關(guān)。眾所周知，“計(jì)算”有好多種，除“近似計(jì)算”、“模擬計(jì)算”及“無工具計(jì)算(心算、指算、口算，包括口訣、速算、估算)”外，則為“采用工具的數(shù)字計(jì)算”。
“采用工具的數(shù)字計(jì)算”僅有三種，這就是數(shù)字電算、珠算、筆算。與此相應(yīng)的數(shù)字計(jì)算工程也就僅有三種數(shù)字計(jì)算機(jī)；算盤；采用筆和紙進(jìn)行筆算的數(shù)字計(jì)算工程，簡稱為“筆算工程”。
四則運(yùn)算是數(shù)的最基本運(yùn)算。正如恩格斯所說“四則(一切數(shù)學(xué)的要素)?！奔臃ㄓ质撬膭t運(yùn)算的最基本的運(yùn)算。因此，我們理所當(dāng)然應(yīng)當(dāng)對四則運(yùn)算，尤其是對加法運(yùn)算給予特別的關(guān)注。當(dāng)前數(shù)字工程方法中數(shù)學(xué)的四則運(yùn)算，首先是加法，有許多不盡如人意之處。主要表現(xiàn)為運(yùn)算速度慢；在減法中，未能充分利用負(fù)數(shù)的作用，而且，不能“連減”。尤其在加減混合運(yùn)算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺點(diǎn)更加擴(kuò)大嚴(yán)重；在除法中，上述缺點(diǎn)依舊?？傊谧钚〉臄?shù)體——有理數(shù)體中，四則運(yùn)算情況并不滿意。
在筆算數(shù)字工程中，對運(yùn)算的解剖，表明存在一些隱含的操作程123456+345678＝46913478+297+259＝634 式一式二序，以至產(chǎn)生“隱患”。以加法為例。例一“兩數(shù)相加”。算式如式一。其中，十位上的和數(shù)3，解剖一下，其微程序操作是(凡未注明所屬數(shù)制的數(shù)，均為普通十進(jìn)制數(shù)。下同。) 個(gè)位上來的進(jìn)位(見標(biāo)志) 十位上5、7兩數(shù)字與低位進(jìn)位相加，即(5+7+1)。取其和的個(gè)位。 上列(5+7+1)和的進(jìn)位送到高位(見標(biāo)志)。其余各位情況類似。又如，例二，設(shè)三數(shù)求和，算式如式二78+297+259＝634如圖可見，上述情況更為加重。
顯然，存在下列缺點(diǎn)a.進(jìn)位標(biāo)示困難。若用小數(shù)字表明，則易混淆且字面積受限。特別是表456789時(shí)就更煩人；若以“.”字寫在數(shù)字間，則易與小數(shù)點(diǎn)混淆且表示456789也不便；若以手指數(shù)數(shù)，則速度慢且不方便；若心算，則費(fèi)腦力且易錯(cuò)?？傊容^討厭，易出錯(cuò)。
b.一般兩數(shù)相加時(shí)，每一位上要有三個(gè)數(shù)相加求和。于是，需二次運(yùn)算。三及三以上個(gè)數(shù)求和時(shí)，則更不方便。
c.驗(yàn)算困難。一般采用重做一遍，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。
②減法比加法麻煩。且不能在同一豎式中“連減”，必須斷開。特別在加減混合運(yùn)算時(shí)，不能一步到位。
③乘除法中，這類情況更為嚴(yán)重。而且，加減乘除運(yùn)算格式不統(tǒng)一，除法時(shí)另起爐灶。
另一方面，在電子計(jì)算機(jī)的數(shù)字工程中，同樣有大量的數(shù)值運(yùn)算。這些數(shù)一般均采用普通二進(jìn)制數(shù)制{二}來表示。其負(fù)數(shù)常以原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼之類來表示。在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)中運(yùn)算均以二個(gè)數(shù)運(yùn)算，而無法實(shí)現(xiàn)“多重運(yùn)算”。所謂“多重運(yùn)算”是指多于二個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行加減。
在采用其他普通Q進(jìn)制{Q}等普通數(shù)制的電子計(jì)算機(jī)中，存在相應(yīng)的許多復(fù)雜性。[Q為自然數(shù)。]發(fā)明內(nèi)容本發(fā)明提出一種新的數(shù)字工程方法，顯著提高運(yùn)算速度，同時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障，使出錯(cuò)的可能性顯著減少。
本發(fā)明的另一個(gè)目的是提供一種新的算盤。它運(yùn)算的數(shù)不僅可以是普通十進(jìn)制數(shù)，而且可以是包含普通十進(jìn)制數(shù)在內(nèi)的混十進(jìn)制數(shù)。Q＝10時(shí)，混Q進(jìn)制數(shù)即混十進(jìn)制數(shù)，故本發(fā)明稱為“混Q算盤”。
根據(jù)本發(fā)明的一個(gè)方面，提供一種混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，包括以下步驟第1步，將參與運(yùn)算的普通Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)字都加上一個(gè)數(shù)符，即表示該位數(shù)為正或負(fù)，使它成為每一位均帶符號的混Q進(jìn)制數(shù)，設(shè)，參予運(yùn)算的數(shù)為K個(gè)混Q進(jìn)制數(shù)，K為≥2的正整數(shù)；第2步，對K個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行混Q進(jìn)制的求和運(yùn)算，從最低位開始按位相加，即在某一位上，取前述K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)按位相加，得到“按位和”為該位這二個(gè)數(shù)相加的和數(shù)；將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“混Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步的運(yùn)算，如此反復(fù)，直至K個(gè)數(shù)均取完為止；當(dāng)K個(gè)數(shù)中僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層的同一位上作為“部份和”數(shù)；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算，直至K個(gè)運(yùn)算數(shù)的每一位都已全部操作；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)與進(jìn)位行中的“進(jìn)位數(shù)”進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；第6步，重復(fù)第2步至第5步的運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“混Q進(jìn)位”為止，則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求加法運(yùn)算結(jié)果。
上述混Q進(jìn)制數(shù)可以不另行編碼；可以普通8421碼等來編碼；也可以全一碼來編碼。即，將各個(gè)混Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以S個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為(Q-1)位；同時(shí)，將混Q進(jìn)制數(shù)中該位的數(shù)符，即表示該位為正為負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符。
上述運(yùn)算數(shù)可以是混Q進(jìn)制數(shù)，或者普通混Q進(jìn)制數(shù)，或者混數(shù)數(shù)制數(shù)。
根據(jù)本發(fā)明的另一個(gè)方面，提供一種混十進(jìn)制算盤。在盤狀長方形機(jī)械框架結(jié)構(gòu)中，如圖1機(jī)械原理圖所示，在上下框之間采用15檔豎檔，或多于15檔，或少于15檔。每根豎檔上貫穿有10只算珠，上面5只算盤涂以紅色，下面5只涂以綠色。上框的水平中線位置上有上框小槽。小槽中有圓型游標(biāo)一只，或者一只以上，或者沒有。游標(biāo)可以在槽中左右滑動，作為參與運(yùn)算及結(jié)果數(shù)的小數(shù)點(diǎn)或其他特定的定位標(biāo)記。


圖1為本發(fā)明混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法和混Q算盤的機(jī)械原理圖。圖中標(biāo)有1.算珠，2.左框，3.游標(biāo)1，4.游標(biāo)2，5.上框，6.上框小槽，7.豎檔，8.右框，9.下框。豎檔共15根，每根上有10只算珠，其中上面5只算珠涂以紅色，下面5只涂以綠色。算珠的初始位置，均在豎檔的中央部分，而豎檔的上下兩端均為空位。圖2為本發(fā)明的另一種形式。它與圖1的區(qū)別僅僅在于算珠的初始位置不在豎檔的中央，而在豎檔的上下端。平常初始位置時(shí)，上面5只算珠(1)依次緊靠上框(5)，下面5只算珠(1)依次緊靠下框(9)。
具體實(shí)施例方式
1、《進(jìn)位行方法》1.1進(jìn)位與《進(jìn)位行方法》在電子計(jì)算機(jī)中，運(yùn)算速度提高的關(guān)鍵之一，就在于“進(jìn)位”。進(jìn)位的獲得，進(jìn)位的存貯以及進(jìn)位的參予運(yùn)算都是至關(guān)重要的?！斑M(jìn)位”就是爭“速度”。在筆算中，還直接影響到“出錯(cuò)率”。
所謂《進(jìn)位行方法》就是，在運(yùn)算過程中，將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在參予運(yùn)算的位置，然后直接進(jìn)行運(yùn)算的方法。通常，將同運(yùn)算層各位上的進(jìn)位排列成一行，稱為“進(jìn)位行”。(運(yùn)算層的概念，見下節(jié))舉例如下，設(shè)兩普通十進(jìn)制數(shù)求和，算式以豎式求和。如式三123456+345678＝469134 式三為簡化起見，這里將橫豎式合寫。個(gè)位運(yùn)算(6+8)＝14，其進(jìn)位1寫于下一行的高一位上。依此類推。
式中二數(shù)相加時(shí)，各位上不計(jì)進(jìn)位的求和，稱為“按位加”。其和稱為“按位和”。按位和的運(yùn)算行，稱為“行”。
各進(jìn)位排成的行，稱為“進(jìn)位行”。由行與進(jìn)位行組成“運(yùn)算層”。
式中一些“+”號已省去。以后可以知道，在《混進(jìn)方法HJF》中，各個(gè)“運(yùn)算層”只存在一種運(yùn)算，這就是“+”。故可以不必在運(yùn)算層中寫出“+”號。
1.2《進(jìn)位行方法》分析1.2.1二數(shù)求和的分析采用《進(jìn)位行方法》的加法運(yùn)算由上節(jié)可知①兩數(shù)相加時(shí)，每一位上只有二個(gè)數(shù)相加，不可能二個(gè)以上數(shù)加；②在進(jìn)位行中直接標(biāo)示進(jìn)位，不存在任何困難；③驗(yàn)算十分方便。
兩數(shù)相加時(shí)，任意位上要么有進(jìn)位記為1，要么無進(jìn)位記為0；[引理二]兩數(shù)相加時(shí)，任意位上的和可為0～9之一。但是，當(dāng)該位上有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和只能為0～8之一，而不能為9。
由[引理一]和[引理二]可得 式五 式四 兩數(shù)相加時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)某位上沒有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和才可能出現(xiàn)9。
1.2.2層次概念及運(yùn)算層設(shè)兩數(shù)求和。算式為式四、式五由式四可見，運(yùn)算是分層次進(jìn)行的，每一運(yùn)算層，僅完成一項(xiàng)簡單運(yùn)算。這就是運(yùn)算的“層次”概念，運(yùn)算層將一個(gè)運(yùn)算解剖成微運(yùn)算、子運(yùn)算?！皩哟巍备拍钤跀?shù)學(xué)中是基本概念?！哆M(jìn)位行方法》正是建立在此概念基礎(chǔ)上。以往的加法運(yùn)算方法，本質(zhì)上也隱含“層次”概念。因此，《進(jìn)位行方法》中的“層次”從總體上看，并未增加運(yùn)算的復(fù)雜性。反之，以往的方法由于隱含了“層次”，反而進(jìn)一步增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。這一點(diǎn)，也進(jìn)一步造成運(yùn)算速度被明顯降低。兩者對比，就會一清二楚。
在《進(jìn)位行方法》中，兩數(shù)相加的各個(gè)運(yùn)算層，可以合并為一個(gè)運(yùn)算層。如式五，請見進(jìn)一步分析。
1.2.3唯一的運(yùn)算層兩數(shù)相加時(shí)，特別情況下會出現(xiàn)多次運(yùn)算層。各層有如下關(guān)系成立。
二數(shù)相加，當(dāng)某位前一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其后各運(yùn)算層上均不可能出現(xiàn)進(jìn)位。(由引理一、二得)[引理四]二數(shù)相加，當(dāng)某位后一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其前各運(yùn)算層上必?zé)o進(jìn)位。(由引理一、二得)[定理二]二數(shù)相加時(shí)，同一位各運(yùn)算層上，要么都無進(jìn)位，要么只能有一個(gè)進(jìn)位。(由引理三、四得)[推論]可以將全部各層進(jìn)位行合并為一個(gè)進(jìn)位行，各運(yùn)算層合 式六 式七并為一個(gè)運(yùn)算層。
1.2.4三數(shù)及三數(shù)以上求和分析設(shè)三數(shù)求和，算式為231+786+989＝2006(見式六)操作要點(diǎn)①“劃Q”的運(yùn)用；所謂“劃Q”，即Q進(jìn)位的兩數(shù)在某位上相加時(shí)，其按位加和為零，但該位上產(chǎn)生進(jìn)位(與兩數(shù)符號一致)。進(jìn)位放入進(jìn)位行；同時(shí)，在某位上，該兩數(shù)均不再參加運(yùn)算。
在十進(jìn)制時(shí)即為“劃十”。
a、同一位上兩數(shù)和為“十”時(shí)，可在算式中將兩數(shù)字以斜線劃去，然后在高位上補(bǔ)1。
b、同一位上幾數(shù)和為20、30、40……等時(shí)，可將幾數(shù)字均劃去，然后在高位上補(bǔ)2、3、4……等。
又，設(shè)六數(shù)求和。算式為786+666+575+321+699+999＝2046(見式七)。
②多個(gè)數(shù)相加，會出現(xiàn)二個(gè)及二個(gè)以上的運(yùn)算層。為了減少運(yùn)算層數(shù)，同一位上的同一運(yùn)算層空位中，進(jìn)位及和數(shù)可以任意占位。
③盡量減少運(yùn)算層。a、較小的數(shù)，直接合并算；b、盡量在“配對”中進(jìn)位；c、盡量減少在第一運(yùn)算層上相加數(shù)的個(gè)數(shù)，盡量使第二及二以上運(yùn)算層不出現(xiàn)。
④同一位上，“相同數(shù)”、“連續(xù)數(shù)”等可直接獲得“部分和”。
⑤設(shè)有m個(gè)數(shù)求和。(m為≥2的自然數(shù)。)總運(yùn)算層以n來表示。(n為非負(fù)整數(shù))。則 式八2、混數(shù)及混數(shù)數(shù)制2.1《數(shù)制理論》2.1.1按同一種規(guī)則記錄數(shù)，便于用來在一個(gè)數(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)的制度，稱為“記數(shù)系統(tǒng)的制度”。簡稱為“數(shù)制”。一個(gè)數(shù)的質(zhì)，首先就是由其所屬的數(shù)制來決定的。恩格思指出“單個(gè)的數(shù)在記數(shù)法中已經(jīng)得到了某種質(zhì)，而且質(zhì)是依照這種記數(shù)法來決定的?！薄耙磺袛?shù)的定律都取決于所采用的記數(shù)法，而且被這個(gè)記數(shù)法所決定?！薄稊?shù)制理論》就是研究數(shù)制的生成、分類、分析、比較、變換等以及數(shù)在各鄰近學(xué)科與實(shí)踐中應(yīng)用的科學(xué)。它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。
數(shù)制是數(shù)的屬性。不存在沒有所屬數(shù)制的數(shù)，也不存在沒有所屬數(shù)的數(shù)制。[文中凡未標(biāo)明數(shù)制的數(shù)，均指普通十進(jìn)制數(shù)。下同。]2.1.2位值制數(shù)制設(shè)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)系的數(shù)由各不相同位置上的“數(shù)符”來表示?！皵?shù)符”又稱“數(shù)字”，通常從右向左水平排列，其相應(yīng)的數(shù)值由低(小)到高(大)。每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字給定一個(gè)單位值(又稱“位值”)，由此來表示整個(gè)數(shù)系中每一個(gè)數(shù)的數(shù)制，稱為“位值制數(shù)制”。
我們以下討論的數(shù)制，都是“位值制數(shù)制”。簡稱為“數(shù)制”。所討論的數(shù)均約定為整數(shù)。
2.1.3數(shù)制的三大要素?cái)?shù)位I，數(shù)元集Zi和權(quán)Li。
a、數(shù)位I，表示數(shù)制中數(shù)的各位數(shù)字的位置。以I(序數(shù))從右自左來表示。即，i＝1，2，3，……表示該數(shù)的第1，2，3，……位。
b、數(shù)元集Zi，表示第I位上的“數(shù)元”組成的集合。同一數(shù)制系統(tǒng)中，各個(gè)數(shù)同一位上不同符號的全體，組成一個(gè)該位上的數(shù)符集。該數(shù)符集中的元素，稱為“數(shù)的元素”。簡稱為“數(shù)元”。因此，該數(shù)符集稱為“數(shù)元集”。
數(shù)元集Zi可以隨著i的取值不同而不同，也可以相同。
數(shù)元集Zi中的數(shù)元可為復(fù)數(shù)或其他多種多樣符號。以aj來表示數(shù)元(a1，a2，a3，……)以iaj表示第i位上數(shù)元aj(j為自然數(shù))數(shù)元集Zi的基數(shù)Pi(Pi為≥2的自然數(shù))表示了集的元素總數(shù)。它“不但決定它自己的質(zhì)，而且也決定其他一切數(shù)的質(zhì)?！盤i的取值不同，標(biāo)示了數(shù)元集Zi的變化。各位上的Pi均相同，則稱為“單一基數(shù)”；否則，稱為“混合基數(shù)”。相應(yīng)的數(shù)制，稱為“單一數(shù)制”及“混合數(shù)制”。
c、權(quán)Li，表示第i位上的位值大小。特稱此位值為“權(quán)Li。”Li為實(shí)數(shù)(由于復(fù)數(shù)集非有序體，故不采用)。不同的Li，就決定了不同的位值。
在“編碼理論”中，“編碼”的主要特征就在于權(quán)Li。
實(shí)際中常見的權(quán)Li采用所謂“冪權(quán)”。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算起見，常取Qi為自然數(shù)。常見各位Li均為冪權(quán)，而且成等比Q的數(shù)制。Q稱為數(shù)制冪權(quán)的“底數(shù)”或數(shù)制的“底數(shù)”。底數(shù)Q的不同，決定了不同的Li，從而決定了不同的位值。通常，稱這種數(shù)制為“Q進(jìn)制”。當(dāng)Q＝2，3，10等時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制就被稱為“二進(jìn)制”、“三進(jìn)制”、“十進(jìn)制”等。
另一種常用的權(quán)Li采用“等權(quán)”，即各位上的權(quán)相同。
根據(jù)上述數(shù)制的三大要素，數(shù)制可以有無窮無盡的種類。
2.2混數(shù)及混數(shù)數(shù)制在任一個(gè)數(shù)制中，當(dāng)p＝Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)唯一的形態(tài)表達(dá)，稱為“連續(xù)數(shù)制”，又稱“普通數(shù)制”；當(dāng)P＞Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)，但有時(shí)以多種形態(tài)表達(dá)，稱為“重復(fù)數(shù)制”；當(dāng)P＜Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中只能斷續(xù)的形態(tài)表達(dá)，稱為“斷續(xù)數(shù)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中，含數(shù)元0時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“含0數(shù)制”；當(dāng)數(shù)元集Zi中，全部數(shù)元為連續(xù)整數(shù)時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“整數(shù)段數(shù)制”；當(dāng)數(shù)元集Zi中，既有正數(shù)元，又有負(fù)數(shù)元時(shí)，相應(yīng)數(shù)制被稱為“混數(shù)數(shù)制”；混數(shù)數(shù)制中的數(shù)，稱為“混數(shù)”?！盎鞌?shù)”中既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù)，稱“純混數(shù)”。在{Q*}數(shù)中，既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù)，稱為“純{Q*}數(shù)”。({Q*}定義見下一節(jié)。)當(dāng)數(shù)元集Zi中，正負(fù)數(shù)元是相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)數(shù)制稱為“對稱數(shù)制”；顯然，“對稱數(shù)制”是“混數(shù)數(shù)制”的一種。
2.3混Q進(jìn)制{Q*}和普通混Q進(jìn)制{普Q*}在《數(shù)制理論》中，一個(gè)數(shù)制的名稱采用“ Zi Li”。例如{0，1，2，}三進(jìn)制；或者Zi以文字表明其特征。
對于普通十進(jìn)制，在《數(shù)制理論》中，它的名稱是“單一基數(shù)P＝10，含0，整數(shù)段，非負(fù)不對稱的十進(jìn)制”。可寫為{十，含0，整數(shù)段，非負(fù)}十進(jìn)制，或者寫為{0，1，2，……，9}十進(jìn)制。一般情況下，我們進(jìn)一步縮寫為{十}，稱為“普通十進(jìn)制”。
對于普通二進(jìn)制在《數(shù)制理論》中，它的名稱是“單一基數(shù)P＝2，含0，整數(shù)段，非負(fù)不對稱的二進(jìn)制”。可寫為{二，含0，整數(shù)段，非負(fù)}二進(jìn)制，或者寫為{0，1}二進(jìn)制。一般情況下，我們進(jìn)一步縮寫為{二}，稱為“普通二進(jìn)制”。
本文中《混數(shù)、進(jìn)位行方法》(簡稱《混進(jìn)方法HJF》見下一節(jié)。)中的混數(shù)數(shù)制主要有四類。在《數(shù)制理論》中，它們的名稱分別是“單一基數(shù)P＝19，含0，整數(shù)段，對稱的十進(jìn)制”?？蓪憺閧十九，含0，整數(shù)段，對稱}十進(jìn)制，或者寫為{0，±1，±2，……，±9}十進(jìn)制。一般情況下，我們進(jìn)一步縮寫為{+*}，稱為《混十進(jìn)制》(用于筆算數(shù)字工程，特別是有理數(shù)運(yùn)算教科書等時(shí))?；蛘?，“單一基數(shù)P＝3，含0，整數(shù)段，對稱的二進(jìn)制”?？蓪憺閧三，含0，整數(shù)段，對稱}二進(jìn)制，或者寫為{0，±1}二進(jìn)制。一般情況下，我們進(jìn)一步縮寫為{二*}，稱為《混二進(jìn)制》(用于計(jì)算機(jī)等時(shí))。同樣，對于{0，±1，……，±(Q-1)}Q進(jìn)制稱為“含0混Q進(jìn)制”。當(dāng)不致誤解時(shí)，也稱為《混Q進(jìn)制》。Q為＞1的整數(shù)；同樣，對于不含0的{±1，…，±Q}Q進(jìn)制，縮寫為{不含0 Q*}，稱為《不含0混Q進(jìn)制》。Q為自然數(shù)。含0與不含0的“混Q進(jìn)制”合并起來，也常常統(tǒng)稱為“混Q進(jìn)制”。以符號{Q*}來表示，此時(shí)，Q為自然數(shù)。
在混數(shù)數(shù)制中，另一類為普通數(shù)制“Q，含0，整數(shù)段，對稱Q進(jìn)制”，稱為“含0，整數(shù)段，對稱，普通Q進(jìn)制”，稱為“含0普通混Q進(jìn)制”。當(dāng)不致誤解時(shí)，也稱為“普通混Q進(jìn)制”，Q只能為＞1的奇數(shù)。其中典型的是{1，0，1}三進(jìn)制，稱為“普通混三進(jìn)制”{普三*}。[注令負(fù)A表為，讀作負(fù)A。如，負(fù)1＝1。下同。]在不含0的混數(shù)數(shù)制中，有一類為普通數(shù)制“Q，不含0，整數(shù)段，對稱Q進(jìn)制”，稱為“不含0，整數(shù)段，對稱，普通Q進(jìn)制”，又稱為“不含0普通混Q進(jìn)制”{不含0普Q*}。其中典型的是{1，1}二進(jìn)制，稱為“不含0普通混二進(jìn)制”{不含0普二*}。顯然，不含0普通混Q進(jìn)制中，Q只能為正偶數(shù)。含0與不含0的“普通混Q進(jìn)制”合并起來，也常常統(tǒng)稱為“普通混Q進(jìn)制”，以符號{普Q*}來表示。此時(shí)，Q為＞1的整數(shù)。
除上述四類“對稱混數(shù)數(shù)制”外，其他對稱混數(shù)數(shù)制，稱為“其他對稱混數(shù)數(shù)制”；其他不對稱混數(shù)數(shù)制，稱為“非對稱混數(shù)數(shù)制”。
3、《混進(jìn)方法HJF》及其混十進(jìn)制{十*}四則運(yùn)算。
采用混數(shù)和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法，稱為《混數(shù)、進(jìn)位行方法》，簡稱為《混進(jìn)方法HJF》。當(dāng)用于筆算數(shù)字工程，特別是有理數(shù)運(yùn)算教科書等之中時(shí)，采用的是{+*}混十進(jìn)制的《混進(jìn)方法HJF》。當(dāng)用于電子計(jì)算機(jī)等之中時(shí)，采用的是{二*}混二進(jìn)制及{十*}混十進(jìn)制等的《混進(jìn)方法HJF》。
3.1{+*}的加法 (見式九)式九式中求得和為573。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí)，和為427。一般來說，所求和573不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí)，方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.2{+*}的減法3.2.1例123-456＝123+456＝339首先化為加法來運(yùn)算，這是由于混數(shù)的特性所決定。這一來，實(shí)際計(jì)算中，加減就合并為加法了。這就消除了通常連加減的困難。
例112+56-32-85+67-46＝72 (見式十) 式十一式十3.2.2約混。這是指二數(shù)求和時(shí)，同一位上的相反數(shù)可以消去。也可稱為“對消”或“對沖”。在算式中，可以斜線劃去。也就是說，所謂“對沖”，即兩相反數(shù)，其和為零。該某位上的兩數(shù)不再參加以后的運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)算中，采用先“對沖”后“劃Q”來獲得混Q數(shù)的結(jié)果。
3.3{+*}的乘法例238×89＝12502 (見式十一)3.4{+*}的除法例5728÷23＝249……1要點(diǎn)①式十二采用原普通除法，現(xiàn)采用四則統(tǒng)一算式如式十三。
②式十三中57-23×2＝57+23×2＝57+46也就是說，由于采用混數(shù)可使除法中的“減”過程變?yōu)椤凹印钡倪^程。其余同此。
式十二式十三式十四我們?yōu)榱巳サ簟皽p”過程的思路，可以令被除數(shù)變號，然后，整個(gè)“減”過程完全變成“加”過程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。
以后，我們的除法就以此來進(jìn)行。但，應(yīng)該注意，此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù)則要將該余數(shù)變號后，才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
4、《混十進(jìn)制》{+*}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{+*}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況，例如{+*}382296＝{十}221716(式十四)。
4.1.1{十}數(shù)本身即為{十*}數(shù)的一種特況，故{十}數(shù)不經(jīng)轉(zhuǎn)換即為{十*}數(shù)。
4.1.2{十*}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}。方法有兩種一種將{十*}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的兩個(gè){十}數(shù)求和。這有好多種。其中，典型的是將該{十*}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù)，而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。
例{十*}382296＝{+}302006-80290＝221716另一種方法是{+*}數(shù)中，連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫不變。如3×2××6。但，當(dāng)其不在{+*}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí)，則最低位加1；連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段，則使負(fù)數(shù)字的相反正數(shù)字與所求轉(zhuǎn)換數(shù)字之和為9，如×1×70×。然后，在其最低位加1。
這樣，求得結(jié)果為221716，即為相應(yīng){+}數(shù)。
(注式十四中連續(xù)負(fù)數(shù)字段右側(cè)可劃上分段線。當(dāng)不致誤解時(shí)，分段線可不劃。)4.2{+*}與{+}對照表及其說明(對照表見下面表一) 表一說明表一中 表示為9的二次取負(fù)數(shù)(二次以上從略)，余數(shù)同此。
①表一中0+0-分別為從正負(fù)方向趨近于0所獲得的0；②表一中9表示任意非負(fù)整數(shù)位連續(xù)的9，讀作“延9”。式中 表示任意非負(fù)整數(shù)位連續(xù)的0，讀作“延0”。這種數(shù)，可以稱為“無限延數(shù)”。
③無限延數(shù)有且僅有 四種。由于 故無限延數(shù)有且僅有 三種。亦可寫為 ④0＝0，由數(shù)10的兩種表達(dá)形式可知。因此， 4.3{+*}與{+}關(guān)系分析
4.3.1{+}數(shù)是{+*}數(shù)的一部分，{+}數(shù)集是{+*}數(shù)集的子集；{+*}數(shù){+}數(shù)，即{+*}數(shù)對{+}數(shù)有包含關(guān)系。
4.3.2{+}數(shù)與{+*}數(shù)的關(guān)系是 “一多對應(yīng)”關(guān)系，而不是“一一對應(yīng)”關(guān)系。正由于此，{+*}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{+*}運(yùn)算中多樣性、快速性的原因。從這一點(diǎn)來說，{+*}具有較強(qiáng)的功能。
4.3.3{+*}數(shù)轉(zhuǎn)換為{+}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{+*}數(shù)可經(jīng){+}數(shù)加減直接獲得，而{+}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{+}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{+*}無限延數(shù)。所以，這種{+}數(shù)的“一”與{+*}無限延數(shù)的“一”組兩者是“一一對應(yīng)”關(guān)系。
由此，可建立一種{+*}數(shù)與{+}數(shù)的互為映射關(guān)系。
由于變換是集到自身上的對應(yīng)，所以{+}與{+*}數(shù)是“一一變換”。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說，{+}與{+*}數(shù)系統(tǒng)是“自同構(gòu)”。相應(yīng){+}數(shù)的各種運(yùn)算性質(zhì)，亦在{+*}數(shù)系統(tǒng)中成立。
4.3.4{+*}中P＞Q，因而在該數(shù)制中自然數(shù)有時(shí)會出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)，這正是該數(shù)制靈活性所在，它使運(yùn)算得以簡便快捷。也可以說{+*}是以多樣性來換取了靈活性。
{+}中P＝Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)，它沒有這種多樣性。也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
可以這么說，本發(fā)明的關(guān)鍵正是在此。有了它，才有了《混進(jìn)方法HJF》，才有了“筆算數(shù)字工程”的新技術(shù)方案。有了它，也才有了電子計(jì)算機(jī)新技術(shù)方案。
4.3.5應(yīng)當(dāng)指出，顯然，上述對{+}及{+*}的分析，完全相應(yīng)于{Q}及{Q*}的分析，因?yàn)閧+}與{Q}是同構(gòu)的。由此可知，①{Q}數(shù)與{Q*}數(shù)的關(guān)系是“一多對應(yīng)”，而不是“一一對應(yīng)”。②同時(shí)，{Q}中的“一”個(gè)數(shù)與相應(yīng)的{Q*}中的“一”組無限延數(shù)，兩者之間是“一一對應(yīng)”關(guān)系。③{Q}與{Q*}數(shù)系統(tǒng)是“自同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種運(yùn)算性質(zhì)，亦在{Q*}數(shù)系統(tǒng)中成立。
5、綜合上述，可有如下簡明結(jié)論混Q進(jìn)制{Q*}及《混進(jìn)方法HJF》在數(shù)字工程中，可大大提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。它正是錢學(xué)森指出的數(shù)學(xué)第三層次“直接應(yīng)用的工程技術(shù)”。這種“工程技術(shù)”與數(shù)字計(jì)算工程緊密結(jié)合的方法，稱為“混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法”。由該“混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法”，分別獲得如下三個(gè)發(fā)明申請?zhí)?312 2702.3混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法和筆算工程。
申請?zhí)?004 1002 8503.6混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程和處理器。
申請日2004年6月25日混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法和混Q算盤。
第二部分混Q算盤圖1為正負(fù)碼1編碼的混Q算盤機(jī)械原理圖。以四則運(yùn)算的加法為例，被加數(shù)布珠在豎檔(7)上，其個(gè)位在右邊為被加數(shù)小數(shù)點(diǎn)的豎檔(7)。游標(biāo)1(3)在上框小槽(6)中滑動到指定的被加數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置。參加運(yùn)算的數(shù)為混Q進(jìn)制數(shù)，簡稱“混Q數(shù)”(包括普通Q進(jìn)制數(shù)在內(nèi))。當(dāng)Q＝10時(shí)，則為混十進(jìn)制數(shù)，簡稱為“混十?dāng)?shù)”(包括普通十進(jìn)制數(shù)在內(nèi))。
在運(yùn)算時(shí)，依加法口訣執(zhí)行。設(shè)該加數(shù)的某位為正數(shù)，則將位于豎檔(7)中央的算珠(1)(稱為中珠或“零珠”)，上撥依次緊靠上框(6)(稱為“上珠”或“正珠”)；某位為負(fù)數(shù)時(shí)，則將位于豎檔(7)中央的算珠(1)，下?lián)芤来尉o靠下框(9)(稱為“下珠”或“負(fù)珠”)。進(jìn)位照口訣。和數(shù)以混Q數(shù)呈現(xiàn)于豎檔(7)上。在運(yùn)算過程中，當(dāng)算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為“加”；反之，當(dāng)算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為“減”或“加”負(fù)值。運(yùn)算中可充分運(yùn)用“對沖”及“劃十”，用來提高運(yùn)算速度。
當(dāng)最終結(jié)果需要轉(zhuǎn)換為普通十進(jìn)制數(shù)時(shí)，則照前述轉(zhuǎn)換法則即可。
在豎檔上的運(yùn)算格式如下 加法、乘法珠算口訣一去九進(jìn)一一去八進(jìn)一三去七進(jìn)一四去六進(jìn)一五去五進(jìn)一六去四進(jìn)一七去三進(jìn)一八去二進(jìn)一九去一進(jìn)一圖2為正負(fù)碼2編碼的混Q算盤機(jī)械原理圖。當(dāng)運(yùn)算時(shí)，數(shù)的某位為正，則該位上算珠依次緊靠上框；當(dāng)該數(shù)的某位為負(fù)，則該位上算珠依次緊靠下框。當(dāng)該數(shù)的某位數(shù)＞5或＜5時(shí)，則加上該位數(shù)對“十”補(bǔ)數(shù)的相反數(shù)；同時(shí)，在相鄰高位上加同符號數(shù)1。
運(yùn)算的結(jié)果，即為各位上珠超出5的數(shù)及下珠超出5的數(shù)。
當(dāng)上下珠均為5只時(shí)，該位上的數(shù)值為0。
第三部分 增Q進(jìn)制{Q△}及全一碼1.增Q進(jìn)制{Q△}1.1定義及符號[文中凡未標(biāo)明數(shù)制的數(shù)，均指普通十進(jìn)制數(shù)。下同。]{十}{二}{一△} {一△}{二}{十}000 000 000 0…00000000＝ 001 111 001 0…00000001＝1＝ 010 112 010 0…00000011＝11＝ 011 1023 011 0…00000111＝111＝ 100 114 100 0…00001111＝1111＝101 1025 101 0…00011111＝11111＝ 110 1026 110 0…00111111＝111111＝ 111 1137 111 0…01111111＝1111111＝ ＝＝＝＝＝ ＝ ＝ ＝表三 表二11 11 2 1揚(yáng)1 3 3 1 輝1 4 6 4 1 三· · 角· · 形表四在一個(gè)數(shù)制中，凡P＝Q+1＞Q的進(jìn)制，稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”。簡稱為“增在一個(gè)數(shù)制中，凡P＝Q+1＞Q的進(jìn)制，稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”。簡稱為“增Q進(jìn)制”，以符號{Q△}來表示。Q為自然數(shù)，顯然，{0，1，2}二進(jìn)制，即為“增二進(jìn)制{二△}”； {1，0，1}二進(jìn)制也就是混二進(jìn)制{二*}，亦為“增二進(jìn)制{二△}”。此外，還有其他{二△}。
1.2增一進(jìn)制{一△}及其運(yùn)算增Q進(jìn)制{Q△}中，當(dāng)Q＝1時(shí)，即為增一進(jìn)制{一△}。增一進(jìn)制{一△}中，主要有二種。其一是{0，1}一進(jìn)制，其元器件為二態(tài)器件。其二是{1，1}一進(jìn)制，其元器件亦為二態(tài)器件，它亦可表示全部整數(shù)。本文僅采用{0，1}一進(jìn)制來分析。
增一進(jìn)制{一△}的運(yùn)算。這里列出加法運(yùn)算，例如{+}4+3+2＝9＝{一△}110101+1011+101＝11001100010101011。
1.3增一進(jìn)制{一△}與{Q}的關(guān)系。
1. 3.1{一△}數(shù)與{Q}數(shù)的轉(zhuǎn)換法。
{一△}數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù)，可以將{一△}數(shù)中的各位數(shù)字1，以{Q}計(jì)數(shù)即可。所得{Q}計(jì)數(shù)和，即為相應(yīng)的{Q}數(shù)。這就是說，{一△}數(shù)中有幾個(gè)1，則相應(yīng)的{Q}數(shù)即為幾。顯然，這是十分簡單的法則。(見表二){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{一△}數(shù)，可將{Q}數(shù)各位均乘以各位上的權(quán)，然后將這些積以同樣個(gè)數(shù)的1，分別在所要表達(dá)的{一△}數(shù)位置上，以不重復(fù)的方式列出即可。這就是說，{Q}數(shù)為幾，則{一△}數(shù)中就有幾個(gè)1。顯然，這也是十分簡單的法則。(見表三)1.3.2{一△}數(shù)與{Q}數(shù)對照表及其說明見表二、三(令Q＝2、10)說明①{一△}數(shù)可表示全部{Q}數(shù)②有較多的重復(fù)數(shù)，以4位{一△}數(shù)為例，除0及4唯一外，其余均有重復(fù)數(shù)。其中，1有4個(gè)；2有6個(gè)；3有4個(gè)。于是，從0～4的重復(fù)數(shù)分別為1，4，6，4，1個(gè)。這與二項(xiàng)式展開系數(shù)CKn是一致的。(位數(shù)n為自然數(shù)，K為0～n。)(見表四揚(yáng)輝三角形。)③表中0表示為任意非負(fù)整數(shù)位連續(xù)的0。這與混Q進(jìn)制中是一樣的。稱為“無限延數(shù)”。{一△}數(shù)中，無限延數(shù)有且僅有一個(gè)，即為“ 0”。
1.3.3{一△}與{Q}關(guān)系分析。
(1)Q1，Q為自然數(shù)；1為最小的自然數(shù)，也是最基本的自然數(shù)單元。Q包含1，這使得相應(yīng)的{Q}及{一△}之間存在自然的聯(lián)系。
(2){Q}數(shù)與{一△}數(shù)的關(guān)系是“一多對應(yīng)”關(guān)系，而不是“一一對應(yīng)”關(guān)系。正由于此，{一△}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{一△}運(yùn)算中快速性的原因之一。從這一點(diǎn)來說，{一△}具有較強(qiáng)的功能。
(3){一△}數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{一△}數(shù)可經(jīng){Q}加減直接獲得，而{Q}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{Q}也只能化為相應(yīng)唯一的一組{一△}無限延數(shù)。所以，這種{Q}數(shù)的“一”與{一△}無限延數(shù)的“一”組兩者是“一一對應(yīng)”關(guān)系。由此，可建立一種{一△}數(shù)與{Q}數(shù)的互為映射關(guān)系。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說，{Q}與{一△}數(shù)系統(tǒng)是“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)的各種運(yùn)算性質(zhì)，亦在{一△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
(4){一△}中P＝Q+1＞Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)有時(shí)會出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)，這正是該數(shù)制靈活性所在，它使得運(yùn)算得以簡便快捷。也可以說，{一△}是以多樣性來換取了靈活性。
{Q}中P＝Q，因而在該類數(shù)中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有這種多樣性，也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
(5)上述{一△}與{Q*}相結(jié)合，使得功能更加增強(qiáng)?？紤]到{一△}→{Q}→{Q*}這其中有著內(nèi)在的聯(lián)系，顯然，這一切均在預(yù)料之中。
1.4增一進(jìn)制{一△}的應(yīng)用1.4.1增一進(jìn)制{一△}的運(yùn)算是一種優(yōu)異的運(yùn)算。由于它以權(quán)為1的單元1配以0構(gòu)造數(shù)，故其運(yùn)算中常以“傳送”來實(shí)現(xiàn)。這是{一△}數(shù)運(yùn)算中快速性原因之一。{一△}數(shù)運(yùn)算中的“進(jìn)位”，也可以當(dāng)前位的二數(shù)按位加和為0，而進(jìn)位為Q的“劃Q”邏輯實(shí)現(xiàn)。這種“傳送”及“劃Q”的邏輯實(shí)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)特別簡單，速度卻特別的快。這是{一△}數(shù)運(yùn)算中快速性原因之二。
當(dāng){一△}數(shù)與純{Q*}數(shù)結(jié)合運(yùn)算時(shí)，又補(bǔ)充了“對沖”這一結(jié)構(gòu)更為簡單、速度更為快速的邏輯。這是{一△}數(shù)運(yùn)算中快速性原因之三。
1.4.2{一△}與{Q*}結(jié)合可作為多種新一代超高速電子計(jì)算機(jī)的技術(shù)方案。[詳見下一章。]2.全一進(jìn)制、全一數(shù)及全一碼2.1全一進(jìn)制和全一數(shù)增一進(jìn)制{一△}數(shù)的多樣性是{一△}數(shù)運(yùn)算快速的原因之一。{一△}數(shù)在“多重運(yùn)算”時(shí)，在沒有必要獲得最終結(jié)果的過程運(yùn)算中，產(chǎn)生的每一重?cái)?shù)據(jù)均保留在相應(yīng)的多重寄存器中作為中間結(jié)果。
但是，由于{一△}數(shù)具有極端的多樣，常造成數(shù)運(yùn)算形式難以把握。因此，在一般情況下，有必要對{一△}數(shù)加以某種約束條件，使其減小多樣性。這就產(chǎn)生了“全一進(jìn)制”。
在增一進(jìn)制{一△}的正整數(shù)中，限定每一組無限延數(shù)，只選取從個(gè)位開始，從右向左連續(xù)排列1的唯一的一種形態(tài)表達(dá)。例如{+}數(shù)3＝{一△}數(shù) (“/”表“或者”)，限定為{+}3＝{一△} 這樣，每一組無限延數(shù)中的重復(fù)數(shù)均被刪除，只剩下一個(gè)全是1的唯一形態(tài)。我們稱為“全一數(shù)”。表達(dá)“全一數(shù)”的進(jìn)制稱之為“全一進(jìn)制”。表二中，{一△}數(shù)最左邊的形態(tài)，即為“全一進(jìn)制”數(shù)。當(dāng)考濾到正負(fù)整數(shù)時(shí)，可以將該全一進(jìn)制數(shù)的符號，分配到該數(shù)的各位上去。從而構(gòu)造帶符號的全一進(jìn)制。下述“全一進(jìn)制”均為此種帶符號的全一進(jìn)制。
因此，“全一進(jìn)制”是加特定約束條件的增一進(jìn)制{一△}。
在《數(shù)制理論》中，當(dāng)定義空位表示0，具有隱含的“空位0”，即“空元”概念時(shí)，則全一進(jìn)制可以從加符號位的{1}一進(jìn)制獲得；全一進(jìn)制也可以從不含0的混Q進(jìn)制{不含0 Q*}中的{1，1}一進(jìn)制加約束條件獲得，約束條件為該進(jìn)制數(shù)必須各位上符號均相同；全一進(jìn)制還可以從不含0增一進(jìn)制{不含0一△}中的{1，1}一進(jìn)制加上述同樣約束條件獲得。
2.2全一碼全一進(jìn)制顯然具有如下優(yōu)缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)①運(yùn)算速度快。“傳送”代替了“翻轉(zhuǎn)”。②多重運(yùn)算時(shí)，不需要二、二求和，只需要先“對沖”及后“劃Q”即可得結(jié)果。這就大大加快了總體運(yùn)算速度。③與{Q}轉(zhuǎn)換方便。缺點(diǎn)①“字長”太長，位數(shù)多。但，當(dāng)取可變字長時(shí)，其平均字長僅為一半。②荷載信息量較小。因此，根據(jù)全一進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)，揚(yáng)長避短，以全一進(jìn)制來編碼{Q*}是合適的。以“全一進(jìn)制”來編碼，稱為“全一編碼”。“全一編碼”中采用的“全一數(shù)”，稱為“全一碼”。由上述全一進(jìn)制是帶符號的可知，全一碼也是帶符號的。表五，顯示出全一碼一位，編碼{二}數(shù)元的情況。由表五可見，全一碼一位編碼的{二}數(shù)，即為{二}數(shù)本身。表六，顯示出以全一碼九位，編碼{十}數(shù)元的情況。由表六可見，全一碼九位編碼的{十}，字長增加至9倍。但，當(dāng)取可變字長時(shí)，其平均字長僅為5倍。
例如{十}23＝全一碼 ＝ ≡。
對于混Q進(jìn)制{Q*}，則可以全一碼來編碼。需要指出的是，這里全一碼一位編碼的{二*}數(shù)，即為{二*}數(shù)本身；這里{十*}數(shù)，則全一碼 {二}數(shù)元 全—碼 {十}0 01 1 表五 表六以九位全一碼來編碼。
2.3全一碼的計(jì)算。
全一碼的計(jì)算非常簡單。以二數(shù)加法為例，僅為二數(shù)中1的不重復(fù)排列，簡稱為“排1”。如11+111＝11111。
特別是，在{Q*}數(shù)字工程中，僅僅只需先“對沖”后“劃Q”就能獲得{Q*}數(shù)運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)最終結(jié)果需要輸出時(shí)，才將{Q*}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)輸出。
2.4全一碼的應(yīng)用。
全一碼主要應(yīng)用于對{Q}及{Q*}數(shù)進(jìn)行編碼。特別是，①采用全一碼九位編碼{十}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)普通十進(jìn)制{十}、全一碼電子計(jì)算機(jī)。
②采用全一碼九位編碼{十*}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)混十進(jìn)制{十*}、全一碼電子計(jì)算機(jī)。
③采用全一碼編碼{Q*}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)混Q進(jìn)制{Q*}、進(jìn)位行、全一碼電子計(jì)算機(jī)。
④采用全一碼九位編碼{+}或{+*}數(shù)，再以正負(fù)碼來二次編碼，可以實(shí)現(xiàn)另一種新型算盤。
⑤采用全一碼九位編碼{+}或{+*}數(shù)，再以正負(fù)碼來二次編碼，可以實(shí)現(xiàn)另一種新型筆算工程。
第四部分正負(fù)碼(一)人為構(gòu)造如下正負(fù)碼1，參見表七正負(fù)碼1編碼，是將混十進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)字s，以三位特定值之和來編碼。其中，一位正值，一位0值，一位負(fù)值。(見{十*}數(shù)與正負(fù)碼1對照表。)表中s為{十*}整數(shù)，r＝{十}0，1，2，3，4，5。
表七混十進(jìn)制數(shù)與正負(fù)碼1對照表 顯然， 圖1中算珠在豎檔的上、中、下三個(gè)位置，即成為“上珠”、“中珠”和“下珠”。以上珠來表示這里的正值，以下珠來表示這里的負(fù)值，以中珠(又稱為“零珠”)來表示中間值0。采用中間值0的設(shè)計(jì)，是為了存放多余的零珠。在運(yùn)算過程中，當(dāng)算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為“加”；反之，當(dāng)算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為“減”或“加”負(fù)值。運(yùn)算中可充分運(yùn)用“對沖”及“劃十”，用來提高運(yùn)算速度。
(二)人為構(gòu)造如下正負(fù)碼2，參見表八。
正負(fù)碼2編碼，是將混十進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)字s，以二位特定值之和的一半來編碼。其中，一位正值，一位負(fù)值。(見{十*}數(shù)與正負(fù)碼2對照表。)表中s為{十*}整數(shù)。
表八混十進(jìn)制數(shù)與正負(fù)碼2對照表
表八中，左下方—表示產(chǎn)生負(fù)進(jìn)位；右上方—表示產(chǎn)生正進(jìn)位。
圖2中算珠在豎檔的上、下二個(gè)位置，即成為“上珠”和“下珠”。以上珠來表示這里的正值，以下珠來表示這里的負(fù)值。至于0值，則以“上珠”與“下珠”均為5只來表示。在運(yùn)算過程中，當(dāng)算珠從下位移到上位，則為“加”；反之，當(dāng)算珠從上位移到下位，則為“減”或“加”負(fù)值。運(yùn)算中可充分運(yùn)用“對沖”及“劃十”，用來提高運(yùn)算速度。
正負(fù)碼2與正負(fù)碼1相比，不需要“零珠”，因此，只要二位編碼即可。這對撥打算珠時(shí)，希望確保狀態(tài)穩(wěn)定有利。但是，正負(fù)碼2判斷數(shù)時(shí)，須去掉5的影響。
采用正負(fù)碼來編碼的優(yōu)點(diǎn)是(1)適于混十進(jìn)制運(yùn)算；(2)產(chǎn)生新的重復(fù)數(shù)，增強(qiáng)了數(shù)據(jù)表達(dá)形式的多樣性，從而提高了運(yùn)算速度。
采用正負(fù)碼來編碼的缺點(diǎn)是正負(fù)碼編碼二位或三位，使操作的復(fù)雜性增加。
權(quán)利要求
1.一種混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，包括以下步驟第1步，將參與運(yùn)算的普通Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)字都加上一個(gè)數(shù)符，即表示該位數(shù)為正或負(fù)，使它成為每一位均帶符號的混Q進(jìn)制數(shù)，設(shè)，參予運(yùn)算的數(shù)為K個(gè)混Q進(jìn)制數(shù)，K為≥2的正整數(shù)；第2步，對K個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行混Q進(jìn)制的求和運(yùn)算，從最低位開始按位相加，即在某一位上，取前述K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)按位相加，得到“按位和”為該位這二個(gè)數(shù)相加的和數(shù)，將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“混Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行中與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步的運(yùn)算，如此反復(fù)，直至K個(gè)數(shù)均取完為止；當(dāng)K個(gè)數(shù)中僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層的同一位上作為“部份和”數(shù)；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算，直至K個(gè)運(yùn)算數(shù)的每一位都已全部操作；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)與進(jìn)位行中的“進(jìn)位數(shù)”進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；第6步，重復(fù)第2步至第5步的運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“混Q進(jìn)位”為止，則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求加法運(yùn)算結(jié)果。
2.如權(quán)利要求1的混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于在某一位上，對K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果其中兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的該位為相反數(shù)，則該位和為零，然后將該兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算，這稱為“對沖”；如果在某一位上，對K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，其中兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位，則將其進(jìn)位放入任一進(jìn)位行中的相鄰高位，然后將該兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算，這稱為“劃Q”；或者，不采用“對沖”及“劃Q”。
3.如權(quán)利要求1或2的混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于可以不編碼混Q進(jìn)制；可以普通8421碼等來編碼混Q進(jìn)制數(shù)；也可以全一碼來編碼混Q進(jìn)制數(shù)，即將各個(gè)混Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以S個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為(Q-1)位；同時(shí)，將混Q進(jìn)制數(shù)中該位的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符。
4.如權(quán)利要求1-3任一個(gè)的混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于當(dāng)采用全一碼來編碼混Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，二數(shù)加法僅為二數(shù)中1的不重復(fù)排列。
5.權(quán)利要求1或2的混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其中所述運(yùn)算數(shù)是混Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。
6.一種混Q進(jìn)制、進(jìn)位行算盤，即混Q算盤，在盤狀長方形機(jī)械框架結(jié)構(gòu)中，以人工手動方式使算珠(1)沿豎檔上下移動進(jìn)行數(shù)據(jù)連接計(jì)算，其特征是具有豎檔(7)，其上有可垂直移動的一些算珠(1)；具有游標(biāo)1(3)、游標(biāo)2(4)，可在上框(5)的上框小槽(6)中左右滑動。
7.根據(jù)權(quán)利要求6中所述的一種混Q算盤，其特征是豎檔(7)可以為15檔，或15檔以上，或15檔以下。
8.根據(jù)權(quán)利要求6或7的混Q算盤，其特征是每根豎檔(7)上有10只算珠(1)，或者有9只算珠(1)。
9.根據(jù)權(quán)利要求6所述的一種混Q算盤，其中所述運(yùn)算數(shù)用正負(fù)碼編碼來表示。
10.根據(jù)權(quán)利要求6所述的一種混Q算盤，其中所述運(yùn)算數(shù)是混Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)，特別是普通十進(jìn)制數(shù)。
全文摘要
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和算盤領(lǐng)域，提出一種新的數(shù)字工程方法，大大提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。本發(fā)明的混Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法包括將參與運(yùn)算的K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)字都加上一個(gè)數(shù)符，對K個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行混Q進(jìn)制的求和。從最低位開始按位相加，即在某一位上，得到“按位和”，將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部分和”數(shù)；同時(shí)所得“混Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行中與該位相鄰的高位處。經(jīng)過如此反復(fù)運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“混Q進(jìn)位”為止。則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求加法結(jié)果。本發(fā)明同時(shí)提供了數(shù)字工程領(lǐng)域的混Q進(jìn)制算盤。
文檔編號G06F7/49GK1624652SQ20041006011
公開日2005年6月8日 申請日期2004年6月25日 優(yōu)先權(quán)日2004年6月25日
發(fā)明者李志中, 徐菊園 申請人:李志中