專利名稱：一種多輸入多輸出rcs互連電路的降階方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明屬線性電路的模型降階領(lǐng)域，具體涉及一種多輸入多輸出RCS互連電路的降階方法。
背景技術(shù)：
集成電路已發(fā)展到可以將包含10億以上器件的電子系統(tǒng)集成在一塊芯片上，即系統(tǒng)芯片SOC(System on One Chip)。針對(duì)數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的大規(guī)模電路，如何在合理的時(shí)間內(nèi)，快速準(zhǔn)確地模擬和驗(yàn)證其設(shè)計(jì)的正確性已成為系統(tǒng)芯片SOC設(shè)計(jì)的瓶頸問(wèn)題。據(jù)統(tǒng)計(jì)，SOC芯片模擬驗(yàn)證的時(shí)間已占到整個(gè)設(shè)計(jì)時(shí)間的70％。
在超高速超深亞微米SOC設(shè)計(jì)中，互連線的性能極大影響著整個(gè)芯片的性能。信號(hào)在互連線上傳播時(shí)的串?dāng)_、延遲問(wèn)題可能會(huì)引起時(shí)序偏差，邏輯錯(cuò)誤，甚至?xí)剐酒?。為了精確模擬互連線的傳輸線行為，必須考慮互連線之間的電磁耦合效應(yīng)。傳統(tǒng)上，電感是表征磁耦合效應(yīng)的電路參數(shù)，迄今為止互連線主要采用分布式RLC(電阻，電感，電容)電路模型。最近，學(xué)術(shù)界引入了電感的電納參數(shù)S(Susceptance)來(lái)表征電磁耦合效應(yīng)[2-4]，這是因?yàn)樵谔崛』ミB線的參數(shù)時(shí)，首先提取的是電感的電納參數(shù)S，通過(guò)對(duì)S求逆才得到電感參數(shù)L。由于耦合電感的電納大小隨著距離的增大快速減小，因此電感的電納矩陣具有對(duì)角占優(yōu)、稀疏以及對(duì)稱正定等優(yōu)良特性，這有利于大幅加速互連等效電路方程的求解。由于電感L是對(duì)電感的電納S求逆得到的，因此電感矩陣是稠密矩陣，不具有稀疏性、正定性和對(duì)稱性[1]，這就限制了電路方程求解過(guò)程各種快速矩陣計(jì)算方法的運(yùn)用，從而直接影響模擬速度和精度的提高。因此，采用RCS(電阻，電容，電感的電納)模型替代RLC模型將大大提高互連線模擬效率。
由于SOC中互連線數(shù)目多，長(zhǎng)度長(zhǎng)，且電磁耦合效應(yīng)顯著，互連線等效電路規(guī)模相當(dāng)龐大，電路階數(shù)通常在104量級(jí)以上。為了在合理時(shí)間內(nèi)分析互連線電路的性能，必須依靠高效率的數(shù)值方法，模型降階技術(shù)是近十余年來(lái)國(guó)際上研究的主流技術(shù)。
模型降階技術(shù)是一類非常有效的提高電路模擬和驗(yàn)證速度的技術(shù)，它通過(guò)把原來(lái)大規(guī)模的電路降階為一個(gè)小規(guī)模的電路模型，大大降低求解電路的規(guī)模，從而在較短的時(shí)間內(nèi)對(duì)電路的功能和性能進(jìn)行快速驗(yàn)證，以便對(duì)電路的設(shè)計(jì)方案及時(shí)加以改進(jìn)。模型降階技術(shù)的優(yōu)劣，決定于算法的數(shù)值穩(wěn)定性、無(wú)源性、精度、速度和存儲(chǔ)量。就線性電路來(lái)說(shuō)，相應(yīng)的模型降階技術(shù)可分為兩類，即一階系統(tǒng)的降階技術(shù)和二階系統(tǒng)的降階技術(shù)。通常，基于RLC模型的互連等效電路是一個(gè)一階系統(tǒng)，而基于RCS模型的互連等效電路可表示為一個(gè)二階系統(tǒng)[4][5]。目前，一階線性系統(tǒng)的模型降階技術(shù)已經(jīng)比較成熟[6][7]，PRIMA[7]是一種多輸入多輸出RLC互連電路降階的經(jīng)典算法，具有數(shù)值穩(wěn)定和高降階精度的優(yōu)良特性，同時(shí)可以保證降階后系統(tǒng)的無(wú)源特性。然而，當(dāng)直接應(yīng)用于RCS互連電路的一階系統(tǒng)表示時(shí)，PRIMA無(wú)法保證降階后系統(tǒng)的無(wú)源特性。二階系統(tǒng)的模型降階技術(shù)中，ENOR[5]和SMOR[4]算法分別存在數(shù)值不穩(wěn)定和矩匹配精度有限的問(wèn)題，我們?cè)谖墨I(xiàn)[8]中提出的SAPOR是一種數(shù)值穩(wěn)定的二階系統(tǒng)模型算法，可以保證降階后系統(tǒng)的無(wú)源特性，同時(shí)保證精確的矩匹配，但SAPOR僅適用于單輸入單輸出的RCS互連電路。
現(xiàn)有技術(shù)的不足之處(一)一階系統(tǒng)的模型降階技術(shù)一個(gè)p輸入q輸出的RLC互連線等效電路可以用以下MNA(改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓)方程來(lái)描述CXX(t)+GXX(t)＝BU(t) (1)Y(t)＝LTX(t) (2)其中X∈RN+M為未知變量向量，包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓和M個(gè)輔助支路電流，CX∈R(N+M)×(N+M)和GX∈R(N+M)×(N+M)為系統(tǒng)矩陣，U∈Rp和Y∈Rq分別表示輸入向量和輸出向量，B∈R(N+M)×p和L∈Rq×(N+M)分別代表輸入和輸出對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣。
通常，方程(1)可被寫(xiě)成分塊矩陣形式C00HV·(t)I·b(t)+GEL-ELT0V(t)Ib(t)=BU(t)---(3)]]>其中V∈RN和Ib∈RM分別表示節(jié)點(diǎn)電壓向量和輔助支路電流向量，C∈RN×N、H∈RM×M和G∈RN×N分別代表電容、電感和電阻的貢獻(xiàn)矩陣，EL∈RN×M是電感的關(guān)聯(lián)矩陣。
對(duì)方程(1)和(2)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到頻域內(nèi)的系統(tǒng)方程，如(4)和(5)所示。顯然，方程(4)是一個(gè)關(guān)于s的一階系統(tǒng)。
(sCX+GX)X(s)＝BU(s) (4)Y(s)＝LTX(s) (5)假定電路輸入皆為單位沖激激勵(lì)，我們可獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣H(s)＝LT(GX+sCX)-1B (6)對(duì)上式兩端進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，有H(s)＝H0+H1s+H2s2+… (7)其中H0，H1，H2，...表示H的塊矩(block moments)，第i階塊矩Hi的計(jì)算式為 這里AX＝-GX-1CX，R＝GX-1B。
PRIMA算法[7]是適用于方程(4)和(5)所描述的一階線性系統(tǒng)的一種有效的降階算法。
為了得到階數(shù)為n(n＜＜N+M)的低階降階后系統(tǒng)(便于說(shuō)明起見(jiàn)，本文均假定降階后階數(shù)n為輸入端口數(shù)p的整數(shù)倍，k＝n/p)，PRIMA首先基于塊Arnoldi過(guò)程來(lái)構(gòu)造原系統(tǒng)變量向量X的前k階塊矩所構(gòu)成的塊Krylov(block Krylov)子空間(如式(9)所示)內(nèi)的一組正交規(guī)范基W。
Kr(AX，R)＝span{R，AXR，AX2R，…AXk-1R}獲得正交規(guī)范矩陣W后，利用W對(duì)原系統(tǒng)(4)和(5)進(jìn)行正交投影，獲得階數(shù)為n的低階系統(tǒng)。
(sCX~+GX~)X~(s)=B~U(s)---(9)]]>Y(s)=L~TX~(s)---(10)]]>其中CX~=WTCXW,]]>GX~=WTGXW,]]>X~=WTX,]]>B~=WTB,]]>L~=WTL.]]>降階后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可表示為
H~(s)=L~T(G~X+sC~X)-1B~---(11)]]>PRIMA算法基于塊Arnoldi過(guò)程，保證了降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性，同時(shí)可保證降階后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和原系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的前k階塊矩匹配，基于合同變換確保了降階后系統(tǒng)具有無(wú)源性[7]。但是，PRIMA仍存在以下兩點(diǎn)不足(1)PRIMA算法不具有保結(jié)構(gòu)特性。PRIMA獲得的n階降階后系統(tǒng)(9)中，系統(tǒng)矩陣 和 都是稠密矩陣，不再具有原始系統(tǒng)矩陣CX和GX的塊結(jié)構(gòu)性質(zhì)。因此，基于該低階系統(tǒng)不可能重構(gòu)一個(gè)小規(guī)模的RLC等效電路來(lái)替代原始的N階電路。
(2)對(duì)于B＝L的特殊電路系統(tǒng)，PRIMA不能同時(shí)保證降階后系統(tǒng)的無(wú)源性和2k階塊矩匹配。在一些實(shí)際應(yīng)用中，電路的輸入關(guān)聯(lián)矩陣等于輸出關(guān)聯(lián)矩陣，即B＝L。對(duì)于這樣的電路，基于形如(3)和(2)的電路方程描述，利用PRIMA算法獲得的低階系統(tǒng)具有無(wú)源性，但僅能匹配原系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的k階塊矩；另一方面，如果我們基于方程(3)的對(duì)稱描述形式，如(3b)所示，利用PRIMA算法進(jìn)行降階得到的低階系統(tǒng)雖然能夠匹配原系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的2k階塊矩，但卻無(wú)法保持系統(tǒng)的無(wú)源特性。
C00-HV·(t)I·b(t)+GELELT0V(t)Ib(t)=BU(t)---(3b)]]>(二)二階系統(tǒng)的模型降階技術(shù)對(duì)于方程(1)和(2)所描述的多輸入多輸出互連網(wǎng)絡(luò)，若采用RCS模型等效，可以用方程(12)和方程(13)來(lái)描述。由于大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，人們僅關(guān)心電路中的節(jié)點(diǎn)電壓信息。因此我們假定電路的輸出變量?jī)H為節(jié)點(diǎn)電壓，同時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假定電路的輸入激勵(lì)全為電流源激勵(lì)。
GES-SEST0V(t)Ib(t)+C00IV·(t)I·b(t)=BuU(t)0---(12)]]>Y(t)=LVT0V(t)Ib(t)=LVTV(t)---(13)]]>其中ES、Bu和LV分別是電感的電納、電流源和輸出變量的關(guān)聯(lián)矩陣。
對(duì)方程(12)和(13)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到頻域內(nèi)的電路方程
(GES-SEST0+sC00I)V(s)Ib(s)=BuU(s)0---(14)]]>Y(s)＝LVTV(s) (15)其中V(s)、Ib(s)和U(s)分別是V(t)、Ib(t)和U(t)的拉普拉斯變換形式。顯然，方程(14)也是一個(gè)關(guān)于s的一階系統(tǒng)。
在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，人們關(guān)心的僅是電路中的節(jié)點(diǎn)電壓，而電感的電納支路和獨(dú)立電壓源支路等輔助支路電流僅是計(jì)算的中間變量，因此，我們考慮從方程(14)中消去Ib(s)，即獲得電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程(16)。
(sC+G+1sΓ)V(s)=BuU(s)---(16)]]>其中Γ=ESSEST,]]>EST為矩陣ES的轉(zhuǎn)置矩陣。顯然，方程(16)是一個(gè)關(guān)于s的二階系統(tǒng)，它和方程(15)描述的一階系統(tǒng)等價(jià)，唯一的不同在于消除了方程(16)中的電感的電納支路電流。實(shí)際上，我們可直接采用節(jié)點(diǎn)電壓方法直接建立方程(16)。
迄今為止，適用于形如(16)的二階系統(tǒng)的降階技術(shù)僅有ENOR[5]和SMOR[4]兩種。這兩種算法的基本思想都是首先構(gòu)造節(jié)點(diǎn)電壓變量向量V(s)的前k階塊矩所構(gòu)成的空間內(nèi)的一組正交規(guī)范基Q，然后利用Q對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行正交投影，獲得和原系統(tǒng)(16)具有相同結(jié)構(gòu)的n階低階系統(tǒng)(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~uU(s)---(17)]]>Y(s)=L~VTV~(s)---(18)]]>其中C~=QTCQ,]]>G~=QTGQ,]]>Γ~=QTΓQ,]]>V~=QTV,]]>B~u=QTBu,]]>LV~=QTLV.]]>原系統(tǒng)(16)中，矩陣C，G和Γ均具有對(duì)稱半正定特性，基于對(duì)原系統(tǒng)的正交投影獲得的降階后系統(tǒng)(17)和(18)保持了無(wú)源特性，這在[5]中已被證明。雖然ENOR[5]和SMOR[4]都保持了降階后系統(tǒng)的無(wú)源特性，但ENOR通過(guò)顯式求解原系統(tǒng)變量向量塊矩而后正交規(guī)范來(lái)構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q，因此存在數(shù)值不穩(wěn)定，降階精度有限的問(wèn)題，而SMOR采用近似的塊矩遞推公式獲得近似的塊Krylov子空間以構(gòu)造正交規(guī)范矩陣，因此降階精度有限。
(1)ENOR算法(Efficient Nodal Order Reduction)
ENOR算法[5]通過(guò)顯式求解原系統(tǒng)變量向量塊矩而后正交規(guī)范來(lái)構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q。假定s0為選擇的頻率展開(kāi)點(diǎn)，引入一新變量z以滿足s＝s0(1-z) (19)基于變量z，引入一變量向量Y(z)，滿足(20)式Y(jié)(z)=V(z)1-z---(20)]]>結(jié)合(19)式和(20)式，方程(16)可寫(xiě)為(s0C+G)V(z)+Γs0Y(z)=s0CV(z)·z+BuU(z)---(21)]]>在基于矩匹配的降階算法中，我們關(guān)心的通常都是沖激響應(yīng)，因此選取U(z)為單位矩陣 對(duì)方程(21)和(20)兩端關(guān)于z進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得(s0C+G)Vi+Γs0Yi=s0CVi-1+BuUi---(22)]]>Yi＝Vi+Yi-1(23)其中Vi、Yi和Ui分別表示在s0點(diǎn)展開(kāi)V、Y和U的第i階塊矩(i≥0)，且V-1和Y-1均為零向量。。U0為單位矩陣，Ui(i≥1)為全零矩陣。
將式(23)代入(22)，可得PVi=s0CVi-1-1s0ΓYi-1+BuUi---(24)]]>其中P=s0C+G+1s0Γ.]]>基于式(24)，可依次求得電壓向量V的前n階塊矩，其后通過(guò)Gram-Schmidt(革蘭-施密特)過(guò)程實(shí)現(xiàn)這n個(gè)塊矩之間的正交化及各塊矩所包含的p個(gè)列向量之間的正交規(guī)范化，獲得正交規(guī)范矩陣Q。
ENOR是一種數(shù)值不穩(wěn)定的算法，主要原因包含以下兩方面(a)ENOR算法通過(guò)顯式求解電壓向量V的前k塊階矩以構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q，因此存在數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題；(b)在Gram-Schmidt過(guò)程中僅對(duì)電壓向量V的k階塊矩進(jìn)行正交化，而變量向量Y的塊矩之間未進(jìn)行正交化，因此，當(dāng)降階后系統(tǒng)階數(shù)增大時(shí)，變量向量Y的塊矩元素的幅度可能快速增大，導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定。
(2)SMOR算法(Susceptance-based MOR)為了克服中間變量向量Y的各階塊矩所導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，SMOR[4]通過(guò)消去中間變量向量Y來(lái)構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q。
由式(23)所示的遞歸關(guān)系，可得到Y(jié)i=Σm=-1iVm,i≥-1---(25)]]>將式(25)代入(24)式，我們得到以下遞歸關(guān)系，其中消除了變量向量Y的各階塊矩PVi=s0CVi-1-1s0ΓΣm=-1i-1Vm,i≥1---(26)]]>V-1＝0，V0＝P-1BuU0(27)SMOR算法基于以上遞推關(guān)系構(gòu)造塊Krylov子空間。為了加速模型降階過(guò)程的速度，同時(shí)避免誤差積累，SMOR算法中僅保留式(26)等號(hào)右邊的前三項(xiàng)，即將(26)改寫(xiě)為下式PVi′=s0CVi-1′-1s0ΓVi-1′-1s0ΓVi-2′,i≥1---(28)]]>其中Vi′是Vi的近似?；诤?jiǎn)化后的(28)和(27)式，可依次獲得Vi′并利用塊Krylov子空間方法構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q。
通過(guò)在遞推公式消除Y的塊矩，SMOR在一定程度上提高了降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性。然而，由于(26)式到(28)式的簡(jiǎn)化，SMOR算法得到的塊Krylov子空間只是原系統(tǒng)電壓向量V各階塊矩構(gòu)成的塊Krylov子空間的近似。因此，SMOR得到的降階后系統(tǒng)不可能精確地匹配原系統(tǒng)的矩，矩匹配精度不能被保證。
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發(fā)明內(nèi)容
針對(duì)以上問(wèn)題，本發(fā)明的目的在于提出一種基于塊二階Arnoldi過(guò)程的多輸入多輸出RCS互連電路降階方法，記為Block SAPOR。該降階方法可以保證降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性、降階系統(tǒng)的無(wú)源性、精確矩匹配和保結(jié)構(gòu)等特性。
本發(fā)明提出的基于塊二階Arnoldi的多輸入多輸出RCS互連電路降階方法，其具體步驟如下步驟一構(gòu)造二階系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)多輸入多輸出的RCS互連電路，采用節(jié)點(diǎn)電壓法直接構(gòu)造如(16)式所示的二階系統(tǒng)來(lái)描述(sC+G+1sΓ)V(s)=BuU(s)---(16)]]>步驟二系統(tǒng)頻移類似于輸入-輸出傳遞函數(shù)矩陣H(s)，我們定義輸入-節(jié)點(diǎn)電壓變量傳遞函數(shù)矩陣HV滿足V(s)＝HV(s)U(s)(29)HV的第j行、第i列元素表示僅在第i個(gè)電流源給以激勵(lì)(其他電流源激勵(lì)為零)時(shí)，第j個(gè)電壓變量的響應(yīng)。
結(jié)合(16)和(29)，有(s2C+sG+Γ)HV(s)＝sBu(30)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻移s＝s0+σ，可得(σ2C+σD+K)HV(σ)＝B0+B1σ (31)其中D＝2s0C+G，K=s02C+s0G+Γ,]]>B0＝s0Bu，B1＝Bu。
對(duì)HV(σ)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，式(31)可以寫(xiě)成(σ2C+σD+K)(HV0+HV1σ+…HViσ′+…)＝B0+B1σ(31b)其中HV0，HV1，…，HVi，…為HV.的各階塊矩?；?31b)式，我們可以得到HV各階塊矩的遞推公式HV0＝K-1B0HV1＝-K-1DHV0+K-1B1HVi＝-K-1DHVi-1-K-1CHVi-2for i≥2接下來(lái)，我們將首先對(duì)系統(tǒng)(31)進(jìn)行線性化，而后對(duì)線性化后的系統(tǒng)，采用塊二階Arnoldi算法獲得HV的前k階塊矩所構(gòu)成的塊Krylov子空間內(nèi)的一組正交規(guī)范基，并利用該正交規(guī)范矩陣對(duì)原系統(tǒng)(16)進(jìn)行正交投影以獲得階數(shù)為n的降階后系統(tǒng)。
步驟三系統(tǒng)線性化引入一個(gè)新的變量矩陣HZ(σ)滿足σCHV(σ)+HZ(σ)＝B1(32)將(32)代入(31)，有-σHZ(σ)+σDHV(σ)+KHV(σ)＝B0(33)
結(jié)合(32)和(33)，可得到方程(34)，它是方程(31)的線性化形式。
(1-σA)HV(σ)HZ(σ)=Q0P0---(34)]]>其中A=-K-1DK-1-C0,]]>Q0＝K-1B0P0＝B1。
將(I-σA)移至式(34)右邊，并進(jìn)行Maclaurin級(jí)數(shù)展開(kāi)，有HV(σ)HZ(σ)=(I+σA+σ2A2+σ3A3+···)Q0P0---(35)]]>顯然， 是 的第i階塊矩，而Q0和P0實(shí)際上分別是HV和HZ的零階矩。
步驟四構(gòu)造正交規(guī)范矩陣方程(34)是方程(31)的線性化形式，其中(34)的等號(hào)右邊與σ無(wú)關(guān)。如果HVHZ]]>是方程(34)的解，則HV一定是方程(31)的解，因此， 的第i階塊矩的上半部分，即I0A′Q0P0,]]>一定等于HV′的第i階塊矩。基于此結(jié)論，我們可利用塊二階Arnoldi過(guò)程來(lái)獲得由HV的前k階塊矩構(gòu)成的塊Krylov子空間的正交規(guī)范矩陣Q。
塊二次Arnoldi過(guò)程的描述如下輸入A，Q0，P0和n，p輸出正交規(guī)范矩陣Q1.計(jì)算k=np]]>2.計(jì)算Q1P1=SOrth(Q0P0)]]>3.對(duì)于i＝1，2，…，k-14.循環(huán)計(jì)算Qi+1^Pi+1^=AQiPi]]>5.對(duì)于j＝1，2，…，i
6.循環(huán)計(jì)算Hij=QjTQi+1^]]>7.計(jì)算Qi+1^Pi+1^=Qi+1^Pi+1^-QiPiHij]]>8.j循環(huán)結(jié)束9.計(jì)算Qi+1Pi+1=SOrth(Qi+1^Pi+1^)]]>10.i循環(huán)結(jié)束11.計(jì)算Q＝[Q1…Qk]塊二階Arnoldi過(guò)程中，由于塊矩 中包含了p個(gè)列向量，因此需要實(shí)現(xiàn)這p個(gè)列向量的正交規(guī)范化，我們采用SOrth(二次正交規(guī)范化)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。
Sorth算法的描述如下輸入 輸出正交規(guī)范化矩陣Qm，Pm1.計(jì)算k=np]]>2.令Qm^=q1^q^2···qp^Pm^=p1^p2^···pp^]]>3.對(duì)于i＝1，2，…，p4.循環(huán)計(jì)算qipi=qi^pi^]]>5.對(duì)于j＝1，2，…，i-16.循環(huán)計(jì)算Rji＝qj′qi7.計(jì)算qipi=qipi-Rji·qjpj]]>8.j循環(huán)結(jié)束9.計(jì)算Rji＝||qi||10.如果Rji≅0,]]>停止
11.否則，計(jì)算q1p1=1Rjiq1p1]]>12.如果結(jié)束13.i循環(huán)結(jié)束14.計(jì)算 步驟五正交投影和合同變換獲得降階系統(tǒng)利用Q對(duì)N階原系統(tǒng)(16)和(15)進(jìn)行正交投影和合同變換，即可獲得(17)和(18)所示的n階降階后系統(tǒng)(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~uU(s)---(17)]]>Y(s)=L~VTV~(s)---(18)]]>其中C~=QTCQ,]]>G~=QTGQ,]]>Γ~=QTΓQ,]]>V~=QTV,]]>B~u=QTBu,]]>L~V=QTLV.]]>可以看到，降階后系統(tǒng)的二階系統(tǒng)表示(17)具有與原二階系統(tǒng)(16)相同的結(jié)構(gòu)。
另一方面，我們考慮原系統(tǒng)的一階系統(tǒng)表示形式(如(14)式所示)(GES-SEST0+sC00I)V(s)Ib(s)=BuU(s)0---(14)]]>通過(guò)引入新的變量向量＝ESIb，方程(14)可寫(xiě)成(GI-Γ0+sC00I)V(s)I^(s)=BuU(s)0---(36)]]>對(duì)于降階后二次系統(tǒng)(17)，通過(guò)引入新的變量向量I~=QTI^,]]>我們可得到降階后系統(tǒng)的一階系統(tǒng)表示(G~I-Γ~0+sC~00I)V~(s)I~(s)=B~uU(s)0---(37)]]>可以看到，降階后的系統(tǒng)(37)完全保持了原系統(tǒng)一階方程(36)矩陣的塊狀結(jié)構(gòu)，即電阻、電感的電納和電容貢獻(xiàn)子矩陣降階后仍然處于方程系統(tǒng)矩陣中的相同位置。但是，PRIMA降階后系統(tǒng)的矩陣不再保持原系統(tǒng)矩陣的塊狀結(jié)構(gòu)。
獲得小規(guī)模RCS等效電路利用降階后系統(tǒng)保持原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特性，我們可以基于降階后系統(tǒng)方程(17)僅采用電阻、電感的電納、電容和獨(dú)立源四種基本元件來(lái)得到原RCS電路的具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的小規(guī)模等效電路，但是，PRIMA方法無(wú)法僅用電阻、電感、電容和獨(dú)立源來(lái)等效降階后的系統(tǒng)(9)，以獲得原RLC電路的具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)小規(guī)模等效電路。
小規(guī)模RCS等效電路構(gòu)造的主要思想如下方程(17)可以看成是克?；舴螂娏鞣匠瘫硎荆匠套筮吶?xiàng)分別對(duì)應(yīng)于RCS等效電路中電容、電阻和電感的電納的電流貢獻(xiàn)，方程右邊項(xiàng)可看成是獨(dú)立電流源的電流貢獻(xiàn)。對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的小規(guī)模RCS電路中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，我們可以基于(17)式，獲得連接在該節(jié)點(diǎn)上的電容、電阻、電感的電納和獨(dú)立電流源值，以及各電容之間的互容值，和各電感的電納之間的耦合系數(shù)，從而獲得小規(guī)模RCS等效電路。
本發(fā)明中各參數(shù)含義同前所述。
本發(fā)明具有如下特點(diǎn)本發(fā)明的特點(diǎn)是塊二階Arnoldi過(guò)程保證了降階算法的數(shù)值穩(wěn)定性以及低的計(jì)算量和存貯量，降階后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可匹配原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的前k階塊矩，從而具有高的降階精度，同時(shí)基于正交投影和合同變換確保了降階后系統(tǒng)的無(wú)源性，另外，本發(fā)明算法具有保結(jié)構(gòu)的特性，即降階后的系統(tǒng)保持了原系統(tǒng)矩陣的塊狀結(jié)構(gòu)，基于降階后系統(tǒng)可構(gòu)造出小規(guī)模的RCS等效電路。
本發(fā)明具有如下優(yōu)點(diǎn)1、數(shù)值穩(wěn)定性本發(fā)明基于塊二次Arnoldi方法來(lái)構(gòu)造正交規(guī)范矩陣，屬于隱式塊矩匹配的算法，保證了降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性，而ENOR通過(guò)顯式方法計(jì)算塊矩，存在數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題。
2、保證無(wú)源性本發(fā)明基于正交投影和合同變換來(lái)獲得n階降階系統(tǒng)，保證了原系統(tǒng)的無(wú)源特性。當(dāng)應(yīng)用于輸入關(guān)聯(lián)矩陣等于輸出關(guān)聯(lián)矩陣(B＝L)的電路時(shí)，本發(fā)明獲得的降階后系統(tǒng)能夠在保持系統(tǒng)無(wú)源特性的同時(shí)，匹配原系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的前2k階塊矩，而PRIMA不能同時(shí)保持系統(tǒng)的無(wú)源特性和傳遞函數(shù)矩陣的前2k階塊矩匹配。
3、高的降階精度本發(fā)明采用基于塊二階Arnodi方法來(lái)構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q，可以證明利用Q對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行正交投影獲得的降階系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以匹配原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的前k階塊矩，因此具有高的矩匹配精度。而SMOR通過(guò)近似的塊矩遞推公式構(gòu)造正交投影矩陣，具有較差的矩匹配精度。
另一方面，本發(fā)明Block SAPOR算法具有比PRIMA更高的降階精度。
PRIMA算法采用投影矩陣 對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行投影以獲得n階降階后系統(tǒng)WT(sCX+GX)WWTX(s)＝WTBU(s)本發(fā)明Block SAPOR獲得的n階降階后系統(tǒng)(37)可以寫(xiě)成以下形式QT00I(GES-SEST0+sC00I)Q00IQT00IV(s)Ib(s)=QT00IBuU(s)0]]>其中采用的投影矩陣為 可以證明，該投影矩陣構(gòu)成的投影空間要大于PRIMA所使用的投影矩陣W構(gòu)成的投影空間。因此，本發(fā)明Block SAPOR具有比PRIMA更大的投影空間，可以獲得更高的降階精度。
4、保結(jié)構(gòu)特性本發(fā)明算法獲得的降階后系統(tǒng)具有和原系統(tǒng)相同的結(jié)構(gòu)，即保持了原一階系統(tǒng)矩陣的塊狀結(jié)構(gòu)，可以僅采用電阻、電感的電納、電容和獨(dú)立源四種基本元件來(lái)獲得降階后系統(tǒng)的RCS等效電路，實(shí)現(xiàn)了對(duì)原大規(guī)模RCS電路到小規(guī)模RCS電路的降階。但是，PRIMA方法無(wú)法獲得降階后系統(tǒng)的RLC等效電路。
5、低的計(jì)算量和存貯量本發(fā)明可采用節(jié)點(diǎn)電壓法直接構(gòu)造二階RCS電路方程，而傳統(tǒng)的模型降階方法需要通過(guò)改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法來(lái)建立一階RLC電路方程；由于電感的電納矩陣S具有對(duì)角占優(yōu)、稀疏等優(yōu)良特性，而電感矩陣為稠密矩陣，故針對(duì)RCS電路的降階可以采用快速數(shù)值計(jì)算技術(shù)來(lái)加速降階過(guò)程。因此，本發(fā)明具有較低的時(shí)間復(fù)雜度；另一方面，塊二次Arnoldi方法存在一個(gè)低存儲(chǔ)量的計(jì)算版本，無(wú)需顯式存儲(chǔ)向量p1，p2，…，pn，從而節(jié)省了一半的存儲(chǔ)空間。因此，本發(fā)明具有低的計(jì)算量和存儲(chǔ)量。


圖1 16位總線電路圖。
圖2利用本發(fā)明Block SAPOR獲得的不同階數(shù)的降階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差曲線比較圖。
圖3利用本發(fā)明Block SAPOR和一階系統(tǒng)降階方法PRIMA獲得的相同階數(shù)的降階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差曲線比較圖。
圖4利用本發(fā)明Block SAPOR與二階系統(tǒng)降階方法ENOR和SMOR獲得的相同階數(shù)的降階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差曲線比較圖。
具體實(shí)施例方式
具體實(shí)施方式
下面通過(guò)具體實(shí)施例進(jìn)一步說(shuō)明本發(fā)明。
對(duì)圖1所示的16位總線電路(包含兩根屏蔽線)，可采用相應(yīng)的參數(shù)提取工具獲得等效的RCS電路。電路包含16個(gè)電流源，電路的輸出為16根互連線的輸出節(jié)點(diǎn)電壓。RCS等效電路中共有1746個(gè)未知變量，包括1170個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓和576個(gè)電感的電納電流。我們利用僅有第一根互連線電流源有效時(shí)，第一根互連線輸出節(jié)點(diǎn)的頻率響應(yīng)作為衡量降階精度的標(biāo)準(zhǔn)。
我們利用本發(fā)明算法對(duì)16位總線電路進(jìn)行降階模擬。以降階階數(shù)為240為例，具體步驟如下。
步驟一對(duì)于該總線電路，采用節(jié)點(diǎn)電壓法構(gòu)造如(16)式和(15)式所示的二階系統(tǒng)電路描述，系統(tǒng)階數(shù)為1170，輸入激勵(lì)數(shù)目和輸出信號(hào)數(shù)目均為16。
步驟二定義輸入-節(jié)點(diǎn)電壓變量傳遞函數(shù)矩陣HV如(29)式所示。結(jié)合(16)和(29)，得到(30)式所示方程。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻移s＝s0+σ，其中s0＝10GHz，可得(31)所示方程。
步驟三定義A=-K-1DK-1-C0,]]>Q0＝K-1B0P0＝B1。
步驟四由于電路輸入激勵(lì)數(shù)目為p＝16，降階階數(shù)數(shù)目為n＝240，選取k＝15，利用塊二次Arnoldi過(guò)程構(gòu)造正交規(guī)范矩陣Q。
步驟五利用Q對(duì)原系統(tǒng)(16)和(15)進(jìn)行正交投影和合同變換，即可獲得(17)和(18)所示的240階降階后系統(tǒng)。
我們利用本發(fā)明算法將原電路降階到不同的階數(shù)，即240、320、400，并比較降階精度。圖2是用本發(fā)明Block SAPOR獲得的不同階數(shù)的降階系統(tǒng)頻率響應(yīng)的誤差比較?？梢钥吹剑S著降階后系統(tǒng)階數(shù)的增加，由于匹配矩?cái)?shù)目的增加，降階精度也升高，降階后系統(tǒng)在更寬的頻域范圍內(nèi)匹配原系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。
接下來(lái)，我們將本發(fā)明Block SAPOR與一階系統(tǒng)降階方法PRIMA進(jìn)行比較。針對(duì)圖1的電路，利用本發(fā)明和PRIMA算法所獲得相同階數(shù)的降階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差曲線比較如圖3所示?？梢钥闯觯景l(fā)明比PRIMA算法具有更高的降階精度，這主要?dú)w因于本發(fā)明具有更大的投影空間。
另外，我們將本發(fā)明Block SAPOR與二階系統(tǒng)降階方法ENOR和SMOR算法進(jìn)行比較。圖4中分別給出了利用本發(fā)明和這兩種算法所獲得相同階數(shù)的降階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差曲線比較?？梢钥吹?，受限于數(shù)值不穩(wěn)定和近似的塊具計(jì)算，ENOR和SMOR獲得的降階精度較低，且隨著降階階數(shù)的增加降階精度提高并不顯著，但是本發(fā)明比另兩種算法在更高的頻率范圍內(nèi)具有更高的降階精度。
除此以外，對(duì)于相同的降階階數(shù)，我們比較了本發(fā)明和其他三種算法獲得降階系統(tǒng)所花費(fèi)的時(shí)間，如下表所示

顯然，本發(fā)明模擬降階花費(fèi)的時(shí)間要比其他算法要少。
本電路實(shí)例表明，本發(fā)明提出的基于二次Arnoldi的模型降階技術(shù)可以保證降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性、降階系統(tǒng)的無(wú)源性、精確矩匹配和保結(jié)構(gòu)等特性，可有效地應(yīng)用于多輸入多輸出RCS互連電路的快速模擬。
權(quán)利要求
1.一種多輸入多輸出RCS互連電路的降階方法，其特征在于具體步驟如下步驟一構(gòu)造二階系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)多輸入多輸出的RCS互連電路，采用節(jié)點(diǎn)電壓法直接構(gòu)造如(16)式所示的二階系統(tǒng)來(lái)描述(sC+G+1sΓ)V(s)=BuU(S)---(16)]]>步驟二系統(tǒng)頻移定義輸入節(jié)點(diǎn)電壓變量傳遞函數(shù)矩陣HV滿足V(s)＝HV(s)U(s) (29)HV的第j行、第i列元素表示僅在第i個(gè)電流源給以激勵(lì)時(shí)，第j個(gè)電壓變量的響應(yīng)，結(jié)合(16)和(29)，有(s2C+sG+Γ)HV(s)＝sBu(30)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻移s＝s0+σ，得(σ2C+σD+K)HV(σ)＝B0+B1σ (31)其中D＝2s0C+G，K=s02C+s0G+Γ,]]>B0＝s0Bu，B1＝Bu。步驟三系統(tǒng)線性化引入一個(gè)新的變量矩陣HZ(σ)滿足σCHV(σ)+HZ(σ)＝B1(32)將(32)代入(31)，有-σHZ(σ)+σDHV(σ)+KHV(σ)＝B0(33)結(jié)合(32)和(33)，得到方程(34)，它是方程(31)的線性化形式(I-σA)HV(σ)HZ(σ)=Q0P0---(34)]]>其中A=-K-1DK-1-C0,]]>Q0＝K-1B0P0＝B1，將(I-σA)移至式(34)右邊，并進(jìn)行Maclaurin級(jí)數(shù)展開(kāi)，有HV(σ)HZ(σ)=(I+σA+σ2A2+σ3A3+···)Q0P0---(35)]]>AiQ0P0]]>是HVHZ]]>的第i階塊矩，Q0和P0分別是HV和HZ的零階矩；步驟四構(gòu)造正交規(guī)范矩陣由于HVHZ]]>的第i階塊矩的上半部分，I0AiQ0P0,]]>等于HV的第i階塊矩，故進(jìn)一步利用塊二階Arnoldi過(guò)程獲得由HV的前k階塊矩構(gòu)成的塊Krylov子空間的正交規(guī)范矩陣Q；步驟五正交投影和合同變換獲得降階系統(tǒng)利用Q對(duì)N階原系統(tǒng)(16)和(15)進(jìn)行正交投影和合同變換，即可獲得(17)和(18)所示的n階降階后系統(tǒng)(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~uU(s)---(17)]]>Y(s)=L~VTV~(s)---(18)]]>其中C~=QTCQ,G~=QTGQ,Γ~=QTΓQ,V~=QTV,B~u=QTBu,L~V=QTLV;]]>由于原系統(tǒng)的一階系統(tǒng)表示形式如(14)式所示(GES-SST0+sC00I)V(s)Ih(s)=Bu(s)0---(14)]]>引入新的變量向量I^=ESIb,]]>方程(14)寫(xiě)成(GI-Γ0+sC00I)V(s)I^(s)=BuU(s)0---(36)]]>對(duì)于降階后二次系統(tǒng)(17)，通過(guò)引入新的變量向量I~=QTI,^]]>可得到降階后系統(tǒng)的一階系統(tǒng)表示(G~I-Γ~0+sC~00I)V~(s)I~(s)=B~uU(s)0---(37)]]>
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的降階方法，其特征在于利用塊二階Arnoldi過(guò)程來(lái)獲得正交規(guī)范矩Q的步驟如下輸入A，Q0，P0和n，p輸出正交規(guī)范矩陣Q(1)計(jì)算k=np]]>(2)計(jì)算Q1P1=SQrth(Q0P0)]]>(3)對(duì)于i＝1，2，…，k-1(4)循環(huán)計(jì)算Qi+1^Pi+1^=AQiPi]]>(5)對(duì)于j＝1，2，…，i(6)循環(huán)計(jì)算Hij=QjTQi+1^]]>(7)計(jì)算Qi+1^Pi+1^=Qi=1^Pi+1^-QiPiHij]]>(8)j循環(huán)結(jié)束(9)計(jì)算Qi+1Pi+1=SOrth(Qi+1^Pi+1^)]]>(10)i循環(huán)結(jié)束(11)計(jì)算Q＝[Q1…Qk]
3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的降階方法，其特征在于對(duì)塊矩中包含的P個(gè)列向量進(jìn)行正交規(guī)范化，并采用Sorth算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體步驟如下輸入Qm^,Pm^,p]]>輸出正交規(guī)范化矩陣Qm，Pm(1)計(jì)算k=np]]>(2)令Qm^=q1^q2^···qp^]]>Pm^=p1^p2^···pp^]]>(3)對(duì)于i＝1，2，…，p(4)循環(huán)計(jì)算qipi=qi^pi^]]>(5)對(duì)于j＝1，2，…，i-1(6)循環(huán)計(jì)算Rji＝qj′qi(7)計(jì)算qipi=qipi-Rji·qjpj]]>(8)j循環(huán)結(jié)束(9)計(jì)算Rji＝‖qi‖(10)如果Rii≅0,]]>停止(11)否則，計(jì)算qipi=1Riiqipi]]>(12)如果結(jié)束(13)i循環(huán)結(jié)束(14)計(jì)算
全文摘要
本發(fā)明屬線性電路的模型降階技術(shù)領(lǐng)域，具體為一種多輸入多輸出RCS互連電路的降階。該方法的步驟包括構(gòu)造二階系統(tǒng)方程來(lái)描述該互連電路，對(duì)二次系統(tǒng)進(jìn)行頻移，并對(duì)二次系統(tǒng)進(jìn)行線性化，再采用塊二階Arnoldi算法獲得Hv的前k階塊矩所構(gòu)成的Krylov子空間內(nèi)的一組正交規(guī)范基，并利用該正交規(guī)范矩陣對(duì)原二次系統(tǒng)進(jìn)行正交投影，從而獲得階數(shù)為n的降階后的二次系統(tǒng)，該二次系統(tǒng)可以線性化為一個(gè)一次系統(tǒng)，線性化后的一次電路方程保持了原二次方程對(duì)應(yīng)的一次方程矩陣的塊狀結(jié)構(gòu)，最后獲得小規(guī)模RCS等效電路。本發(fā)明方法可以保證降階過(guò)程的數(shù)值穩(wěn)定性、降階系統(tǒng)的無(wú)源性、精確矩匹配，具有保結(jié)構(gòu)特性，低的計(jì)算量和存貯量。
文檔編號(hào)G06F17/50GK1645379SQ20051002330
公開(kāi)日2005年7月27日 申請(qǐng)日期2005年1月13日 優(yōu)先權(quán)日2005年1月13日
發(fā)明者曾璇, 蘇仰鋒, 童家榕, 劉榜 申請(qǐng)人:復(fù)旦大學(xué)