專(zhuān)利名稱(chēng)：基于有限元法與廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及的是一 種應(yīng)用于工程力學(xué)和振動(dòng)工程領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法。
背景技術(shù)：
作為一種數(shù)值計(jì)算方法，有限元法在結(jié)構(gòu)振動(dòng)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在處理不規(guī) 則復(fù)雜結(jié)構(gòu)，該方法有著解析方法無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。但有限元法仍然存在一些缺點(diǎn)，如在計(jì) 算大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)特別是高頻問(wèn)題甚至中頻問(wèn)題，由于現(xiàn)在計(jì)算技術(shù)限制，計(jì)算所需網(wǎng)格過(guò) 多，導(dǎo)致求解非常的困難甚至無(wú)法求解。在結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，解析法具有結(jié)果精確，使用計(jì)算機(jī)求解具有計(jì)算結(jié)果的頻帶 寬、精確可信以及占有計(jì)算機(jī)資源小，計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。但是，解析法往往只適用于簡(jiǎn)單 規(guī)則結(jié)構(gòu)。在解析方法中，傅里葉級(jí)數(shù)解法是近年來(lái)受到重視的方法之一，它可以適用于 各種邊界條件、運(yùn)算方便，并由于級(jí)數(shù)間具有正交性，可以使計(jì)算量大為減小并保證很高 精度。美國(guó)韋恩州立大學(xué)李文龍?zhí)岢鲆环N廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法成功解決了任意邊界條件 下橫梁的彈性振動(dòng)(W. L Li，Vibrationanalysis of rectangular plates with general elastic boundary supports， Journal of Sound andVibration 273(2004)619-635.)， 求解出的固有頻率和振型的精度及級(jí)數(shù)收斂速度都達(dá)到了十分理想的效果，此解法 還被應(yīng)用于求解和分析多跨度橋梁接受運(yùn)動(dòng)負(fù)載時(shí)的振動(dòng)問(wèn)題(w. L. Li，M. Daniels, A Fourier series method for the vibrations of elasticallyrestrained plates arbitrarily loaded with springs and masses, Journal of Sound and Vibration 252(2002)768-781·)。 文 獻(xiàn) Vibrations of rectangular plates with arbitrary non-uniform elastic edgerestraints(X. Zhang, Wen L. Li*, Journal of Sound and Vibration 326(2009)221-234)中，國(guó)內(nèi)杜敬濤等人將傅里葉級(jí)數(shù)方法解決了任意邊界彈 性邊界矩形板振動(dòng)問(wèn)題，不均勻邊界問(wèn)題乃至是板與板耦合振動(dòng)分析問(wèn)題。對(duì)于梁、板、圓 柱殼等規(guī)則結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)的微分方程是四階的，展開(kāi)級(jí)數(shù)具有四階(或更高階)的逐項(xiàng)可 導(dǎo)的性質(zhì)，這些結(jié)構(gòu)均可用廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動(dòng)求解。對(duì)于不規(guī)則結(jié)構(gòu)或者 規(guī)則結(jié)構(gòu)的布爾運(yùn)算，如矩形板上有三角形孔，廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法還無(wú)法求解，原因是一 般結(jié)構(gòu)的高階逐項(xiàng)可導(dǎo)的條件很難滿(mǎn)足，所以，傅里葉級(jí)數(shù)解法解決問(wèn)題的范圍受到很大 限制。將有限元法解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)和傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法計(jì)算精度高、計(jì)算資 源消耗小且計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，可以解決大型較復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題。目前還沒(méi)有 將兩種方法結(jié)合的技術(shù)出現(xiàn)以及相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的在于提供可用來(lái)解決大型較復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)特別是中高頻振動(dòng)計(jì)算 難題的基于有限元法與廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法。本發(fā)明的目的是這樣實(shí)現(xiàn)的
本發(fā)明基于有限元法與廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法，其特征是(1)將待分析的結(jié)構(gòu)劃分為規(guī)則結(jié)構(gòu)與非規(guī)則結(jié)構(gòu)兩部分，兩部分之間利用虛擬 彈簧連接；(2)規(guī)則結(jié)構(gòu)部分設(shè)定位移函數(shù)，即設(shè)定傅里葉級(jí)數(shù)及其附加容許函數(shù)，依據(jù)能量 原理將傅里葉級(jí)數(shù)及其容許函數(shù)中的系數(shù)作為未知量，規(guī)則結(jié)構(gòu)部分轉(zhuǎn)化為當(dāng)量剛度矩陣 與質(zhì)量矩陣，非規(guī)則結(jié)構(gòu)部分采用有限元法構(gòu)造該區(qū)域的總體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；(3)規(guī)則結(jié)構(gòu)部分與非規(guī)則結(jié)構(gòu)部分之間的虛擬彈簧兩端位移分別以有限元節(jié)點(diǎn) 位移以及級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)表示，利用彈簧兩端位移表示彈簧儲(chǔ)存勢(shì)能，利用能量方法中的 變分方法得到有限元離散區(qū)域與級(jí)數(shù)展開(kāi)區(qū)域之間的耦合質(zhì)量矩陣與剛度矩陣；(4)有限元質(zhì)量剛度矩陣、廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)質(zhì)量剛度矩陣和虛擬彈簧的耦合質(zhì)量剛度矩陣依據(jù)位移排列組合得到結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量剛度矩陣；(5)由結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量剛度矩陣得到線(xiàn)性方程組，求解線(xiàn)性方程組得到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn) 位移和級(jí)數(shù)展開(kāi)中的未知系數(shù)。本發(fā)明的優(yōu)勢(shì)在于與有限元法相比，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)方法作為解析方法雖然只 能用于一些規(guī)則結(jié)構(gòu)但該方法無(wú)需任何網(wǎng)格且有著收斂快速，計(jì)算所需資源少的優(yōu)點(diǎn)；而 有限元方法作為一種成熟技術(shù)，在結(jié)構(gòu)領(lǐng)域已經(jīng)得到非常廣泛的應(yīng)用，適用于任意形狀的 結(jié)構(gòu)。由于結(jié)構(gòu)的大型化復(fù)雜化，加上計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力限制，導(dǎo)致有限元法計(jì)算有一定誤 差以及計(jì)算效率低下，對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中高頻甚至無(wú)法求解。通過(guò)本發(fā)明提出的將兩 者結(jié)合的連接方法，對(duì)大型較復(fù)雜結(jié)構(gòu)，既可以獲得比有限元法更高的精度，又可以節(jié)省大 量的計(jì)算成本。


圖1為本發(fā)明的流程示意圖；圖2是本發(fā)明實(shí)施方式1的結(jié)構(gòu)示意圖。
具體實(shí)施例方式下面結(jié)合附圖舉例對(duì)本發(fā)明做更詳細(xì)地描述結(jié)合圖1，本發(fā)明可以分為以下步驟1、建立求解域，并將之分為規(guī)則結(jié)構(gòu)如梁、矩形板等與非規(guī)則結(jié)構(gòu)兩部分，二者之 間利用虛擬無(wú)窮大彈簧連接；2、非規(guī)則部分采用有限元法。將非規(guī)則結(jié)構(gòu)離散化成有限元單元，即將該區(qū)域分 解成節(jié)點(diǎn)和單元；3、假設(shè)代表單元物理行為的形函數(shù)，即假設(shè)代表單元解的近似連續(xù)函數(shù)，并對(duì)單 元建立方程；4、將單元組合成總體的問(wèn)題，構(gòu)造該區(qū)域的總體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；5、規(guī)則區(qū)域根據(jù)其控制方程特點(diǎn)，設(shè)定位移函數(shù)，即設(shè)定傅里葉級(jí)數(shù)及其附加容 許函數(shù)；6、依據(jù)能量原理將傅里葉級(jí)數(shù)及其容許函數(shù)中的系數(shù)作為未知量，規(guī)則區(qū)域轉(zhuǎn)化 為當(dāng)量剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；
7、應(yīng)用邊界條件到不同區(qū)域的質(zhì)量與剛度矩陣之中；8、規(guī)則區(qū)域與非規(guī)則區(qū)域之間的虛擬彈簧兩端位移分別以有限元節(jié)點(diǎn)位移以及 級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)表示之；9、利用彈 簧兩端位移，表示彈簧儲(chǔ)存勢(shì)能，同樣的利用能量方法中的變分方法對(duì) 之進(jìn)行處理，得到有限元離散區(qū)域與級(jí)數(shù)展開(kāi)區(qū)域之間的耦合質(zhì)量矩陣與剛度矩陣。10、分別利用形成的有限元質(zhì)量剛度矩陣、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)質(zhì)量剛度矩陣以及連 接二者的虛擬彈簧的耦合矩陣形成總體結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量與剛度矩陣。11、求解得到的線(xiàn)性方程組，得到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移和級(jí)數(shù)展開(kāi)中的未知系數(shù)。12、通過(guò)計(jì)算結(jié)果得到其他信息，如頻率、各階模態(tài)，亦可進(jìn)一步做結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算。實(shí)施方式1 結(jié)合圖2，懸臂梁支撐左側(cè)部分由有限元fa表示，支撐右側(cè)部分由傅里葉級(jí)數(shù)展 開(kāi)方法表述。梁彎曲問(wèn)題的基本方程可表示如下幾何關(guān)系 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 平衡方程 邊界條件或 以上各式中κ是梁中面變形后的曲率；M和Q分別是截面上的彎矩和橫向剪力；I 是截面上的慣性矩；承θ, M, G分別是邊界上給定的撓度、轉(zhuǎn)動(dòng)、彎矩和剪力。用有限元法分析梁彎曲問(wèn)題時(shí)，采用Hermite多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù)。對(duì)于 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，函數(shù)Φ采用Hermite多項(xiàng)式的插值表達(dá)式可寫(xiě)成 因此單元內(nèi)撓度函數(shù)的插值表示如下
對(duì)泛函Π = I1-EI^fdx- '-Ε φ^-^^ΣΜ,φ,(8)
取變分可以得到有限元的剛度矩陣 同理得到單元的質(zhì)量矩陣 由此，有限元形成結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程如式(11)所示(Ke-Mea2)ue=0(11)其中
代表有限單元中的每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上的值；ω為振
動(dòng)的圓頻率。解決彈性支承問(wèn)題通常采用修改剛度矩陣的方法。以上述連續(xù)梁為例，可在相應(yīng) 節(jié)點(diǎn)上主剛度加相應(yīng)值。依據(jù)廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法及梁的特性假設(shè)位移條件形式如下 其中為容許函數(shù)，吸收傅里葉級(jí)數(shù)方法邊界不連續(xù)，加快傅里葉級(jí)數(shù)的收斂 性。 因此梁的曲率可表達(dá)如下 梁的勢(shì)能動(dòng)能表達(dá)式如下 一個(gè)邊界上有兩個(gè)彈簧分別為線(xiàn)性彈簧kw(l，kwl，扭簧Kwtl, Kwlo這樣的話(huà)，邊界上 的能量表達(dá)式可以寫(xiě)為如下形式
因此，系統(tǒng)中儲(chǔ)存的總勢(shì)能為V = U+UM+Ubl，直梁拉格朗日函數(shù)可以表示為如下形 式L = V-T (17)將式(12) (16)代入式17，采用Rayleigh-Ritz法使拉格朗日函數(shù)對(duì)每個(gè)未知 Fourier系數(shù)取極值，我們可以得到8個(gè)線(xiàn)性方程組，進(jìn)一步寫(xiě)為矩陣表達(dá)式形式 其中:^ 通過(guò)以上推導(dǎo)，分別得到有限元與廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)方法的質(zhì)量剛度矩陣。推 導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)其質(zhì)量剛度矩陣都由有變分導(dǎo)出，因此對(duì)于左右梁之間的彈簧k。，Kc作一 個(gè)相同的處理，從而得到其耦合剛度與質(zhì)量矩陣。耦合項(xiàng)能量， uc2在耦合能量項(xiàng)中，存在左端有限元梁的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)位移以及右端的 Fourier系數(shù)，同樣的對(duì)每個(gè)未知系數(shù)取極值，可以得到5個(gè)線(xiàn)性方程組。通過(guò)這五個(gè)線(xiàn)性 方程組，將左側(cè)的有限元梁與右側(cè)的廣義傅里葉級(jí)數(shù)梁耦合在一起使之成為一體。這五個(gè) 線(xiàn)性方程組與式(11)、(18)合在一起整理之，可以得到這樣的總體質(zhì)量剛度矩陣(ΛΓ-Μω2)3 = 0(20)其中2=[叫，01，狄2,終...1,《,4),4,...，4，<^,匚2,(^,〔4]·通過(guò)式(20)即可求解相應(yīng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。根據(jù)以上推導(dǎo)，對(duì)一根直梁幾種不同邊界(S-S，C-C, F-F)進(jìn)行了驗(yàn)算，其參數(shù)如 下所示長(zhǎng)度為L(zhǎng) = Im ；橫截面積=0.0003 ；慣性矩I = 7. 0e-009 ；楊氏模量E = 2. lell。計(jì)算所得結(jié)果如下所示，耦合方法結(jié)果與有限元，廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法結(jié)果相差 很小。兩邊簡(jiǎn)支邊界 兩邊固支邊界 兩邊自由邊界 雙邊自由邊界條件第五十階達(dá)到精確值0.001%精度時(shí)的計(jì)算時(shí)間比較對(duì)比結(jié)果
如下
權(quán)利要求
基于有限元法與廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法，其特征是(1)將待分析的結(jié)構(gòu)劃分為規(guī)則結(jié)構(gòu)與非規(guī)則結(jié)構(gòu)兩部分，兩部分之間利用虛擬彈簧連接；(2)規(guī)則結(jié)構(gòu)部分設(shè)定位移函數(shù)，即設(shè)定傅里葉級(jí)數(shù)及其附加容許函數(shù)，依據(jù)能量原理將傅里葉級(jí)數(shù)及其容許函數(shù)中的系數(shù)作為未知量，規(guī)則結(jié)構(gòu)部分轉(zhuǎn)化為當(dāng)量剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，非規(guī)則結(jié)構(gòu)部分采用有限元法構(gòu)造該區(qū)域的總體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；(3)規(guī)則結(jié)構(gòu)部分與非規(guī)則結(jié)構(gòu)部分之間的虛擬彈簧兩端位移分別以有限元節(jié)點(diǎn)位移以及級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)表示，利用彈簧兩端位移表示彈簧儲(chǔ)存勢(shì)能，利用能量方法中的變分方法得到有限元離散區(qū)域與級(jí)數(shù)展開(kāi)區(qū)域之間的耦合質(zhì)量矩陣與剛度矩陣；(4)有限元質(zhì)量剛度矩陣、廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)質(zhì)量剛度矩陣和虛擬彈簧的耦合質(zhì)量剛度矩陣依據(jù)位移排列組合得到結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量剛度矩陣；(5)由結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量剛度矩陣得到線(xiàn)性方程組，求解線(xiàn)性方程組得到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移和級(jí)數(shù)展開(kāi)中的未知系數(shù)。
全文摘要
本發(fā)明的目的在于提供基于有限元法與廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法。分為以下步驟將需要進(jìn)行振動(dòng)分析的結(jié)構(gòu)區(qū)域劃分，分別形成相應(yīng)的有限元表述區(qū)域與廣義傅里葉級(jí)數(shù)表述區(qū)域；對(duì)有限元表述區(qū)域進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分并形成相應(yīng)的質(zhì)量剛度矩陣，依據(jù)廣義傅里葉級(jí)數(shù)表述區(qū)域特點(diǎn)選擇相應(yīng)的假設(shè)位移形式，形成質(zhì)量剛度矩陣；之后在兩個(gè)區(qū)域之間建立虛擬彈簧利用能量變分方法，將虛擬彈簧勢(shì)能轉(zhuǎn)化為總體耦合剛度矩陣；然后對(duì)形成的質(zhì)量剛度矩陣根據(jù)位移進(jìn)行排列，形成總體結(jié)構(gòu)質(zhì)量剛度矩陣；求解線(xiàn)性方程組得到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移和級(jí)數(shù)展開(kāi)中的未知系數(shù)。本發(fā)明對(duì)大型較復(fù)雜結(jié)構(gòu)，既可以獲得比有限元法更高的精度，又可以節(jié)省大量的計(jì)算成本。
文檔編號(hào)G06F17/50GK101887474SQ201010208748
公開(kāi)日2010年11月17日 申請(qǐng)日期2010年6月25日 優(yōu)先權(quán)日2010年6月25日
發(fā)明者呂秉琳, 周海軍, 李玩幽, 率志君, 郭宜斌 申請(qǐng)人:哈爾濱工程大學(xué)