專利名稱：三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法的制作方法
技術(shù)領域：
本發(fā)明涉及一種三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法。
技術(shù)背景
三維三角形網(wǎng)格在計算機輔助幾何設計、計算機動畫、虛擬現(xiàn)實、計算機游戲和醫(yī) 學影像等領域有著大量的應用。隨著三維掃描技術(shù)的發(fā)展，頂點數(shù)為數(shù)萬的模型已經(jīng)非常 常見，有的模型頂點數(shù)達到數(shù)十萬甚至更多，所以在網(wǎng)格的多分辨率顯示，加速網(wǎng)格著色， 網(wǎng)格壓縮等過程中需要快速的并且能夠保持網(wǎng)格模型細節(jié)的網(wǎng)格簡化算法。已有的幾種主 要多邊形網(wǎng)格簡化技術(shù)如下1、刪減(Decimation) =Garland等[1]提出一種基于邊縮減的網(wǎng)格簡化算法，該方 法采用網(wǎng)格的頂點到其相關平面的二次距離作為度量，進行邊縮減的迭代直到達到目標網(wǎng) 格邊數(shù)為止。類似地，Hoppe等[2]、Klein等[3]、Garland等M對網(wǎng)格元素提出一種誤差度 量，其誤差度量基于頂點坐標、顏色或是紋理坐標來建立，然后對網(wǎng)格元素進行迭代縮減以 簡化網(wǎng)格。刪減的方法雖然可以得到有效的網(wǎng)格簡化效果，但是該類方法得到網(wǎng)格往往存 在邊度數(shù)非常高的頂點，并且由于操作網(wǎng)格的拓撲結(jié)構(gòu)而比較耗時。2、網(wǎng)格精煉(Mesh Refinement) :Eck 等[5],Delingette 等[6]、Lee 等[7]都提出以 一個粗網(wǎng)格來逼近表示原始網(wǎng)格模型，然后以各自的策略迭代地在局部進行精煉加密粗網(wǎng) 格以達到能夠準確表示原始網(wǎng)格模型的精度，但這類方適用的模型類型非常有限。3、網(wǎng)格重構(gòu)(Remeshing) =Alliez等[8’9]，Gu等[1°]提出能夠控制目標網(wǎng)格頂點數(shù) 的網(wǎng)格重構(gòu)方法，但是這些方法都受限制于網(wǎng)格的參數(shù)化，包括大量的計算和數(shù)值不穩(wěn)定 性。Valette等[11’12]，通過局部的的貪心算法構(gòu)造近似的Centroidal Voronoi Diagrams, 然后構(gòu)造CVD的對偶圖作為目標簡化網(wǎng)格，但是該方法受制于模型簡化的程度，當模型簡 化比例非常大的時候效果不佳。4、全局優(yōu)化(Global optimization) :Hoppe等[13]提出將網(wǎng)格簡化問題視作全 局優(yōu)化問題。以一個能量函數(shù)來度量原始網(wǎng)格，同時通過控制網(wǎng)格的頂點數(shù)，頂點坐標，和 拓撲連接關系以優(yōu)化定義的能量函數(shù)，可以得到保持原始網(wǎng)格模型細節(jié)和曲率簡化效果。 Cohen-Steiner等[14]提出變分網(wǎng)格逼近方法，該方法將原始網(wǎng)格分為目標數(shù)量的近似平面 簇集，使用與法向有關的能量來度量平面簇集，以Lloyd算法來得到優(yōu)化的網(wǎng)格分簇，最后 每一片分簇以一個多邊形表示以得到最終的簡化網(wǎng)格。該方法直觀有效，簡化后的網(wǎng)格模 型能夠有效保持原始網(wǎng)格的細節(jié)。然而該方法速度局限于Lloyd算法的迭代次數(shù)，Lloyd算 法也無法保證得到一個全局最優(yōu)的結(jié)果，并且需要后期處理(合并法向幾乎一致的平面簇 集)以達到理想的效果。參考文獻[1]Garland Μ, Heckbert PS. Surface Simplification Using Quadric Error Metrics. In =Whitted T, ed. Proceedings of ACM SIGGRAPH. Los Angeles :ACM Press, 1997.209-216.
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發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明目的在于提出一種快速、有效并且魯棒的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法， 它能夠比現(xiàn)有技術(shù)更有效、更高效地解決三維三角形模型的簡化和多分辨率顯示的問題。本發(fā)明的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法是先對網(wǎng)格模型進行類平面分簇，然后 根據(jù)分簇結(jié)果建立簡化后的多邊形網(wǎng)格。其具體步驟是1)給定一個需要簡化的三維三角型網(wǎng)格模型和目標簡化模型多邊形邊數(shù)Ne，將模 型表面三角形劃分為Ne簇集；2)根據(jù)定義的平面逼近誤差度量￡，迭代更新各簇集的邊界和各簇集所包含的 三角形，以減少各簇集與最終的簡化多邊形的誤差度量，最終得到優(yōu)化的簇集劃分；3)在得到最終的優(yōu)化簇集劃分后，將三個簇集以上的交點視為多邊形網(wǎng)格頂點， 便可以得到一個多邊形網(wǎng)格模型，注意此處多邊形不一定是平面多邊形。可以進一步使用 經(jīng)典的多邊形三角化方法將簡化的多邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為簡化的三角形網(wǎng)格。在上述步驟1)中，所述模型簇集的初始劃分是基于模型離散曲率估計建立的，其 曲率估計公式為
其中9」為頂點v周圍的頂角，Av為頂點v的
Voronoi區(qū)域的面積。以基于模型離散曲率作為估計建立Ne個簇集。
在步驟⑵中，平面逼近誤差度量定義為
，其中 表
簇集的特征平面法向
，其中Tj為屬于
簇集Cj的所有三角片，nj為該三角片的單位法向量，p j為該三角片的面積t
實際計算中，將誤差度量￡ (F，C)離散為
，簡化離散形式得到 在步驟(2)中，我們設計了一種基于迭代更新各個簇集邊界以優(yōu)化誤差度量的算 法，在每一步的迭代過程中，我們需要考慮簇控制集邊界變化以減小誤差度量￡d(F，C)的 可能性。為此，我們采用貪心算法來優(yōu)化誤差度量迭代地更新各簇集邊界，直至沒有簇集 邊發(fā)生變更停止。以上方法相比傳統(tǒng)的方法，其優(yōu)勢在于本方法直觀有效，簡化后的網(wǎng)格模型能夠 有效保持原始網(wǎng)格的細節(jié)，且該算法由于不涉及網(wǎng)格拓撲的修改，使得算法簡潔并且有著 較好的穩(wěn)定性。通過大量試驗表明，本方法易于實現(xiàn)，并且具有直觀的幾何意義，可以有效 應用于幾何造型系統(tǒng)中。


圖1為本發(fā)明簡化算法實施例的完整流程圖；圖2為本發(fā)明簡化算法實施例的模型在簡化中三個狀態(tài)的示意圖；圖3為本發(fā)明簡化算法實施例的局部簇集邊界變更分析示意圖。
具體實施方式
下面，結(jié)合附圖和實施例來對本發(fā)明的具體實施方式
做詳細說明。1.問題簡述以下為本發(fā)明實施例方法的具體描述，本方法基于三角形網(wǎng)格表述算法，三角形 網(wǎng)格M可以表示為{V，E，F(xiàn)}，其中V為網(wǎng)格頂點的集合，E為網(wǎng)格邊的集合，F(xiàn)為網(wǎng)格面的集 合V = Ivi = (Xi, Yi, Zi) e R3| 1≤ i ≤Nv}
(1) 本方法目標為將原始網(wǎng)格M的網(wǎng)格面片F(xiàn)劃分為邊連通的近似平面簇集
Nc < < Nf 的問題，其中
用以控制網(wǎng)格
的簡化比例，每一簇Ci中的原始網(wǎng)格面f e Ci相互關于邊連通。當分簇完成后，每一個簇 集可以用一個多邊形表示，進而可以得到一個逼近原始網(wǎng)格的多邊形簡化網(wǎng)格。圖1為本實施例簡化算法的流程圖，得到目標模型后，對模型進行自適應的分片 初值劃分；然后迭代各個簇集邊界，觀察各個簇集邊界發(fā)生變更的可能性，若有簇集邊界變 更發(fā)生，則繼續(xù)這一步；若沒有任何簇集邊界發(fā)生變更，則得到了最終的分簇結(jié)果；對分簇 結(jié)果進行多邊形化或三角化得到最終的簡化網(wǎng)格模型。圖2以burmy模型表明了模型在簡化過程中的三個不同的狀態(tài)如圖2a所示，該 原始burmy模型有69451個三角片；對原始模型進行分簇，得到100個簇集，如圖2b所示； 由最終分簇結(jié)果得到簡化后的多邊形網(wǎng)格模型，如圖2c所示。2.分簇算法2. 1初始化在本實施例中，為設計一個完整的分簇算法，需要一個初始分簇劃分，然后實施貪 心算法優(yōu)化誤差度量直到收斂為止。如果使用隨機的簇集初值劃分，不利于算法收斂的速 度以及最終的效果，為此提出自適應的種子選取和簇集增長方式以獲得初始分簇。使用二維流形三角網(wǎng)格的高斯曲率估計，對于網(wǎng)格頂點，其高斯曲率為
(2) 其中θ j為頂點ν周圍的頂角，Av為頂點ν的Voronoi區(qū)域的面積。三角片的高 斯曲率Ke(Ti)近似取為其三頂點的高斯曲率絕對值和的平均值，用以反應該三角片曲率的 尚低?？紤]網(wǎng)格分簇問題網(wǎng)格M = {V, E，F(xiàn)}，目標分簇數(shù)N。，為了擁有高曲率的三角片 的簇集將歸并較少的三角片，擁有低曲率的三角片的簇集將歸并較多的三角片。我們預測理想的分簇情況下，每一個簇集的高斯曲率總值應該接近于網(wǎng)格的平均值 其中Ti為所有三角片，P i為Ti的面積。建立每一個簇集Ci時隨機取一個還未歸屬于任何一個簇集的三角片Tseed作
為當前簇集Ci的種子三角片，循環(huán)地更新該簇集邊界將還未歸屬于任何簇集并且與該
簇集邊相連的三角片以
為優(yōu)先級并入到此簇集中，直到該簇集
的高斯曲率總值達到目標設定值D，即時，停止并入三角片。為了使幾
乎屬于一個平面的三角片只歸入一個簇集當中，當簇集停止并入三角形后，仍然可以將
頂?shù)娜瞧⑷氘斍按丶校渲?，dTh為可以容忍的三角片法 WcI ；
向與簇集法向誤差。循環(huán)上述建立簇集的方法直到建立Nc個簇集。至此，得到一個初始簇 集劃分，最終實際簇集數(shù)Nrt可能小于N。，那么修改用戶指定的分簇數(shù)N。為Nrt。2. 2平面逼近簇集的誤差度量定義每一片簇集Ci的特征法向量 為該簇集最近似的平面的法向，可如下計算 其中n(v)為ν點的單位法向量，UnifO指對向量的單位化操作運算。希望給出一種分簇策略，使得每一個簇集中的所有點與其所對應的簇集特征向量 最接近，這樣各個簇集都各自最接近于平面。給定網(wǎng)格M = {V, E，F(xiàn)}，目標分簇數(shù)N。，在對網(wǎng)格的分簇過程中，希望最小化如下
度量 其中n(v)為ν點的單位法向量，Ci(V)為ν所屬于的簇集， w為(2)式定義的特
征法向量。觀察(5)式，特征法向量 代表與該簇集最近似的平面的法向，將每一點的單位法 向量與其所屬于的簇集的特征法向量的方差的積分作為誤差量，誤差量越小，說明每一個 簇集中的所有點與其所對應的簇集特征向量越接近，亦即每一個簇集越將法向相近的網(wǎng)格 三角片歸在一起。從圖形的繪制上來分析，同一個簇集中的網(wǎng)格片擁有相近法向則擁有著 相近的光照效果，有利于用一個多邊形來表示一個簇集。給定網(wǎng)格M = {V, E，F(xiàn)}，目標簡化多邊形模型數(shù)N。，誤差度量ε (F，C)，希望找到 一個最優(yōu)的劃分C。pt，使得
其中C為該目標分簇數(shù)所對應的所 有可能的劃分。各簇集的特征法向量氣可以離散表示為 其中Tj為屬于簇集Ci的所有三角片，nj為該三角片的單位法向量，P j為該三角 片的面積。誤差度量￡ (F，C)可以離散為 e d(F, C)為￡ (F，C)的離散形式，設計一種基于迭代更新各個簇集邊界以優(yōu)化誤 差度量的算法，在每一步的迭代過程中，我們需要考慮簇控制集邊界變化以減小誤差度量 ed(F，C)的可能性，為此，需要知道誤差度量￡d(F，C)在簇集邊界變化前后的值，如果以 (5)式計算ed(F，C)，其復雜度為0(M+N)，顯然時間開銷巨大。其中，M和N為當前簇集邊 界相鄰的兩個簇集的三角片個數(shù)，這兩個簇集對于誤差度量的貢獻由于特征法向量的變化 而會發(fā)生變化，需要重新計算。為此， 分析(5)式，得到:W)= X 注意到VU",ll=l，則 對于每一個簇集&，只需記錄一個向量“ 谷和一個標量& 谷Pj，便可以
在迭代更新簇集邊界時，以0(1)復雜度計算出誤差能量￡d(F，C)。根據(jù)(7)式，我們提出一種迭代更新各個簇集(；邊界的貪心算法。假設網(wǎng)格邊 e G E, e的兩側(cè)三角形為Tm，tn，如果Tm，Tn屬于不同的簇集，那么稱e是一條簇集邊界，所 有簇集邊界的集合為Ec，顯然盡e E。每一步迭代中，考慮每一條簇集邊e e Ee變更以減小e (F，C)的可能性假設e
的兩側(cè)三角形為Tm，Tn，所屬于的簇集分別為Ck，Clt)如圖3可以考慮三種變更情況，可以得 到三個不同的誤差度量a)原始情況ed(F，Cinit)簇集邊界兩邊的三角形Tm、Tn仍然屬于各自的簇集Ck、 Q，即 Tm G Ck，Tn G C”b) e d(F，C1)簇集邊界一邊的三角形Tffl并入另一邊簇集Ck，即Tffl G Ck，Tn G Ck ； (10)c) e d(F，C2)簇集邊界一邊的三角形Tn并入另一邊簇集Cx,即Tffl G Cx, Tn G Cx ；取得到最小誤差度量的情況作為最后的變更結(jié)果，然后更新簇集邊集合Ee。對 于簇集邊進行迭代更新，可以迭代地減小誤差度量￡，直至所有簇集邊的變更判斷結(jié)果為 Cin"停止。由于每一步變更都縮小誤差度量￡d，所以該算法的收斂性能夠得到保證。為了 保證簇集的連通性，在實際迭代計算中，如果簇集邊的變更使得破壞簇集的連通性，則禁止 此步變更。在實際的計算中，對每一個簇集C”只需記錄％ 巧 即可。事實上，當考慮e G Ec的變更可能性時，只有其相關的簇集(；，&的所貢獻的誤差 度量部分可能發(fā)生變化。由(7)式， 在⑶中的三種簇集邊e變更情況中，。為常量，所以，只需考慮 分別計算Cin"，C1，C2所對應的Linit，L2的值，取L最大的變更情況(即對應誤 差度量最小)作為最后的變更結(jié)果。L越大對應(7)式中所對應的誤差度量￡d(F，C)越 小，觀察(10)式，L為各簇集三角片的以面積為權(quán)的法向量和的模，由向量和的性質(zhì)一簇 相同模長的向量，方向越是相同其向量和越大；所以也可以由此得到優(yōu)化⑵式即(10)式 的幾何意義將具有相近法向量的三角片歸于同一個簇集，從而同一簇集的三角片近似屬 于某一特征平面，這也正是分簇目的所在。得到初始的分簇劃分后，可以實現(xiàn)本節(jié)的局部貪心算法在每一步迭代中，遍歷所 有的簇集邊界e e Ee，如果e相鄰的兩三角片之一還未歸于任何簇集，那么將其歸于另一三 角片所屬于的簇集；如果兩三角片歸于不同的簇集，那么執(zhí)行上一節(jié)中提出的變更判斷，更 新簇集邊界Ee，直到所有簇集邊的變更判斷結(jié)果為Cin”停止。2. 3多邊形化和三角化在得到最終的優(yōu)化簇集劃分后，將三個簇集以上的交點視為多邊形網(wǎng)格頂點，便 可以得到一個多邊形網(wǎng)格模型，注意此處多邊形不一定是平面多邊形。我們還可以將多邊 形網(wǎng)格分片為三角形網(wǎng)格，可以使用(0&11-5切111吐等[15]提出的多邊形邊校正方法優(yōu)化和 三角化該多邊形網(wǎng)格，或是以經(jīng)典的多邊形三角化方法將簡化的多邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為簡化的 三角形網(wǎng)格。
權(quán)利要求
一種三維三角形網(wǎng)格模型簡化算法，其特征在于包括如下步驟1)給定一個需要簡化的三維三角型網(wǎng)格模型和目標簡化模型多邊形邊數(shù)NC，將模型表面三角形劃分為NC簇集；2)根據(jù)定義的平面逼近誤差度量ε，迭代更新各簇集的邊界和各簇集所包含的三角形，以減少各簇集與最終的簡化多邊形的誤差度量，最終得到優(yōu)化的簇集劃分；3)在得到最終的優(yōu)化簇集劃分后，將三個簇集以上的交點視為多邊形網(wǎng)格頂點，得到簡化后的多邊形網(wǎng)格模型。
2.如權(quán)利要求1所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于步驟1)中，模 型簇集的初始劃分是基于模型曲率估計建立的，其曲率估計公式為 其中θ .為頂點ν周圍的頂角，Av為頂點ν的Voronoi區(qū)域的面積。
3.如權(quán)利要求1所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于所述N。個簇集 是按照如下步驟建立1)選取一個三角形作為種子建立一個分片簇集，歸并與簇集相鄰的三角片，直至該簇 集的高斯曲率總值達到目標設定值時，停止并入三角片，該簇集建立完成；2)循環(huán)上述建立簇集的方法直到建立N。個簇集。
4.如權(quán)利要求3所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于定義三角形法向與簇集法向的誤差Σ ΡτηΤ]，當簇集停止并入三角片后，繼續(xù)將 頂?shù)娜瞧⑷氘斍按丶?，dTh為預先定義的值。 Vi^· )
5.如權(quán)利要求1所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于采用如下步驟來 迭代更新各簇集的邊界和各簇集所包含的三角形1)定義每一個簇集的特征法向\，”C離散表示為 其中Tj為屬于簇集Ci的所有三角 片，Ilj為該三角片的單位法向量，P j為該三角片的面積；2)定義平面逼近誤差度量，誤差度量表示為 以表示各個簇集中的各個三角片的法向與其所在簇集的特征平面法向的誤差；3)離散誤差度量ε(F，C)，ε (F，C)離散表示為 ，簡化離散形式得到
6.如權(quán)利要求1或5所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于對基于迭 代更新各個簇集邊界和各簇集所包含的三角形采用貪心算法來優(yōu)化，所述貪心算法優(yōu)化步 驟如下每一步迭代中，如果簇集邊界e相鄰的兩三角片之一還未歸于任何簇集，那么將其 歸于另一三角片所屬于的簇集；如果兩三角片歸于不同的簇集，那么執(zhí)行簇集邊界變更判 斷，更新簇集邊界E。，直到所有簇集邊界的變更判斷結(jié)果為Cin”停止，Cin”表示當前情況并 沒有發(fā)生簇集邊界變更。
7.如權(quán)利要求6所述的三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，其特征在于所述變更判斷 步驟如下1)考慮在簇集邊界處的如下三種變更情況，得到三個不同的誤差度量a)原始情況簇集邊界兩邊的三角形仍然屬于各自的簇集；b)簇集邊界一邊的三角形并入另一邊簇集；c)簇集邊界一邊的三角形并入另一邊簇集；2)取得到最小誤差度量的情況作為最后的變更結(jié)果，然后更新簇集邊集合E。。
全文摘要
本發(fā)明公開了一種三維三角形網(wǎng)格模型的簡化算法，它包括如下步驟1)給定一個需要簡化的三維三角型網(wǎng)格模型和目標簡化模型多邊形邊數(shù)NC，將模型表面三角形劃分為NC簇集；2)根據(jù)定義的平面逼近誤差度量，迭代更新各簇集的邊界和各簇集所包含的三角形，以減少各簇集與最終的簡化多邊形的誤差度量；3)在得到最終的優(yōu)化簇集劃分后，將三個簇集以上的交點視為多邊形網(wǎng)格頂點，得到簡化后的多邊形網(wǎng)格模型。本發(fā)明的算法直觀有效，簡化后的網(wǎng)格模型能夠有效保持原始網(wǎng)格的細節(jié)，且該算法由于不涉及網(wǎng)格拓撲的修改，使得算法簡潔并且有著較好的穩(wěn)定性，可以有效應用于幾何造型系統(tǒng)中。
文檔編號G06T17/20GK101877147SQ201010215500
公開日2010年11月3日 申請日期2010年6月29日 優(yōu)先權(quán)日2010年6月29日
發(fā)明者吳慶標, 金勇 申請人:浙江大學