一種應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法
【專利摘要】一種應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法，需要沃什哈達(dá)瑪變換與新梅森數(shù)變換結(jié)合而成，對于長度為N的沃什-新梅森數(shù)變換，輸入數(shù)據(jù)的長度為N，對輸入數(shù)據(jù)x進(jìn)行重排得到xr，新梅森數(shù)變換矩陣通過同樣的方法進(jìn)行重排得到新的新梅森數(shù)變換矩陣，最后把同樣是N階的沃什-哈達(dá)瑪矩陣與重排后的新梅森數(shù)矩陣結(jié)合在一起，形成階數(shù)為N的T變換矩陣。WHNMNT的正變換首先經(jīng)過T矩陣,再經(jīng)過沃什-哈達(dá)瑪矩陣便能得到輸出數(shù)據(jù)，逆變換步驟與正變換相同。本發(fā)明提供一種有效降低計(jì)算復(fù)雜度、提升快速性的應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法。
【專利說明】一種應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及數(shù)字濾波【技術(shù)領(lǐng)域】，尤其是一種新梅森數(shù)快速變換方法，該方法很好的降低新梅森數(shù)變換的計(jì)算復(fù)雜度。
【背景技術(shù)】
[0002]在數(shù)字信號(hào)處理中，數(shù)字濾波（卷積）是重要的【技術(shù)領(lǐng)域】，其運(yùn)算量通常在信號(hào)處理算法中占較大比重，因此快速數(shù)字濾波對于很多信號(hào)處理算法的實(shí)際實(shí)現(xiàn)具有重要作用。前人關(guān)于快速數(shù)字濾波的研究一般是基于快速數(shù)學(xué)變換的，比如快速傅立葉變換(FFT, fast Fourier transform)。綜上,在數(shù)字濾波領(lǐng)域,快速變換的研究具有重要意義，其中快速數(shù)論變換在運(yùn)算中不受量化截?cái)嗟挠绊?，受到了較多關(guān)注。
[0003]孫子定理是數(shù)論中最重要的定理，也是數(shù)論變換的基礎(chǔ)，它又稱為中國剩余定理(CRT, Chinese remainder theorem)。中國南北朝的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中已出現(xiàn)有關(guān)孫子定理的命題。宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶于《數(shù)書九章》對該命題做出了完整的解答。1972年，Rader根據(jù)數(shù)論知識(shí)提出用梅森數(shù)變換（MNT, Mersense number transform)用于計(jì)算卷積，此后數(shù)論變換開始被國外學(xué)者關(guān)注。而Reed于1975年對數(shù)論變換的變換域進(jìn)行了擴(kuò)展，使數(shù)論變換能在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行，這類變換稱為復(fù)數(shù)數(shù)論變換（CNT, complex numbertransform)。
[0004]在詳述本發(fā)明的快速數(shù)論變換之前，我們以模數(shù)對數(shù)論變換進(jìn)行分類，大致可以分為以下幾種類型：梅森數(shù)變換、費(fèi)馬數(shù)變換（FNT, Fermat number transform)、偽費(fèi)馬數(shù)變換、偽梅森數(shù)變換、廣 義數(shù)論變換與新梅森數(shù)變換（NMNT，new Mersense numbertransform)。上述以模數(shù)劃 分的每一類數(shù)論變換都存在自身對應(yīng)的快速變換方法。
[0005]新梅森數(shù)變換是1995年S. Boussakta與A. G. J. Holt提出的一種最新的快速數(shù)論變換，該變換依托梅森數(shù)的成果，使得梅森數(shù)也能作為變換長度為2的冪次方的數(shù)論變換模數(shù)。新梅森數(shù)變換的提出很好的把針對費(fèi)馬數(shù)變換的快速算法與梅森變換結(jié)合到一起。它同樣能應(yīng)用于數(shù)字濾波、卷積和相關(guān)等信號(hào)處理運(yùn)算中?，F(xiàn)有的新梅森數(shù)變換快速算法有基2蝶形結(jié)構(gòu)快速算法、基4蝶形結(jié)構(gòu)快速算法等2的冪次蝶形算法結(jié)構(gòu)。通過對新梅森數(shù)變換的變換矩陣進(jìn)行類似FFT形式的蝶形化處理，可以使運(yùn)算量下降。但該方法仍舊需要一定量的乘法器去實(shí)現(xiàn)，還存在進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度的可能。

【發(fā)明內(nèi)容】
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[0006]為了降低數(shù)字濾波中現(xiàn)有新梅森數(shù)變換的計(jì)算復(fù)雜度，本發(fā)明提供一種有效降低計(jì)算復(fù)雜度、提升快速性的應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法，變換長度N為2的冪次方。在輸入序列的變換長度小于等于64時(shí)，本方法的計(jì)算復(fù)雜度低于已有的新梅森數(shù)變換方法。
[0007]為了解決上述技術(shù)問題采用的技術(shù)方案為：
[0008]一種應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法，對于長度為N的沃什-新梅森數(shù)變換(WHNMNT, Walsh-Hadamard New Mersense number transform),輸入數(shù)據(jù)序列的長度為N，對輸入數(shù)據(jù)X進(jìn)行重排得到重排方式是把序列中每個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)間序號(hào)進(jìn)行二進(jìn)制化表示并逐位取反，而后用該取反值作為相應(yīng)數(shù)據(jù)在新序列中的位置(時(shí)間序號(hào))。例如，假設(shè)某個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)間序號(hào)是I (OOl2)，那么重排后它在新序列中的位置應(yīng)該是4(1002)，這里下標(biāo)2表示數(shù)的二進(jìn)制表示；
[0009]如果新梅森變換矩陣用NMNT(N)表示，則本發(fā)明的快速變換方法需要對新梅森數(shù)變換矩陣進(jìn)行與前述重排方法相同的列重排。不失一般性，稱重排后的變換矩陣為NMNTr(N)。由于沃什哈達(dá)瑪矩陣具有正交性，除了 1/Ν這個(gè)因子外，沃什哈達(dá)瑪正變換和逆變換相同，有如下公式成立:
[0010]{x} = (I/N)WH(N)WH(N) {x} ; (I)
[0011]式中WH (N)是沃什哈達(dá)瑪變換矩陣。{x}表示變換的自變量是序列X。
[0012]對于輸入信號(hào){x}需要進(jìn)行重排得到IxJ，通過下標(biāo)r表示數(shù)據(jù)重排，重排方式與數(shù)論變換矩陣的列重排一樣，正變換后得到的序列X重排為則得到WHNMNT核心公式:
[0013]Xr = NMNTr(N) {xr} = (I/N) WH (N) WH (N) NMNTr [N] {xr} (2)
[0014]于是
[0015]Xr = WH(N)T(N) {xr} (3)
[0016]其中
[0017]
【權(quán)利要求】
1.一種應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)變換快速方法，其特征在于:對于長度為N的沃什-新梅森數(shù)變換WHNMNT，輸入數(shù)據(jù)的長度為N，對輸入數(shù)據(jù)X進(jìn)行重排得到重排方式是把序列中每個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)間序號(hào)進(jìn)行二進(jìn)制化表示并逐位取反，而后用該取反值作為相應(yīng)數(shù)據(jù)在新序列中的位置，N等于2的冪次方； 新梅森變換矩陣用NMNT(N)表示，同樣對新梅森數(shù)變換矩陣進(jìn)行與上述方法同樣的列重排，則重排后的變換矩陣為NMNTr (N);由于沃什哈達(dá)瑪矩陣具有正交性，除了 1/N這個(gè)因子外，沃什哈達(dá)瑪正變換和逆變換相同，有如下公式成立{x} = (I/N)WH(N)WH(N) {x} (I) 對于輸入信號(hào){x}需要進(jìn)行重排得到IxJ，通過下標(biāo)r表示數(shù)據(jù)重排，重排方式與數(shù)論矩陣的列重排一樣，正變換后得到的矩陣X重排為則得到WHNMNT核心公式:
2.如權(quán)利要求1所述的應(yīng)用于數(shù)字濾波的沃什-新梅森數(shù)快速變換方法，其特征在于:所述T矩陣存在如下單元子矩陣結(jié)構(gòu): τ _ a bl d b ej 該矩陣運(yùn)算可通過如下公式進(jìn)行變換:
W1 = x1a+x2b = X1 (a+b) +b (X2-X1)
W2 = χ28+χ々=X2 (a+b) +b (X1-X2) 其中，X1與X2表示T變換前的兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)，W1與W2表示經(jīng)過T變換矩陣之后的輸出數(shù)據(jù),公式中的a+b通過事先計(jì)算完成，這樣在變換過程中不需要為此做加法運(yùn)算。
【文檔編號(hào)】G06F17/14GK103488612SQ201310423419
【公開日】2014年1月1日 申請日期:2013年9月17日 優(yōu)先權(quán)日:2013年9月17日
【發(fā)明者】華驚宇, 高正, 盧為黨, 李楓, 孟利民 申請人:浙江工業(yè)大學(xué)