一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法，基于一個生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Kronecker和運算及Kronecker積運算構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其主要步驟包括確定生成網(wǎng)絡(luò)、計算生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣、計算生成網(wǎng)絡(luò)度分布多項式、計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣、計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布多項式等。采用本發(fā)明得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同于經(jīng)典的隨機網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)及自相似網(wǎng)絡(luò)等其他網(wǎng)絡(luò)。而且，采用度分布多項式表述方法，對Kronecker和運算采用通常多項式乘法的次數(shù)相乘及系數(shù)相加的運算，并對Kronecker積運算采用類似多項式乘法的次數(shù)相乘及系數(shù)相乘的運算可以從理論上嚴(yán)格計算出此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布。特別的，基于一個生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Kronecker積運算可以得到自相似網(wǎng)絡(luò)。
【專利說明】一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法

【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于電數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)處理領(lǐng)域，特別適用于特定功能的數(shù)據(jù)處理方法，具體涉 及一種基于一個簡單生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Kronecker和運算及Kronecker積運算的復(fù)雜網(wǎng) 絡(luò)構(gòu)建方法。

【背景技術(shù)】
[0002] 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的深入促進了網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的興起，自然科學(xué)和社會科學(xué)等許多領(lǐng)域的 研究對象均可抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行研究。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建在社會網(wǎng)絡(luò)、計算機網(wǎng)絡(luò)、虛 擬社會網(wǎng)絡(luò)等其它領(lǐng)域的分析研究中占據(jù)極為重要的地位。上世紀(jì)中葉，ER隨機網(wǎng)絡(luò)模型 的提出開創(chuàng)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)性研究，并引領(lǐng)了后續(xù)近半個世紀(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究；上世紀(jì) 末，WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型及BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的相繼提出開辟了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的新紀(jì)元。近 年來，自相似特性被視為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的第三個特性而受到了人們越來越大的關(guān)注，相關(guān)學(xué)者 提出了 LL自相似網(wǎng)絡(luò)模型。小世界特性及無標(biāo)度特性均是通過統(tǒng)計方法得出的，而自相似 特性則是通過構(gòu)造方法得出的。現(xiàn)階段復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建主要有如下幾種方法：
[0003] (1)基于圖論的方法
[0004] 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)軔于圖論，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究繼承了圖論的研究策略。參考 文獻[1] "On the evolution of random graphs"（Erdos P，Renyi A. PubI. Math. Inst. Hung. Acad. Sci.，[M]. 1960,5:17 - 60)采用完全隨機的方式處理節(jié)點之間的連 接，提出了 ER隨機網(wǎng)絡(luò)模型-ER (Vertices, Probability)，構(gòu)造出節(jié)點的度分布 服從正態(tài)分布的隨機網(wǎng)絡(luò)（Random Network)。參考文獻[2] "Collective dynamics of'small-world'networks^ (Watts D J1Strogatz S H. Nature[J]. 1998, 393:440 - 442) 采用隨機重連處理節(jié)點之間的連接，參考文獻[3] "Renormalization group analysis of the small-world network model，'（Newman M EJ, Watts D J. Phys Lett A [J]. 1999, 293:341-346)采用隨機加邊處理節(jié)點之間的連接，分別提出 了 WS 網(wǎng)絡(luò)模型-WS (Vertices, Neighbors, Reprobability)和 NW 網(wǎng)絡(luò)模型- NW(Vertices, Neighbors, AddLink)，闡述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特征，構(gòu)造出節(jié)點的度分布 服從指數(shù)分布的小世界網(wǎng)絡(luò)（'Small-world'Network)。NW小世界模型本質(zhì)上等同于WS 小世界模型。參考文獻[4] "Emergence of Scaling in Random Networks"（Barabasi A L，Albert R. Science [J]. 1999,286:509-512)采用增長及擇優(yōu)處理節(jié)點之間的連接，提 出了 BA 網(wǎng)絡(luò)模型--BA(InitVertices, InitProbability, AddVertices, AddLink),闡述 了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度性質(zhì)，構(gòu)造出節(jié)點的度分布服從冪律分布的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（Scale-free Network)。小世界特性與無標(biāo)度特性被譽為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的兩大特性，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的許多研究 均是基于WS模型或BA模型的，采用這兩種方法構(gòu)建的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在統(tǒng)計意義上具有小世界 或無標(biāo)度特性。
[0005] (2)基于生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的方法
[0006] 參考文獻[5] "一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方法"（李天瑞，劉勝久，珠杰，王紅軍
[P]，CN201410092765. 2.西南交通大學(xué)? 2014-3-13)基于一個生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的 Kronecker乘積迭代的生成一系列復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)造出同時具有自相似及小世界特性的自相 似網(wǎng)絡(luò)模型-LL(InitVertices, InitProbability, IterNum)。其自相似特性源于通過生 成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Kronecker乘積迭代產(chǎn)生的分形矩陣形式的鄰接矩陣，而其小世界特性 源于其直徑不超過生成網(wǎng)絡(luò)直徑的兩倍。采用此方法構(gòu)建的自相似網(wǎng)絡(luò)度分布可以從理論 上嚴(yán)格計算得到。
[0007] (3)基于超圖或超網(wǎng)絡(luò)的方法
[0008] 普通圖一條邊只能連接兩個節(jié)點，超圖中的"邊"可包含多個節(jié)點。參考文獻
[6] "一種超網(wǎng)絡(luò)演化模型構(gòu)建及特性分析"（胡楓，趙海興，馬秀娟.中國科學(xué)：物理學(xué) 力學(xué)天文學(xué)[J]，2013, 43:16-22)構(gòu)建了一種超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化模型，從理論上分析了超度 分布的特性，并進行了仿真實驗，發(fā)現(xiàn)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，模型出現(xiàn)與已有的增長和優(yōu)先 連接復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一致的結(jié)果，即復(fù)雜超網(wǎng)絡(luò)的幾種度分布顯示出無標(biāo)度特性。采用此方法構(gòu) 建的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實際上是另一種形式的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。
[0009] (4)其他方法
[0010] 除傳統(tǒng)的圖論、超圖及超網(wǎng)絡(luò)方法外，其他方法也用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。參考文獻
[7] "基于Sierpinski分形墊的確定性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型研究"（邢長明，劉方愛.物理 學(xué)報[J]. 2010, 59 (3) : 1608-1614)基于Sierpinski分形墊，通過迭代的方式構(gòu)造了小世界 網(wǎng)絡(luò)模型S-DSWN和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型S-DSFN兩個確定性增長的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型及一個確定性 的統(tǒng)一模型S-DUM。參考文獻[8] "多種類型的網(wǎng)絡(luò)金字塔的研究進展"（方錦清，李永，劉 強.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué).2013. 10(2) :69-76)總結(jié)綜述了網(wǎng)絡(luò)模型復(fù)雜性金字塔、高科 技網(wǎng)絡(luò)金字塔及廣義Farey樹組織的金字塔3種類型的網(wǎng)絡(luò)金字塔，并分析了這些金字塔 的特點和性質(zhì)。
[0011] 總體上講，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性的研究仍是現(xiàn)今復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一大熱點，不可否認(rèn) 的是，盡管對隨機網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)及自相似網(wǎng)絡(luò)等均有較為成熟的理論與方 法，大部分研究也與真實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相符，但仍無法全面反映現(xiàn)實生活中真實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各 種特點，需要進一步深入研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各項特性。從一個簡單生成網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣出發(fā)， 采用Kronecker積運算及Kronecker和運算研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)引起足夠的重視。其中，網(wǎng)絡(luò) 模型的構(gòu)建是重中之重。


【發(fā)明內(nèi)容】

[0012] 為了克服現(xiàn)有技術(shù)的上述缺點，本發(fā)明公開了一種基于一個簡單生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩 陣的Kronecker和運算及Kronecker積運算的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法，其主要步驟包括確定生 成網(wǎng)絡(luò)、計算生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣、計算生成網(wǎng)絡(luò)度分布多項式、計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣、 計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布多項式等。采用本發(fā)明得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同于經(jīng)典的隨機網(wǎng)絡(luò)、小 世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)及自相似網(wǎng)絡(luò)等其他網(wǎng)絡(luò)。而且，采用度分布多項式表述方法，對 Kronecker和運算采用通常多項式乘法的次數(shù)相乘及系數(shù)相加的運算，并對Kronecker積 運算采用類似多項式乘法的次數(shù)相乘及系數(shù)相乘的運算可以從理論上嚴(yán)格計算出此類復(fù) 雜網(wǎng)絡(luò)的度分布。特別的，基于一個生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Kronecker積運算可以得到自相 似網(wǎng)絡(luò)。
[0013] 本發(fā)明解決其技術(shù)問題所采用的技術(shù)方案是：一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 方法，包括如下步驟：
[0014] (1)確定生成網(wǎng)絡(luò)G ;
[0015] ⑵計算生成網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣A(G):
[0016] 對于具有n個節(jié)點的生成網(wǎng)絡(luò)G，其鄰接矩陣A(G)是nXn的方陣，其中對于方 陣中的每一個數(shù)據(jù)，若節(jié)點i與節(jié)點j相鄰，則有A(G) (i，j) = 1，否則，A(G) (i，j) = 0 ; 若生成網(wǎng)絡(luò)G的鏈路數(shù)為m，則鄰接矩陣A(G)中1的個數(shù)也為m，且生成網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)密度 r、 2m DensLtv -： /7(/7 - I)
[0017] (3)根據(jù)生成網(wǎng)絡(luò)G的度分布確定生成網(wǎng)絡(luò)G的度分布多項式Poly (G):
[0018]

【權(quán)利要求】
1. 一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法，確定生成網(wǎng)絡(luò)、計算生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣、計 算生成網(wǎng)絡(luò)度分布多項式、計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣、計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布多項式處理 步驟構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，包括如下步驟： (1) 確定生成網(wǎng)絡(luò)G ; (2) 計算生成網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣A(G): 對于具有η個節(jié)點的生成網(wǎng)絡(luò)G，其鄰接矩陣A(G)是nXn的方陣，其中對于方陣中 的每一個數(shù)據(jù)，若節(jié)點i與節(jié)點j相鄰，則有A(G)(i，j) = 1，否則，A(G)(i，j) =0;若 生成網(wǎng)絡(luò)G的鏈路數(shù)為m，則鄰接矩陣A(G)中1的個數(shù)也為m，且生成網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)密度
(3) 根據(jù)生成網(wǎng)絡(luò)G的度分布確定生成網(wǎng)絡(luò)G的度分布多項式Poly (G):
式中，η為節(jié)點數(shù)目，Di表示第i個節(jié)點的度，％表示度為j的節(jié)點的數(shù)目； (4) 按如下方法計算所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣A(1)(G(1))，其中，1代表進行Kronecker 和運算或Kronecker積運算的次數(shù)，A(1) (Gcn)代表對A(G)進行1次Kronecker和運算和/ 或Kronecker積運算后得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣： 若矩陣Aw(Gw)與A(G)采用Kronecker和運算進行運算，則有： A^XG^^A^iG^AiG) (2) 若矩陣Aw(Gw)與A(G)采用Kronecker積運算進行運算，則有： AU+1)(GU+1))=AU)(GU))€>A(G) (3) 其中，矩陣A(Bij)mxm及矩陣B(IDij)nxn的Kronecker和Ax w十石狀"定義如下： hxm? BnXn- AmXm0lnXn+Imxm<S> Bnxn (4) 其中，Ιηχη表示nXn單位矩陣，?表示Kronecker和運算，?表示Kronecker積運算， 可以看出Kronecker和運算需要用到Kronecker積運算； 對任意矩陣Ppxp與矩陣Qqxq而言，其Kronecker積義如下 ：
為方便書寫，采用此方法對生成網(wǎng)絡(luò)G對應(yīng)的鄰接矩陣進行k次Kronecker積運算或 Kronecker和運算而得到的鄰接矩陣對應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)G(k)可以記為如下形式： G(k) =Θ ⑴ Θ ⑵ Θ ⑶…Θ (η) Θ (k)G (6) 其中，Θ表示十或? ; 特別的，在特殊情況下，若只采用一種運算，則有： 基于一個生成網(wǎng)絡(luò)G的k次Kronecker積運算而得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以記為： G(k) = 0kG (7) 基于一個生成網(wǎng)絡(luò)G的k次Kronecker和運算而得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以記為： G(k) = ?' G (8) (5) 按照如下方法計算所構(gòu)建的新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布PolyDD(G(1))，其中，1代表 Kronecker積運算或Kronecker和運算的次數(shù)，PolyDD(G(1))代表對生成網(wǎng)絡(luò)進行1次 Kronecker積運算和/或Kronecker和運算后得到的新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度分布多項式： 若矩陣Aw(Gw)與A(G)采用Kronecker和運算進行運算，則有：
若矩陣Aw(Gw)與A(G)采用Kronecker積運算進行運算，則有：
(6) 重復(fù)步驟（4)及步驟（5)，得到指定節(jié)點數(shù)目、指定鏈路數(shù)目或指定生成網(wǎng)絡(luò)數(shù)目 的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)時，終止操作。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法，其特征在于：確定 生成網(wǎng)絡(luò)G時，選擇節(jié)點數(shù)目η小于等于10且節(jié)點間連接較少的簡單網(wǎng)絡(luò)作為生成網(wǎng)絡(luò)。
3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于鄰接矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法，其特征在于：對生 成網(wǎng)絡(luò)G順次進行k次Kronecker積運算或Kronecker和運算而得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)G (k)，其節(jié)
網(wǎng)絡(luò)密度為
在只采用一種 運算的特殊情況下可通過如下計算較為簡便的得到： 在采用Kronecker積運算的情況下， 得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鏈路數(shù)為m(l) = 2m1，網(wǎng)絡(luò)密度為
在采用Kronecker和運算的情況下，
得到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鏈路數(shù)為m(l) = Imn1^1,網(wǎng)絡(luò)密度為 其中 n(G(i))表示生成網(wǎng)絡(luò)G(i)的節(jié)點數(shù)，m(G(i))表示生成網(wǎng)絡(luò)G (i)的鏈路數(shù)。
【文檔編號】G06F17/50GK104376156SQ201410606280
【公開日】2015年2月25日 申請日期:2014年10月31日 優(yōu)先權(quán)日:2014年10月31日
【發(fā)明者】李天瑞, 劉勝久, 珠杰, 王紅軍 申請人:西南交通大學(xué)