本發(fā)明涉及彈性力學(xué)領(lǐng)域，具體涉及一種石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法。

背景技術(shù)：

在實際工程問題中，只有極少數(shù)力學(xué)問題能夠給出解析解，大多數(shù)問題需要通過數(shù)值方法來求解，含附加質(zhì)量的石墨烯傳感器振動特性的求解亦如此。在眾多數(shù)值方法中，有限元法最常見，也是最實用的一種方法。有限元法最大的優(yōu)點是不受求解區(qū)域、邊界條件以及材料屬性的限制，可以分析具有復(fù)雜幾何形狀的彈性力學(xué)問題。但是，石墨烯納米質(zhì)量傳感器幾何尺寸一般在納米量級，要考慮尺度效應(yīng)，因此需要引入微分型非局部本構(gòu)模型，況且石墨烯納米質(zhì)量傳感器還需要考慮附加集中質(zhì)量的慣性力，這使有限元方法的求解效率以及求解精度大大降低。

條形傳遞函數(shù)方法是一種求解二維彈性力學(xué)問題的半解析數(shù)值方法。這種方法的思想類似于有限條法，也是將求解區(qū)域分為若干個條形區(qū)域，稱為條形單元，在條形單元內(nèi)利用多項式和連續(xù)函數(shù)近似橫向和縱向位移，從而得到基于條形單元的整體微分方程，最后利用傳遞函數(shù)方法求解微分方程，得到半解析解。該方法的一個顯著優(yōu)點是，其既具有有限元方法的靈活性，可以分析復(fù)雜形狀的幾何區(qū)域，同時又能給出封閉形式的高精度半解析解，而且在求解含附加質(zhì)量問題時候無需在控制方程中考慮附加質(zhì)量項，從而給求解帶來極大的便利性。然而，傳統(tǒng)的條形傳遞函數(shù)方法基于hamilton原理，需要先給出待求問題對應(yīng)的能量泛函。而問題是，并非所有問題都可以很容易地給出其相應(yīng)的能量泛函，如考慮尺度效應(yīng)的微分型非局部本構(gòu)模型的薄板彎曲問題，這使得條形傳遞函數(shù)方法的應(yīng)用受到了限制。然而，galerkin方法不需要先寫出待研究問題的能量泛函，可以直接對微分方程進(jìn)行近似求解。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明要解決的技術(shù)問題：針對現(xiàn)有技術(shù)的上述問題，提供一種能夠處理復(fù)雜幾何形狀問題、解的形式統(tǒng)一、易于利用計算機編程，可用于相對較復(fù)雜的幾何區(qū)域以及邊界條件問題的求解，求解精度高、計算過程數(shù)據(jù)存儲量少、計算效率高的石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法。

為了解決上述技術(shù)問題，本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：

一種石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法，步驟包括：

1)將包含附加質(zhì)量的矩形結(jié)構(gòu)的石墨烯納米質(zhì)量傳感器在x方向上沿附加質(zhì)量的質(zhì)心劃分為兩個子區(qū)域ω1和ω2得到對應(yīng)的兩個子結(jié)構(gòu)，建立各個子結(jié)構(gòu)的控制方程；

2)將每一個子結(jié)構(gòu)采用ne+1條結(jié)線劃分為ne個矩形區(qū)域，每一個矩形區(qū)域為一個條形單元，第j個條形單元包含第j條結(jié)線和第j+1條結(jié)線以及4個結(jié)點；

3)根據(jù)每一個子結(jié)構(gòu)的控制方程推導(dǎo)出該子結(jié)構(gòu)中各個條形單元的運動微分方程；

4)針對各個子結(jié)構(gòu)，將所有條形單元的運動微分方程進(jìn)行組裝總體運動微分方程，并針對所述總體運動微分方程處理邊界條件；

5)對處理邊界條件后的總體運動微分方程計算傳遞矩陣和邊界矩陣，根據(jù)傳遞矩陣和邊界矩陣求解處理邊界條件后總體運動微分方程，得到石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω并作為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的振動特性分析結(jié)果輸出。

優(yōu)選地，所述步驟1)中建立的各個子結(jié)構(gòu)的控制方程如式(1)所示；

式(1)中，ω1表示子區(qū)域ω1對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)，ω2表示子區(qū)域ω2對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)，mxx1為子區(qū)域ω1在x方向的彎矩，mxy1為子區(qū)域ω1的扭矩，myy1為子區(qū)域ω1在y方向的彎矩，mxx2為子區(qū)域ω2在x方向的彎矩，mxy2為子區(qū)域ω2的扭矩，myy2為子區(qū)域ω2在y方向的彎矩，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度，w1為子區(qū)域ω1對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移，w2為子區(qū)域ω2對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移，t為時間，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)。

優(yōu)選地，所述步驟1)中將每一個子結(jié)構(gòu)采用ne+1條結(jié)線劃分為ne個矩形區(qū)域后，每一個條形單元結(jié)線位移函數(shù)向量如式(2)所示、內(nèi)部的橫向位移函數(shù)如式(3)所示；

φ(x,t)＝{wjθjwj+1θj+1}^t(2)

式(2)中，φ(x,t)為第j個條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量，wj為第j條結(jié)線的橫向位移，θj為第j條結(jié)線的轉(zhuǎn)角，wj+1為第j+1條結(jié)線的橫向位移，θj+1為第j+1條結(jié)線的轉(zhuǎn)角；

w(x,y,t)＝n(y)φ(x,t)(3)

式(3)中，w(x,y,t)為第j個條形單元內(nèi)部的橫向位移函數(shù)，n(y)為選定的形函數(shù)矩陣，φ(x,t)為第j個條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量。

優(yōu)選地，所述步驟3)推導(dǎo)出各個條形單元的運動微分方程如式(4)所示；

式(4)中，和為條形單元的剛度矩陣，和為條形單元的質(zhì)量矩陣，φi為條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量，t為時間，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，d為石墨烯納米質(zhì)量傳感器彎曲剛度，n為選定的形函數(shù)矩陣n(y)，t為矩陣轉(zhuǎn)置符號，ν為泊松比，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度，l為條形單元的寬度，μ為非局部參數(shù)。

優(yōu)選地，所述選定的形函數(shù)矩陣n(y)為標(biāo)準(zhǔn)euler梁單元的形函數(shù)。

優(yōu)選地，所述步驟4)的詳細(xì)步驟包括：

4.1)針對各個子結(jié)構(gòu)，采用有限元法將各個條形單元的剛度矩陣和分別組裝成總體剛度矩陣k⁽⁴⁾、k⁽²⁾和k⁽⁰⁾，將各個條形單元的質(zhì)量矩陣和分別組裝成總體質(zhì)量矩陣m⁽²⁾和m⁽⁰⁾；

4.2)確定各個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量如式(5)所示；

φi(x,t)＝{w1(x,t),θ1(x,t),w2(x,t),θ2(x,t),…,wne(x,t),θne(x,t)}^t,i＝1,2(5)

式(5)中，φi(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量，w1(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第1個條形單元的結(jié)線橫向位移，θ1(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第一個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角，w2(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第2個條形單元的結(jié)線橫向位移，θ2(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第2個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角，wne(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第ne個條形單元的結(jié)線橫向位移，θne(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第ne個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角；

4.3)根據(jù)各個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量組裝總體運動微分方程如式(6)所示；

式(6)中，φi為第i個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量，k⁽⁴⁾、k⁽²⁾和k⁽⁰⁾為總體剛度矩陣，m⁽²⁾和m⁽⁰⁾為總體質(zhì)量矩陣，t為時間，x為橫坐標(biāo)；

4.4)針對所述總體運動微分方程處理邊界條件，得到總體運動微分方程如式(7)所示；

式(7)中，為第i個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量，和為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，和為處理邊界條件后的總體質(zhì)量矩陣。

優(yōu)選地，所述步驟5)的詳細(xì)步驟包括：

5.1)將各個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體運動微分方程取時間的laplace變換，得到各個子結(jié)構(gòu)的laplace總體運動微分方程如式(8)所示；

式(8)中，為第i個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換，‘^’為laplace變換符號，s為laplace變換系數(shù)，和為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，d(s)、d2、a均為中間矩陣；

5.2)基于定義的狀態(tài)向量η(x,s)，將laplace總體運動微分方程轉(zhuǎn)換為式(9)所示：

式(9)中，η(x,s)為定義的狀態(tài)向量，且定義的狀態(tài)向量η(x,s)的函數(shù)表達(dá)式如式(10)所示，f(s)為傳遞矩陣，傳遞矩陣f(s)的函數(shù)表達(dá)式如式(11)所示；

式(10)中，η(x,s)為定義的狀態(tài)向量，η1(x,s)和η2(x,s)均為中間向量，為第1個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換，為第2個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換；

式(11)中，f(s)為傳遞矩陣，為中間矩陣，為4×n1階0元素方陣，n1為每個子結(jié)構(gòu)的總體自由度數(shù)，d(s)、d2為式(8)中所示的中間矩陣，i為單位矩陣；

5.3)建立兩個子結(jié)構(gòu)連接處的邊界條件如式(12)所示；

mb(s)η(-0.5a,s)+nb(s)η(0.5a,s)+rb(s)η(x0,s)＝0(12)

式(12)中，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，η為狀態(tài)向量，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，s為laplace變換系數(shù)，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)；其中邊界矩陣rb(s)如式(13)所示；

式(13)中，rb(s)為邊界矩陣，為4×n1階0元素方陣，n1為每個子結(jié)構(gòu)的總體自由度數(shù)，rb1和rb2均為中間矩陣，m0為附加質(zhì)量的大小，i為單位矩陣，為處理邊界條件后的總體剛度矩陣；

5.4)生成將式(9)所示轉(zhuǎn)換后的laplace總體運動微分方程、式(12)所示兩個子結(jié)構(gòu)連接處的邊界條件的解如式(14)所示，且所述解的特征方程如式(15)所示；

式(14)中，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，f(s)為傳遞矩陣，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，s為laplace變換系數(shù)；

式(15)中，det為求行列式符號，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，f(s)為傳遞矩陣，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，s為laplace變換系數(shù)；

5.5)針對式(15)所示解的特征方程，令laplace變換系數(shù)s為虛數(shù)單位i、石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω兩者之間的乘積，求解得到石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω并作為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的振動特性分析結(jié)果輸出。

本發(fā)明石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法具有下述優(yōu)點：

1、本發(fā)明將包含附加質(zhì)量的矩形結(jié)構(gòu)的石墨烯納米質(zhì)量傳感器在x方向上沿附加質(zhì)量的質(zhì)心劃分為兩個子區(qū)域得到對應(yīng)的兩個子結(jié)構(gòu)，建立各個子結(jié)構(gòu)的控制方程，因此無需在控制方程中考慮附加質(zhì)量項，從而使問題容易求解、提高求解效率，具有求解精度高、計算過程數(shù)據(jù)存儲量少、計算效率高的優(yōu)點。

2、相對于其他解析或半解析方法，本發(fā)明石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法適用于多種邊界條件，并且能夠處理復(fù)雜幾何形狀問題；

3、本發(fā)明石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法解的形式統(tǒng)一，易于利用計算機編程，并且可以用于相對較復(fù)雜的幾何區(qū)域以及邊界條件問題的求解。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實施例方法的基本流程示意圖。

圖2為本發(fā)明實施例中劃分子結(jié)構(gòu)的示意圖。

圖3為本發(fā)明實施例中將子結(jié)構(gòu)劃分為ne個矩形區(qū)域的示意圖。

圖4為本發(fā)明實施例中劃分得到的一個條形單元的結(jié)構(gòu)示意圖。

具體實施方式

如圖1所示，本實施例石墨烯納米質(zhì)量傳感器振動特性分析的半解析方法的步驟包括：

1)將包含附加質(zhì)量的矩形結(jié)構(gòu)的石墨烯納米質(zhì)量傳感器在x方向上沿附加質(zhì)量的質(zhì)心劃分為兩個子區(qū)域ω1和ω2得到對應(yīng)的兩個子結(jié)構(gòu)(參見圖2)，建立各個子結(jié)構(gòu)的控制方程；

2)將每一個子結(jié)構(gòu)采用ne+1條結(jié)線劃分為ne個矩形區(qū)域，每一個矩形區(qū)域為一個條形單元，第j個條形單元包含第j條結(jié)線和第j+1條結(jié)線以及4個結(jié)點，如圖3和圖4所示，第j個條形單元的寬度為l，oxy為條形單元局部坐標(biāo)系；

3)根據(jù)每一個子結(jié)構(gòu)的控制方程推導(dǎo)出該子結(jié)構(gòu)中各個條形單元的運動微分方程；

4)針對各個子結(jié)構(gòu)，將所有條形單元的運動微分方程進(jìn)行組裝總體運動微分方程，并針對總體運動微分方程處理邊界條件；

5)對處理邊界條件后的總體運動微分方程計算傳遞矩陣和邊界矩陣，根據(jù)傳遞矩陣和邊界矩陣求解處理邊界條件后總體運動微分方程，得到石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω并作為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的振動特性分析結(jié)果輸出。

本實施例中，步驟1)中建立的各個子結(jié)構(gòu)的控制方程如式(1)所示；

式(1)中，ω1表示子區(qū)域ω1對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)，ω2表示子區(qū)域ω2對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)，mxx1為子區(qū)域ω1在x方向的彎矩，mxy1為子區(qū)域ω1的扭矩，myy1為子區(qū)域ω1在y方向的彎矩，mxx2為子區(qū)域ω2在x方向的彎矩，mxy2為子區(qū)域ω2的扭矩，myy2為子區(qū)域ω2在y方向的彎矩，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度，w1為子區(qū)域ω1對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移，w2為子區(qū)域ω2對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移，t為時間，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)。

本實施例中，步驟1)中將每一個子結(jié)構(gòu)采用ne+1條結(jié)線劃分為ne個矩形區(qū)域后，每一個條形單元結(jié)線位移函數(shù)向量如式(2)所示、內(nèi)部的橫向位移函數(shù)如式(3)所示；

φ(x,t)＝{wjθjwj+1θj+1}^t(2)

式(2)中，φ(x,t)為第j個條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量，wj為第j條結(jié)線的橫向位移，θj為第j條結(jié)線的轉(zhuǎn)角，wj+1為第j+1條結(jié)線的橫向位移，θj+1為第j+1條結(jié)線的轉(zhuǎn)角；

w(x,y,t)＝n(y)φ(x,t)(3)

式(3)中，w(x,y,t)為第j個條形單元內(nèi)部的橫向位移函數(shù)，n(y)為選定的形函數(shù)矩陣，φ(x,t)為第j個條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量。本實施例中，選定的形函數(shù)矩陣n(y)為標(biāo)準(zhǔn)euler梁單元的形函數(shù)n＝[n1n2n3n4]。

本實施例中，步驟3)推導(dǎo)出各個條形單元的運動微分方程如式(4)所示；

式(4)中，和為條形單元的剛度矩陣，和為條形單元的質(zhì)量矩陣，φi為條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量，t為時間，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，d為石墨烯納米質(zhì)量傳感器彎曲剛度，n為選定的形函數(shù)矩陣n(y)，t為矩陣轉(zhuǎn)置符號，ν為泊松比，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度，l為條形單元的寬度，μ為非局部參數(shù)。

對于式(1)所示各個子結(jié)構(gòu)的控制方程，其彎矩和扭矩的具體形式如式(4-1)所示；

式(4-1)中，μ為非局部參數(shù)，d為彈性矩陣，為laplace算子，mxxi為第i個子區(qū)域ωi在x方向的彎矩，mxyi為第i個子區(qū)域ωi的扭矩，myyi為第i個子區(qū)域ωi在y方向的彎矩，wi為第i個子區(qū)域ωi對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移。

根據(jù)式(4-1)，可以得到式(1)所示各個子結(jié)構(gòu)的控制方程在y方向上的等效積分“弱”形式為式(4-2)所示；

式(4-2)中，l為條形單元的寬度，d為石墨烯納米質(zhì)量傳感器彎曲剛度，為權(quán)函數(shù)，wi為第i個子區(qū)域ωi對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的橫向位移，ν為泊松比，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度。

將式(3)所示內(nèi)部的橫向位移函數(shù)代入式(4-2)所示各個子結(jié)構(gòu)的控制方程在y方向上的等效積分“弱”形式，并令得，其中，n＝[n1n2n3n4]為形函數(shù)，取標(biāo)準(zhǔn)euler梁單元的形函數(shù)，即可得到式(4-3)所示函數(shù)表達(dá)式，即可得到各個條形單元的運動微分方程如式(4)所示；

式(4-3)中，l為條形單元的寬度，d為石墨烯納米質(zhì)量傳感器彎曲剛度，n為選定的形函數(shù)矩陣n(y)，φi為條形單元的結(jié)線位移函數(shù)向量，ν為泊松比，x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，ρ為石墨烯的密度，h為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的厚度。本實施例中，選定的形函數(shù)矩陣n(y)為標(biāo)準(zhǔn)euler梁單元的形函數(shù)。

本實施例中，步驟4)的詳細(xì)步驟包括：

4.1)針對各個子結(jié)構(gòu)，采用有限元法將各個條形單元的剛度矩陣和分別組裝成總體剛度矩陣k⁽⁴⁾、k⁽²⁾和k⁽⁰⁾，將各個條形單元的質(zhì)量矩陣和分別組裝成總體質(zhì)量矩陣m⁽²⁾和m⁽⁰⁾；

4.2)確定各個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量如式(5)所示；

φi(x,t)＝{w1(x,t),θ1(x,t),w2(x,t),θ2(x,t),…，wne(x,t),θne(x,t)}^t,i＝1,2(5)

式(5)中，φi(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量，w1(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第1個條形單元的結(jié)線橫向位移，θ1(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第一個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角，w2(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第2個條形單元的結(jié)線橫向位移，θ2(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第2個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角，wne(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第ne個條形單元的結(jié)線橫向位移，θne(x,t)為第i個子結(jié)構(gòu)中第ne個條形單元的結(jié)線轉(zhuǎn)角；

4.3)根據(jù)各個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量組裝總體運動微分方程如式(6)所示；

式(6)中，φi為第i個子結(jié)構(gòu)的總體位移向量，k⁽⁴⁾、k⁽²⁾和k⁽⁰⁾為總體剛度矩陣，m⁽²⁾和m⁽⁰⁾為總體質(zhì)量矩陣，t為時間，x為橫坐標(biāo)；

4.4)針對總體運動微分方程處理邊界條件，得到總體運動微分方程如式(7)所示；

式(7)中，為第i個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量，和為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，和為處理邊界條件后的總體質(zhì)量矩陣。

本實施例中，步驟5)的詳細(xì)步驟包括：

5.1)將各個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體運動微分方程取時間的laplace變換，得到各個子結(jié)構(gòu)的laplace總體運動微分方程如式(8)所示；

式(8)中，為第i個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換，‘^’為laplace變換符號，s為laplace變換系數(shù)，和為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，為處理邊界條件后的總體剛度矩陣，d(s)、d2、a均為中間矩陣；

5.2)基于定義的狀態(tài)向量η(x,s)，將laplace總體運動微分方程轉(zhuǎn)換為式(9)所示：

式(9)中，η(x,s)為定義的狀態(tài)向量，且定義的狀態(tài)向量η(x,s)的函數(shù)表達(dá)式如式(10)所示，f(s)為傳遞矩陣，傳遞矩陣f(s)的函數(shù)表達(dá)式如式(11)所示；

式(10)中，η(x,s)為定義的狀態(tài)向量，η1(x,s)和η2(x,s)均為中間向量，為第1個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換，為第2個子結(jié)構(gòu)處理邊界條件后的總體位移向量的laplace變換；

式(11)中，f(s)為傳遞矩陣，為中間矩陣，為4×n1階0元素方陣，n1為每個子結(jié)構(gòu)的總體自由度數(shù)，d(s)、d2為式(8)中所示的中間矩陣，i為單位矩陣；

5.3)建立兩個子結(jié)構(gòu)連接處的邊界條件如式(12)所示；

mb(s)η(-0.5a,s)+nb(s)η(0.5a,s)+rb(s)η(x0,s)＝0(12)

式(12)中，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，η為狀態(tài)向量，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，s為laplace變換系數(shù)，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)；其中邊界矩陣rb(s)如式(13)所示；

式(13)中，rb(s)為邊界矩陣，為4×n1階0元素方陣，n1為每個子結(jié)構(gòu)的總體自由度數(shù)，rb1和rb2均為中間矩陣，m0為附加質(zhì)量的大小，i為單位矩陣，為處理邊界條件后的總體剛度矩陣；

5.4)生成將式(9)所示轉(zhuǎn)換后的laplace總體運動微分方程、式(12)所示兩個子結(jié)構(gòu)連接處的邊界條件的解如式(14)所示，且解的特征方程如式(15)所示；

式(14)中，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，f(s)為傳遞矩陣，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，s為laplace變換系數(shù)；

式(15)中，det為求行列式符號，mb(s)、nb(s)和rb(s)為邊界矩陣，a為石墨烯質(zhì)量傳感器在x方向上的長度，f(s)為傳遞矩陣，x0為附加質(zhì)量的質(zhì)心的橫坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，s為laplace變換系數(shù)；

5.5)針對式(15)所示解的特征方程，令laplace變換系數(shù)s為虛數(shù)單位i、石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω兩者之間的乘積，求解得到石墨烯納米質(zhì)量傳感器自由振動的固有頻率ω并作為石墨烯納米質(zhì)量傳感器的振動特性分析結(jié)果輸出。

以上所述僅是本發(fā)明的優(yōu)選實施方式，本發(fā)明的保護(hù)范圍并不僅局限于上述實施例，凡屬于本發(fā)明思路下的技術(shù)方案均屬于本發(fā)明的保護(hù)范圍。應(yīng)當(dāng)指出，對于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員來說，在不脫離本發(fā)明原理前提下的若干改進(jìn)和潤飾，這些改進(jìn)和潤飾也應(yīng)視為本發(fā)明的保護(hù)范圍。