本發(fā)明涉及的量子導(dǎo)向有助于推進(jìn)量子通信的發(fā)展。由于導(dǎo)向性的范圍因投影測(cè)量算符不同而不同，其過(guò)程并未涉及到其他投影測(cè)量算符下的研究(n＝4，6，8，10)，本發(fā)明主要是基于半定規(guī)劃的貝爾對(duì)角態(tài)的量子導(dǎo)向，通過(guò)選擇多面體構(gòu)建多測(cè)量算符，首次將半定規(guī)劃方法應(yīng)用于貝爾對(duì)角態(tài)在其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性，通過(guò)編寫(xiě)程序計(jì)算解決貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性問(wèn)題。最終本發(fā)明以列表的形式采用SDP方法不斷修正改善擴(kuò)大了貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向的范圍。
背景技術(shù)：
量子密碼通信和量子計(jì)算的實(shí)現(xiàn)依賴于具備各種通信能力的節(jié)點(diǎn)和以微粒子為載體的量子，設(shè)備無(wú)關(guān)協(xié)議假設(shè)通信雙方都是不可信任的，標(biāo)準(zhǔn)的糾纏檢測(cè)協(xié)議則假設(shè)通信雙方都是可信任的，介于設(shè)備無(wú)關(guān)協(xié)議和標(biāo)準(zhǔn)的糾纏檢測(cè)協(xié)議之間的不可信情況下的量子非局域性，通常稱為EPR Steering[1]即量子導(dǎo)向。在一般兩組分情況下，量子導(dǎo)向意味著一方可使用可信任的測(cè)量設(shè)備，而另一方可以使用不可信任測(cè)量設(shè)備，實(shí)際上量子導(dǎo)向可以看作為設(shè)備半無(wú)關(guān)協(xié)議，它比設(shè)備無(wú)關(guān)協(xié)議對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備的要求有所放松，其中假設(shè)條件比標(biāo)準(zhǔn)的糾纏檢測(cè)協(xié)議的少，相比而言更符合實(shí)際情況。因此在最近幾年量子導(dǎo)向的研究[4]及其應(yīng)用和試驗(yàn)驗(yàn)證[5]在量子密鑰分布協(xié)議(QKD)、安全通信等得到了快速發(fā)展。
量子導(dǎo)向是薛定諤在1935年根據(jù)EPR佯繆提出的[1]，指出的是一個(gè)觀察者進(jìn)行的測(cè)量能到改變遠(yuǎn)方另一個(gè)觀察者的量子態(tài)。相比于糾纏和貝爾非局域性，導(dǎo)向的的特點(diǎn)是基本不對(duì)稱的，因?yàn)橛^察雙方在導(dǎo)向?qū)嶒?yàn)中是角色不同[1-3]。在2007年Wiseman、Jones、Doherty等[1]嚴(yán)格將量子導(dǎo)向定義為違反他們稱之為局域隱態(tài)(LHS)的模型，通過(guò)投影測(cè)量證明量子導(dǎo)向態(tài)是糾纏態(tài)的嚴(yán)格子集，同時(shí)是貝爾非局域態(tài)的嚴(yán)格超集，而貝爾非局域態(tài)是指違反局域隱變量(LHV)的描述。同時(shí)他們指出在兩組分情況下貝爾非局域性、量子導(dǎo)向、量子糾纏三種非局域性分別是基于對(duì)雙方都不信任、一方可信任、雙方都可信任時(shí)所顯示出的糾纏，在POVM測(cè)量下關(guān)于這三種量子非局域之間的互不等價(jià)性已經(jīng)得到證明。與EPR和薛定諤最初的情形不同的是局域隱態(tài)給出了嚴(yán)格的架構(gòu)，將量子導(dǎo)向建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上，導(dǎo)出一系列關(guān)于量子導(dǎo)向存在的準(zhǔn)則。雖然量子導(dǎo)向這種新形式的非局域性研究比較少，但其具有深遠(yuǎn)的實(shí)際意義同時(shí)涉及到深刻的物理基礎(chǔ)，在最近幾年成為發(fā)展迅速的新興研究領(lǐng)域。目前實(shí)驗(yàn)已經(jīng)驗(yàn)證了量子導(dǎo)向，為量子信息的安全通信性提供了足夠的保證。
量子導(dǎo)向準(zhǔn)則是最早由Reid對(duì)連續(xù)變量系統(tǒng)利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系得到的[6]，Jevtic等人使用量子導(dǎo)向橢球提出一系列研究量子非局域性的新概念，如內(nèi)接正四面體可分離條件、胖度、不完全量子導(dǎo)向等[7]。在量子導(dǎo)向橢球方法中用Bloch表象幾何直觀地先生非局域性，有利于任意雙量子比特系統(tǒng)非局域性的研究。用量子導(dǎo)向橢球方法研究雙量子比特系統(tǒng)，通過(guò)構(gòu)造局域隱態(tài)得到了貝爾對(duì)角態(tài)量子導(dǎo)向的必要條件，與充分條件之間的空隙已比較小[8]。
在量子導(dǎo)向的量化方面，Skrzypczyk、Navascues、Cavalcanti提出使用半定規(guī)劃方法[9]用量子導(dǎo)向重要概念進(jìn)行量化。本發(fā)明將主要采用半定規(guī)劃方法研究貝爾對(duì)角態(tài)的量子導(dǎo)向問(wèn)題，在驗(yàn)證投影算符的基礎(chǔ)下下，利用半定規(guī)劃定性研究貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向。
本發(fā)明主要是基于半定規(guī)劃的貝爾對(duì)角態(tài)的量子導(dǎo)向，應(yīng)用于雙量子比特系統(tǒng)中貝爾對(duì)角態(tài)在投影測(cè)量下完成的，這些態(tài)無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)室都具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，一般的雙量子比特系統(tǒng)態(tài)可以通過(guò)可逆轉(zhuǎn)的SLOCC[10] 轉(zhuǎn)化成貝爾對(duì)角態(tài)，所以說(shuō)任何關(guān)于貝爾對(duì)角態(tài)的進(jìn)展?jié)撛诘膸椭覀兝斫怆p量子比特系統(tǒng)。
參考文獻(xiàn)
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[2]Jones S J，Wiseman H M，Doherty A C.Entanglement，Einstein-Podolsky-Rosen correlations，Bell nonlocality，and steering[J].Physical Review A，2007，76(5)：400-403.
[3]Qiongyi He.One-way EPR steering and genuine multipartite EPR steering[J].Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering，2012，8554：-.
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[5]Saunders D J，Jones S J，Wiseman H M，et al.Experimental EPR-steering using Bell-local states[J].Nature Physics，2011，7(11)：918-918.
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[9]Paul S，Miguel N，Daniel C.Quantifying Einstein-Podolsky-Rosen steering.[J].Physical Review Letters，2014，112(18)：180404-180404.
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技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：
本發(fā)明主要是基于半定規(guī)劃的貝爾對(duì)角態(tài)的量子導(dǎo)向，通過(guò)選擇多面體構(gòu)建多測(cè)量算符，首次利用半定規(guī)劃方法(SDP)方法通過(guò)編寫(xiě)程序計(jì)算解決貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性問(wèn)題。最終本發(fā)明以列表的形式采用SDP方法不斷修正改善擴(kuò)大了貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向的范圍，共包括以下三個(gè)過(guò)程：
S1)投影測(cè)量算符的構(gòu)建：對(duì)于單比特量子態(tài)的投影測(cè)量，當(dāng)變量是Z時(shí)其本征值為+1和-1，相應(yīng)的特征向量為|0>和|1>，例如當(dāng)量子態(tài)是當(dāng)測(cè)量結(jié)果是+1時(shí)，其概率為反之，當(dāng)測(cè)量結(jié)果為-1時(shí)，其概率為1/2。一般的，當(dāng)V是任意的三維實(shí)向量，其測(cè)量結(jié)果根據(jù)Bloch球體的定義可以表示為v·σ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，σ1，σ2，σ3是Pauli算子，根據(jù)不同的投影測(cè)量算符取得多面體上相應(yīng)的點(diǎn)后利用|a|2+|b|2＝1，解之，即可得到相應(yīng)的投影測(cè)量算符，本發(fā)明中此步驟尤為重要，若取點(diǎn)的方式及過(guò)程不正確，直接影響導(dǎo)向范圍的變化。
S2)半定規(guī)劃方法應(yīng)用于Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性：量子導(dǎo)向主要設(shè)計(jì)到雙方的通信，以Alice和Bob，共享糾纏態(tài)通過(guò)測(cè)量Alice的子系統(tǒng)，Bob在一定的范圍采用一定的方式可以得到其測(cè)量結(jié)果σa|x，半定規(guī)劃方法是解決凸優(yōu)化問(wèn)題的工具，基本的優(yōu)化問(wèn)題遵循以下規(guī)則，本發(fā)明結(jié)合求導(dǎo)向權(quán)重的給定條件進(jìn)行在約束條件及下使最大化，其中λ是Alice所擁有的任意變量，Dλ(a|x)是Alice 單方的條件概率分布，σλ是Bob所擁有的態(tài)。本發(fā)明以Werner態(tài)的三投影測(cè)量算符為實(shí)例，其狀態(tài)可表示為其中是單比特量子態(tài)，I是密度矩陣算子。
1)三投影測(cè)量算符的選擇：本發(fā)明根據(jù)八面體為主，采用非對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影測(cè)量算符，而對(duì)于其他投影測(cè)量算符(n＝4，6，8，10)時(shí)所對(duì)應(yīng)選擇的多面體方案分別是：n＝4，立方體；n＝6，正二十面體；n＝8，正二十面體的非對(duì)稱的6個(gè)點(diǎn)和正十二面體的2個(gè)點(diǎn)；n＝10，正十二面體；按照投影測(cè)量算符，選擇相應(yīng)的非對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到所對(duì)應(yīng)的投影測(cè)量算符。
2)三投影測(cè)量算符所構(gòu)成矩陣的部分轉(zhuǎn)置：X，Y，Z算符在滿足本征值為+1或-1的條件下，共存在6種算符測(cè)量的情況，分別為：X+1，X-1，Y+1，Y-1，Z+1，Z-1具體投影測(cè)量算符為X+1＝|0>，X-1＝|1>，程序驗(yàn)證的時(shí)需要對(duì)投影測(cè)量算符構(gòu)成的矩陣進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置矩陣，可以得到非標(biāo)準(zhǔn)化后Bob的在ρ態(tài)下的測(cè)量結(jié)果，其結(jié)果代表投影測(cè)量算符的偏跡為：
則Alice所擁有的任意變量為λn＝[xi，yj，zk]≡[<xi|X|xi>，<xi|Y|xi>，<xi|Z|xi>]。
3)半定規(guī)劃方法獲得導(dǎo)向權(quán)重：在獲得Alice測(cè)量所得到的測(cè)量結(jié)果，依據(jù)Alice的單方條件分布可以得到其概率分布集合為：
根據(jù)半定規(guī)劃方法的條件可到不可導(dǎo)向的集合拆分后可得
利用半定規(guī)劃函數(shù)包SW＝sdpvar(n，1)，n為計(jì)算循環(huán)的次數(shù)；根據(jù)再判斷導(dǎo)權(quán)重是否大于0即可判斷導(dǎo)向的范圍。
以Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符的導(dǎo)向性為例，通過(guò)半定規(guī)劃方法所得結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，得出結(jié)果半定規(guī)劃方法的結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明了半定規(guī)劃方法的可行性。
S3)其他投影測(cè)量算符下的貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向范圍
在驗(yàn)證了Werner態(tài)在三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向可證明本發(fā)明在雙量子比特系統(tǒng)求取導(dǎo)向的范圍是正取可取的，由于雙量子比特系統(tǒng)中貝爾對(duì)角態(tài)，這部分的成果主要是在投影測(cè)量下完成的，這些態(tài)無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)上都具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，一般的雙量子比特系統(tǒng)態(tài)可以通過(guò)可逆轉(zhuǎn)的SLOCC轉(zhuǎn)化成貝爾對(duì)角態(tài)，所以說(shuō)任何關(guān)于貝爾對(duì)角態(tài)的進(jìn)展?jié)撛诘膸椭覀兝斫怆p量子比特系統(tǒng)。
通過(guò)改善約化后，雙量子比特系統(tǒng)貝爾對(duì)角態(tài)的表達(dá)方式如下：
其中σj是當(dāng)j＝1，2，3時(shí)的Pauli算子，σ是Pauli算子相應(yīng)的向量，T(tij)是相關(guān)矩陣。
貝爾對(duì)角態(tài)含有3個(gè)參數(shù)，呈現(xiàn)正四面體，其中存在可分離態(tài)和導(dǎo)向態(tài)根據(jù)其投影測(cè)量算符的不一致，導(dǎo)向范圍因此有所差異，由于這種差異性結(jié)構(gòu)，本發(fā)明對(duì)貝爾對(duì)角態(tài)通過(guò)截取代表貝爾對(duì)角態(tài)的正四面體獲取截面，設(shè)置p，q從而確定與貝爾對(duì)角態(tài)中參數(shù)t1的關(guān)系，進(jìn)而按照獲得導(dǎo)向的步驟得到導(dǎo)向范圍，在投影測(cè)量算符不同的情況下得到導(dǎo)向范圍。
附圖說(shuō)明
圖1是基于半定規(guī)劃的貝爾對(duì)角態(tài)在多測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果圖。
具體實(shí)施方式
下面結(jié)合實(shí)施例對(duì)本發(fā)明的技術(shù)方案做進(jìn)一步描述。
1、技術(shù)支持
本發(fā)明以列表的形式采用SDP方法不斷修正改善擴(kuò)大了貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向的范圍，共包括以下三個(gè)過(guò)程：
S1)投影測(cè)量算符的構(gòu)建：對(duì)于單比特量子態(tài)的投影測(cè)量，當(dāng)變量是Z時(shí)其本征值為+1和-1，相應(yīng)的特征向量為|0>和|1>，例如當(dāng)量子態(tài)是當(dāng)測(cè)量結(jié)果是+1時(shí)，其概率為反之，當(dāng)測(cè)量結(jié)果為-1時(shí)，其概率為1/2。一般的，當(dāng)V是任意的三維實(shí)向量，其測(cè)量結(jié)果根據(jù)Bloch球體的定義可以表示為v·σ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，σ1，σ2，σ3是Pauli算子，根據(jù)不同的投影測(cè)量算符取得多面體上相應(yīng)的點(diǎn)后利用|a|2+|b|2＝1，解之，即可得到相應(yīng)的投影測(cè)量算符，本發(fā)明中此步驟尤為重要，若取點(diǎn)的方式及過(guò)程不正確，直接影響導(dǎo)向范圍的變化。
S2)半定規(guī)劃方法應(yīng)用于Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性：量子導(dǎo)向主要設(shè)計(jì)到雙方的通信，以Alice和Bob，共享糾纏態(tài)通過(guò)測(cè)量Alice的子系統(tǒng)，Bob在一定的范圍采用一定的方式可以得到其測(cè)量結(jié)果σa|x，半定規(guī)劃方法是解決凸優(yōu)化問(wèn)題的工具，基本的優(yōu)化問(wèn)題遵循以下規(guī)則，本發(fā)明結(jié)合求導(dǎo)向權(quán)重的給定條件進(jìn)行在約束條件及下使最大化，其中λ是Alice所擁有的任意變量，Dλ(a|x)是Alice單方的條件概率分布，σλ是Bob所擁有的態(tài)。本發(fā)明以Werner態(tài)的三投影測(cè)量算符為實(shí)例，其狀態(tài)可表示為其中是單比特量子態(tài)，I是密度矩陣算子。
1)三投影測(cè)量算符的選擇：本發(fā)明根據(jù)八面體為主，采用非對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影測(cè)量算符，而對(duì)于其他投影測(cè)量算符(n＝4，6，8，10)時(shí)所對(duì)應(yīng)選擇的多面體方案分別是：n＝4，立方體；n＝6，正二十面體；n＝8，正二十面體的非對(duì)稱的6個(gè)點(diǎn)和正十二面體的2個(gè)點(diǎn)；n＝10，正十二面體；按照投影測(cè)量算符，選擇相應(yīng)的非對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到所對(duì)應(yīng)的投影測(cè)量算符。
2)三投影測(cè)量算符所構(gòu)成矩陣的部分轉(zhuǎn)置：X，Y，Z算符在滿足本征值為+1或-1的條件下，共存在6種算符測(cè)量的情況，分別為：X+1，X-1，Y+1，Y-1，Z+1，Z-1具體投影測(cè)量算符為X+1＝|0>，X-1＝|1>，程序驗(yàn)證的時(shí)需要對(duì)投影測(cè)量算符構(gòu)成的矩陣進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置矩陣，可以得到非標(biāo)準(zhǔn)化后Bob的在ρ態(tài)下的測(cè)量結(jié)果，其結(jié)果代表投影測(cè)量算符的偏跡為：
則Alice所擁有的任意變量為λn＝[xi，yj，zk]≡[<xi|X|xi>，<xi|Y|xi>，<xi|Z|xi>]。
3)半定規(guī)劃方法獲得導(dǎo)向權(quán)重：在獲得Alice測(cè)量所得到的測(cè)量結(jié)果，依據(jù)Alice的單方條件分布可以得到其概率分布集合為：
根據(jù)半定規(guī)劃方法的條件可到不可導(dǎo)向的集合拆分后可得
利用半定規(guī)劃函數(shù)包SW＝sdpvar(n，1)，n為計(jì)算循環(huán)的次數(shù)，根據(jù)再判斷導(dǎo)權(quán)重是否大于0即可判斷導(dǎo)向的范圍。
以Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符的導(dǎo)向性為例，通過(guò)半定規(guī)劃方法所得結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，得出結(jié)果半定規(guī)劃方法的結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明了半定規(guī)劃方法的可行性。
S3)其他投影測(cè)量算符下的貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向范圍
在驗(yàn)證了Werner態(tài)在三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向可證明本發(fā)明在雙量子比特系統(tǒng)求取導(dǎo)向的范圍是正取可取的，由于雙量子比特系統(tǒng)中貝爾對(duì)角態(tài)，這部分的成果主要是在投影測(cè)量下完成的，這些態(tài)無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)上都具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，一般的雙量子比特系統(tǒng)態(tài)可以通過(guò)可逆轉(zhuǎn)的SLOCC轉(zhuǎn)化成貝爾對(duì)角態(tài)，所以說(shuō)任何關(guān)于貝爾對(duì)角態(tài)的進(jìn)展?jié)撛诘膸椭覀兝斫怆p量子比特系統(tǒng)。
通過(guò)改善約化后，雙量子比特系統(tǒng)貝爾對(duì)角態(tài)的表達(dá)方式如下：
其中σj是當(dāng)j＝1，2，3時(shí)的Pauli算子，σ是Pauli算子相應(yīng)的向量，T(tij)是相關(guān)矩陣；
貝爾對(duì)角態(tài)含有3個(gè)參數(shù)，呈現(xiàn)正四面體，其中存在可分離態(tài)和導(dǎo)向態(tài)根據(jù)其投影測(cè)量算符的不一致，導(dǎo)向范圍因此有所差異，由于這種差異性結(jié)構(gòu)，本發(fā)明對(duì)貝爾對(duì)角態(tài)通過(guò)截取代表貝爾對(duì)角態(tài)的正四面體獲取截面，設(shè)置p，q從而確定與貝爾對(duì)角態(tài)中參數(shù)t1的關(guān)系，進(jìn)而按照獲得導(dǎo)向的步驟得到導(dǎo)向范圍，在投影測(cè)量算符不同的情況下得到導(dǎo)向范圍。
圖示圖1中貝爾對(duì)角態(tài)代表正四面體，綠色的平面代表著分離態(tài)，藍(lán)色區(qū)域代表著可在二投影測(cè)量算符下的可導(dǎo)向的態(tài)，紅色區(qū)域代表著在二投影測(cè)量算符不可導(dǎo)，而在三投影測(cè)量算符下可導(dǎo)的結(jié)果，由于貝爾對(duì)角態(tài)的特殊性質(zhì)，其在四投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果和三投影測(cè)量算符下的結(jié)果相同，黑色區(qū)域代表在六投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果，灰色區(qū)域代表在八投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果，紫色區(qū)域則代表在十投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果。
2、安全性分析
這部分根據(jù)本發(fā)明應(yīng)用的不同步驟對(duì)安全性進(jìn)行分析。
投影測(cè)量算符的構(gòu)建：對(duì)于單比特量子態(tài)的投影測(cè)量，當(dāng)變量是Z時(shí)其本征值為+1和-1，相應(yīng)的特征向量為|0>和|1>，例如當(dāng)量子態(tài)是當(dāng)測(cè)量結(jié)果是+1時(shí)，其概率為反之，當(dāng)測(cè)量結(jié)果為-1時(shí)，其概率為1/2。一般的，當(dāng)V是任意的三維實(shí)向量，其測(cè)量結(jié)果根據(jù)Bloch球體的定義可以表示為v·σ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，σ1，σ2，σ3是Pauli算子，根據(jù)不同的投影測(cè)量算符取得多面體上相應(yīng)的點(diǎn)后利用|a|2+|b|2＝1，解之，即可得到相應(yīng)的投影測(cè)量算符，本發(fā)明中此步驟尤為重要，若取點(diǎn)的方式及過(guò)程不正確，直接影響導(dǎo)向范圍的變化。
半定規(guī)劃方法應(yīng)用于Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向性：量子導(dǎo)向主要設(shè)計(jì)到雙方的通信，以Alice和Bob，共享糾纏態(tài)通過(guò)測(cè)量Alice的子系統(tǒng)，Bob在一定的范圍采用一定的方式可以得到其測(cè)量結(jié)果σa|x，半定規(guī)劃方法是解決凸優(yōu)化問(wèn)題的工具，基本的優(yōu)化問(wèn)題遵循以下規(guī)則，本發(fā)明結(jié)合求導(dǎo)向權(quán)重的給定條件進(jìn)行在約束條件及下使最大化，其中λ是Alice所擁有的任意變量，Dλ(a|x)是Alice單方的條件概率分布，σλ是Bob所擁有的態(tài)。本發(fā)明以Werner態(tài)的三投影測(cè)量算符為實(shí)例，其狀態(tài)可表示為其中是單比特量子態(tài)，I是密度矩陣算子。
1)三投影測(cè)量算符的選擇：本發(fā)明根據(jù)八面體為主，采用非對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)v·σ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影測(cè)量算符，而對(duì)于其他投影測(cè)量算符(n＝4，6，8，10)時(shí)所對(duì)應(yīng)選擇的多面體方案分別是：n＝4，立方體；n＝6，正二十面體；n＝8，正二十面體的非對(duì)稱的6個(gè)點(diǎn)和正十二面體的2個(gè)點(diǎn)；n＝10，正十二面體；按照投影測(cè)量算符，選擇相應(yīng)的非對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到所對(duì)應(yīng)的投影測(cè)量算符。
2)三投影測(cè)量算符所構(gòu)成矩陣的部分轉(zhuǎn)置：X，Y，Z算符在滿足本征值為+1或-1的條件下，共存在6種算符測(cè)量的情況，分別為：X+1，X-1，Y+1，Y-1，Z+1，Z-1具體投影測(cè)量算符為X+1＝|0>，X-1＝|1>，程序驗(yàn)證的時(shí)需要對(duì)投影測(cè)量算符構(gòu)成的矩陣進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置矩陣，可以得到非標(biāo)準(zhǔn)化后Bob的在ρ態(tài)下的測(cè)量結(jié)果，其結(jié)果代表投影測(cè)量算符的偏跡為：
則Alice所擁有的任意變量為λn＝[xi，yj，zk]≡[<xi|X|xi>，<xi|Y|xi>，<xi|Z|xi>]。
3)半定規(guī)劃方法獲得導(dǎo)向權(quán)重：在獲得Alice測(cè)量所得到的測(cè)量結(jié)果，依據(jù)Alice的單方條件分布可以得到其概率分布集合為：
根據(jù)半定規(guī)劃方法的條件可到不可導(dǎo)向的集合拆分后可得
利用半定規(guī)劃函數(shù)包SW＝sdpvar(n，1)，n為計(jì)算循環(huán)的次數(shù)，根據(jù)再判斷導(dǎo)權(quán)重是否大于0即可判斷導(dǎo)向的范圍。
以Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符的導(dǎo)向性為例，通過(guò)半定規(guī)劃方法所得結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，得出結(jié)果半定規(guī)劃方法的結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明了半定規(guī)劃方法的可行性。
表1 Werner態(tài)下實(shí)驗(yàn)結(jié)果與半定規(guī)劃方法結(jié)果的對(duì)比
其他投影測(cè)量算符下的貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向范圍：在驗(yàn)證了Werner態(tài)在三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向可證明本發(fā)明在雙量子比特系統(tǒng)求取導(dǎo)向的范圍是正取可取的，由于雙量子比特系統(tǒng)中貝爾對(duì)角態(tài)，這部分的成果主要是在投影測(cè)量下完成的，這些態(tài)無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)上都具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，一般的雙量子比特系統(tǒng)態(tài)可以通過(guò)可逆轉(zhuǎn)的SLOCC轉(zhuǎn)化成貝爾對(duì)角態(tài)，所以說(shuō)任何關(guān)于貝爾對(duì)角態(tài)的進(jìn)展?jié)撛诘膸椭覀兝斫怆p量子比特系統(tǒng)。
通過(guò)改善約化后，雙量子比特系統(tǒng)貝爾對(duì)角態(tài)的表達(dá)方式如下：
其中σj是當(dāng)j＝1，2，3時(shí)的Pauli算子，σ是Pauli算子相應(yīng)的向量，T(tij)是相關(guān)矩陣；
貝爾對(duì)角態(tài)含有3個(gè)參數(shù)，呈現(xiàn)正四面體，其中存在可分離態(tài)和導(dǎo)向態(tài)根據(jù)其投影測(cè)量算符的不一致，導(dǎo)向范圍因此有所差異，由于這種差異性結(jié)構(gòu)，本發(fā)明對(duì)貝爾對(duì)角態(tài)通過(guò)截取代表貝爾對(duì)角態(tài)的正四面體獲取截面，設(shè)置p，q從而確定與貝爾對(duì)角態(tài)中參數(shù)t1的關(guān)系，進(jìn)而按照獲得導(dǎo)向的步驟得到導(dǎo)向范圍，在投影測(cè)量算符不同的情況下得到導(dǎo)向范圍。
圖1中貝爾對(duì)角態(tài)代表正四面體，綠色的平面代表著分離態(tài)，藍(lán)色區(qū)域代表著可在二投影測(cè)量算符下的可導(dǎo)向的態(tài)，紅色區(qū)域代表著在二投影測(cè)量算符不可導(dǎo)，而在三投影測(cè)量算符下可導(dǎo)的結(jié)果，由于貝爾對(duì)角態(tài)的特殊性質(zhì)，其在四投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果和三投影測(cè)量算符下的結(jié)果相同，黑色區(qū)域代表在六投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果，灰色區(qū)域代表在八投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果，紫色區(qū)域則代表在十投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向結(jié)果。
實(shí)施例：
1、半定規(guī)劃解決量子導(dǎo)向的應(yīng)用舉例
量子導(dǎo)向主要設(shè)計(jì)到雙方的通信，以Alice和Bob，共享糾纏態(tài)通過(guò)測(cè)量Alice的子系統(tǒng)，Bob在一定的范圍采用一定的方式可以得到其測(cè)量結(jié)果σa|x，半定規(guī)劃方法是解決凸優(yōu)化問(wèn)題的工具，基本的優(yōu)化問(wèn)題遵循以下規(guī)則，本發(fā)明結(jié)合求導(dǎo)向權(quán)重的給定條件及使最大化，從而得到導(dǎo)向權(quán)重得出導(dǎo)向的范圍，其中λ是Alice所擁有的任意變量，Dλ(a|x)是Alice單方的條件概率分布，σλ是Bob所擁有的態(tài)。本發(fā)明以Werner態(tài)的三投影測(cè)量算符為實(shí)例，其狀態(tài)可表示為其中是單比特量子態(tài)，I是密度矩陣算子。
在投影測(cè)量算符選擇時(shí)本發(fā)明根據(jù)八面體為主，采用非對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影測(cè)量算符，而對(duì)于其他投影測(cè)量算符(n＝4，6，8，10)時(shí)所對(duì)應(yīng)選擇的多面體方案分別是：n＝4，立方體；n＝6，正二十面體；n＝8，正二十面體的非對(duì)稱的6個(gè)點(diǎn)和正十二面體的2個(gè)點(diǎn)；n＝10，正十二面體，按照投影測(cè)量算符，選擇相應(yīng)的非對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到所對(duì)應(yīng)的投影測(cè)量算符。
構(gòu)建三投影測(cè)量算符所構(gòu)成矩陣的部分轉(zhuǎn)置：X，Y，Z算符在滿足本征值為+1或-1的條件下，共存在6種算符測(cè)量的情況，分別為：X+1，X-1，Y+1，Y-1，Z+1，Z-1具體投影測(cè)量算符為X+1＝|0>，X-1＝|1>，進(jìn)而可求的偏跡，利用半定規(guī)劃可以得到Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符下的導(dǎo)向范圍。
利用半定規(guī)劃函數(shù)包SW＝sdpvar(n，1)，n為計(jì)算循環(huán)的次數(shù)，根據(jù)在判斷導(dǎo)權(quán)重是否大于0即可判斷導(dǎo)向的范圍。
以Werner態(tài)下三投影測(cè)量算符的導(dǎo)向性為例，通過(guò)半定規(guī)劃方法所得結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，得出結(jié)果半定規(guī)劃方法的結(jié)果與早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明了半定規(guī)劃方法的可行性。
表1 Werner態(tài)下實(shí)驗(yàn)結(jié)果與半定規(guī)劃方法結(jié)果的對(duì)比
2、總結(jié)
綜上所述，本發(fā)明基于半定規(guī)劃的貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向具有以下特點(diǎn)：
①該方法首次增強(qiáng)貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算法下的導(dǎo)向性。
②隨著構(gòu)建投影測(cè)量算符的復(fù)雜性增大，半定規(guī)劃方法依然可以解決貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算法下的導(dǎo)向性。
③半定規(guī)劃方法的使用擴(kuò)大了貝爾對(duì)角態(tài)基于其他投影測(cè)量算法下的導(dǎo)向范圍，相比一般的幾何方法更精確。
④該方法是使用定性了貝爾對(duì)角態(tài)的導(dǎo)向性，推動(dòng)了量子導(dǎo)向的量化，更有利于量子的通信的實(shí)現(xiàn)。