本發(fā)明涉及一種機(jī)械振動的計(jì)算方法，特別是一種階梯梁彎曲振動一階固有圓頻率的計(jì)算方法。

背景技術(shù)：

階梯形構(gòu)件在工程中很常見，如動力機(jī)械中支承回轉(zhuǎn)零件和傳遞運(yùn)動和動力的階梯軸、石油鉆井工程中的階梯形鉆柱、超聲加工中的階梯形變幅桿、抽油系統(tǒng)中的階梯形抽油桿以及發(fā)動機(jī)內(nèi)的階梯形活塞桿、處于車削加工過程中的工件等。以彎曲為主要變形的階梯形桿件可稱之為階梯梁，階梯梁的振動問題是機(jī)械振動的一個(gè)基礎(chǔ)課題，而且在工程中一般特別關(guān)注一階頻率。階梯梁的固有頻率受截面形狀、約束條件、材料及分段桿長的影響?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)只給出了幾種常見邊界條件(或約束)下的等截面直桿(簡稱等直桿)固有圓頻率的計(jì)算公式，而給定邊界條件的階梯梁彎曲振動固有圓頻率的推導(dǎo)，由于公式較為復(fù)雜，計(jì)算工作量大，目前在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中沒有系統(tǒng)給出階梯梁彎曲振動固有圓頻率方程的推導(dǎo)過程及計(jì)算方法，也沒有查到直觀的可以套用的、給定邊界條件下的階梯梁彎曲一階固有頻率計(jì)算公式。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是要提供一種階梯梁彎曲振動一階固有圓頻率的計(jì)算方法，解決目前沒有系統(tǒng)給出階梯梁彎曲振動固有圓頻率方程的推導(dǎo)方法，對給定一端固定、一端自由邊界條件下的不同長度、尺寸及材料的階梯梁也沒有可以套用的一階固有頻率計(jì)算公式的問題。

本發(fā)明的目的是這樣實(shí)現(xiàn)的：本發(fā)明的方法步驟如下：

(1)基于等直桿的彎曲自由振動方程，列出階梯梁各段的彎曲自由振動方程；

(2)基于分離變量法假設(shè)階梯梁各段的模態(tài)解；

(3)列出整梁兩端的邊界條件及分段截面處的連續(xù)性條件；

(4)由假設(shè)的模態(tài)解代入階梯梁各分段的彎曲自由振動方程，，求出各分段的振型函數(shù)yi(x)形式，其中振型函數(shù)含有未知的待定系數(shù)及梁的圓頻率，需由邊界條件確定這些系數(shù)；

(5)將含有待定系數(shù)及固有圓頻率的模態(tài)解帶入邊界條件及分段截面處的連續(xù)性條件，得到相應(yīng)的邊界條件方程及連續(xù)性方程；

(6)求解邊界條件方程及連續(xù)性方程，聯(lián)立求解方程組，利用消元法得到只含兩個(gè)待定系數(shù)及固有圓頻率的方程組；

(7)根據(jù)方程組有非零解的條件求出頻率方程；

(8)再利用matcad軟件求解頻率方程得到一階固有圓頻率值。

所述的等直桿的彎曲自由振動方程：

其中，ei為梁的抗彎剛度，ρ為梁單位體積的質(zhì)量，a為梁的橫截面面積，y(x,t)為梁的x處截面在時(shí)刻t的振動位移。

所述的階梯梁各分段的彎曲自由振動方程的形式為：

其中，

所述的基于分離變量法假設(shè)階梯梁各段的模態(tài)解的形式為：

y1(x,t)＝y(tǒng)1(x)e^iωt，y2(x,t)＝y(tǒng)2(x)e^iωt，…,yn(x,t)＝y(tǒng)n(x)e^iωt，

其中i為虛數(shù)單位，yi(x)為各分段的振型函數(shù)，ω為階梯梁的固有圓頻率。

所述的各分段的振型函數(shù)yi(x)形式為：

y1(x)＝(c1cosβ1x+c2sinβ1x+c3chβ1x+c4shβ1x)

y2(x)＝(d1cosβ2x+d2sinβ2x+d3chβ2x+d4shβ2x)

其中

所述的整梁兩端的邊界條件包括：位移邊界條件及力邊界條件；當(dāng)已知邊界位移時(shí)，列出位移邊界條件，有邊界彎曲撓度、轉(zhuǎn)角條件；當(dāng)已知邊界力時(shí)，列出力的邊界條件，包括邊界剪力或彎矩條件；每一個(gè)邊界列出兩個(gè)方程：

當(dāng)已知邊界撓度時(shí)，有邊界撓度方程y(x,t)|γ＝f1(t)，f1(t)為已知的邊界撓度函數(shù)；特殊地，對于固定端約束的邊界，有y(x,t)|γ＝0；

當(dāng)已知邊界轉(zhuǎn)角時(shí)，有邊界轉(zhuǎn)角方程f2(t)為已知的邊界轉(zhuǎn)角函數(shù)；特殊地，對于固定端約束的邊界，有

當(dāng)已知邊界剪力時(shí)，有邊界剪力方程f3(t)為已知的邊界剪力函數(shù)；特殊地，對于無力作用的自由邊界，有

當(dāng)已知邊界彎矩時(shí)，有邊界剪力方程f4(t)為已知的邊界彎矩函數(shù)；特殊地，對于無力作用的自由邊界，有

上述方程中的γ均為邊界。

所述的整梁兩端的分段截面處的連續(xù)性條件是：在階梯梁的分段連接處，相鄰兩段在該連接截面上的撓度相等、轉(zhuǎn)角相等、剪力相等、彎矩相等；每個(gè)連接截面處列出四個(gè)連續(xù)性方程：

分別為y1(xk,t)|＝y(tǒng)2(xk,t)，

所述的聯(lián)立求解方程組為求解邊界條件方程及連續(xù)性方程，所述的求解二個(gè)方程的方法是：采取消元法，得到只含兩個(gè)待定系數(shù)及固有圓頻率的方程組；

所述的方程組有非零解的條件是：方程組的系數(shù)行列式的值為零，從而得到頻率方程。

所述的求解一階固有圓頻率的方法，是指利用matcad軟件求解方程的功能模塊求解頻率方程，得到一階固有圓頻率值。

有益效果：本發(fā)明的一種階梯梁彎曲振動一階固有圓頻率的計(jì)算方法，為一種階梯梁彎曲振動固有圓頻率方程的推導(dǎo)及一階固有圓頻率的計(jì)算方法；給出了階梯梁彎曲振動各階固有圓頻率方程的通用求解步驟，采用上述方案，可以自行推導(dǎo)出如下常見邊界條件下階梯梁的頻率方程：

(1)一端固定端約束、一端自由(簡稱為懸臂階梯梁)；

(2)一端固定鉸鏈約束、一端可動鉸鏈約束；

(3)一端固定端約束、一端可動鉸鏈約束；

(4)兩端固定端約束；

從而解決了目前沒有系統(tǒng)給出階梯梁彎曲振動固有圓頻率的推導(dǎo)過程及計(jì)算方法的問題。對于上述給定的一種邊界條件的階梯梁，得到其固有圓頻率方程后，可以任意改變梁的截面形狀、截面尺寸、梁的總長及分段長度、分段材料參數(shù)等，，利用mathcad軟件可以快速得到相應(yīng)改變下階梯梁的一階圓頻率值，解決了目前對給定邊界條件下的不同長度、尺寸及材料的階梯梁沒有可以套用的一階固有頻率計(jì)算公式的問題。

本發(fā)明以一個(gè)一端固定端約束、一端自由的階梯梁(簡稱懸臂階梯梁)為例，給出了其固有圓頻率方程詳細(xì)的推導(dǎo)過程及一階固有圓頻率的計(jì)算方法。

本發(fā)明給出了階梯梁彎曲振動各階固有圓頻率方程的通用求解步驟，得到了該種約束類型的階梯梁固有圓頻率方程，該方程形式上比較復(fù)雜，但借助mathcad軟件可以快速求出階梯梁的一階圓頻率(下文簡稱基頻)。由于mathcad軟件具有所見即所得的界面友好功能，在mathcad軟件中設(shè)置不同的截面形狀、不同的截面尺寸、不同的材料及不同的分段長度，可快速得到工程中最關(guān)注的相應(yīng)階梯梁的一階圓頻率值。對給定兩端約束條件的一種階梯梁，可以把各種材料、截面性狀及尺寸的計(jì)算結(jié)果列表方便查閱。

優(yōu)點(diǎn)：(1)本發(fā)明給出了各種邊界條件的階梯梁彎曲振動固有圓頻率方程的通用推導(dǎo)步驟，解決了目前沒有系統(tǒng)給出階梯梁彎曲振動固有圓頻率的推導(dǎo)過程及計(jì)算方法的問題；

(2)根據(jù)推導(dǎo)出的圓頻率方程，可以快速得到不同截面形狀、分段不同材料及不同長度的階梯梁彎曲一階固有圓頻率值；(3)由推導(dǎo)出來的階梯梁頻率方程可以導(dǎo)出相同邊界條件的等直梁的頻率方程。

附圖說明

圖1為本發(fā)明一端固定端約束一端自由的階梯梁模型的結(jié)構(gòu)圖。

圖2為本發(fā)明的不同長度比值圓截面下懸臂階梯梁的基頻變化曲線圖。

圖3為本發(fā)明的不同直徑比值圓截面下懸臂階梯梁的振動基頻變化曲線圖。

圖4為本發(fā)明的不同材料下圓截面懸臂階梯梁的振動基頻變化曲線圖圖。

圖5為本發(fā)明的不同長度比值矩形截面下懸臂階梯梁的基頻變化曲線圖。

圖6為本發(fā)明的不同橫截面積下矩形截面懸臂階梯梁的振動基頻變化曲線圖。

圖7為本發(fā)明的不同材料下矩形截面懸臂階梯梁的振動基頻變化曲線圖。

具體實(shí)施方式

本發(fā)明的方法步驟如下：

(1)基于等直桿的彎曲自由振動方程，列出階梯梁各段的彎曲自由振動方程；所述的等直桿是伯努利-歐拉梁等值桿；所述的等直桿的彎曲自由振動方程為等直桿的彎曲振動理論的彎曲自由振動方程；

(2)基于分離變量法假設(shè)階梯梁各段的模態(tài)解，該模態(tài)解由一個(gè)待定振型函數(shù)及一個(gè)待定振動頻率的指數(shù)函數(shù)構(gòu)成；

(3)列出整梁兩端的邊界條件及分段截面處的連續(xù)性條件，得到四個(gè)邊界條件方程；所述的整梁兩端的邊界條件是位移邊界條件或力邊界條件；

(4)由假設(shè)的模態(tài)解代入階梯梁各分段的彎曲自由振動方程，求出各分段的振型函數(shù)yi(x)形式，其中振型函數(shù)含有未知的待定系數(shù)及梁的圓頻率，需由邊界條件確定待定系數(shù)；所述的待定系數(shù)是由邊界條件確定的未知的積分常數(shù)；寫出每兩段梁分界截面處的連續(xù)性條件，包括撓度連續(xù)性條件、轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件、剪力連續(xù)性條件、彎矩連續(xù)性條件，得到分界截面處的四個(gè)連續(xù)性方程；

(5)將含有待定系數(shù)及固有圓頻率的模態(tài)解帶入邊界條件及分段截面處的連續(xù)性條件，得到相應(yīng)的邊界條件方程及連續(xù)性方程；

(6)求解邊界條件方程及連續(xù)性方程，聯(lián)立求解方程組，利用消元法得到只含兩個(gè)待定系數(shù)及固有圓頻率的方程組；將模態(tài)解代入自由振動方程，分別解得每段的振型函數(shù)，每段的振型函數(shù)里含有四個(gè)待定系數(shù)及階梯梁的固有圓頻率；

(7)根據(jù)方程組有非零解的條件求出頻率方程；將第六步得到的振型函數(shù)代入模態(tài)解，所得模態(tài)解再代入前面列出的邊界條件及連續(xù)性條件，聯(lián)立求解邊界條件方程及連續(xù)性方程，依次消去各待定系數(shù)，得到只含兩個(gè)待定系數(shù)及固有圓頻率、由兩個(gè)方程所組成的方程組；

(8)再利用matcad軟件求解頻率方程得到一階固有圓頻率值。

根據(jù)方程組有非零解的充分與必要條件，即系數(shù)行列式值為零，得到一個(gè)方程，該方程即為階梯型桿件各階固有圓頻率所滿足的方程，借助于matcad軟件求解該方程可得到一階固有圓頻率。

所述的等直桿彎曲振動理論的彎曲自由振動方程：

其中，ei為梁的抗彎剛度，ρ為梁單位體積的質(zhì)量，a為梁的橫截面面積，y(x,t)為梁的x處截面在時(shí)刻t的振動位移。

所述的階梯梁各分段的彎曲自由振動方程的形式為：

其中，

所述的基于分離變量法假設(shè)階梯梁各段的模態(tài)解的形式為：

y1(x,t)＝y(tǒng)1(x)e^iωt，y2(x,t)＝y(tǒng)2(x)e^iωt，…,yn(x,t)＝y(tǒng)n(x)e^iωt，

其中i為虛數(shù)單位，yi(x)為各分段的振型函數(shù)，ω為階梯梁的固有圓頻率。

所述的各分段的振型函數(shù)yi(x)形式為：

y1(x)＝(c1cosβ1x+c2sinβ1x+c3chβ1x+c4shβ1x)

y2(x)＝(d1cosβ2x+d2sinβ2x+d3chβ2x+d4shβ2x)

…

其中c2,c2,c3,c4,d1,d2,d3,d4,為待定系數(shù)。

所述的整梁兩端的邊界條件包括：位移邊界條件及力邊界條件；當(dāng)已知邊界位移時(shí)，列出位移邊界條件，有邊界彎曲撓度、轉(zhuǎn)角條件；當(dāng)已知邊界力時(shí)，列出力的邊界條件，包括邊界剪力或彎矩條件；每一個(gè)邊界可列出兩個(gè)方程：

當(dāng)已知邊界撓度時(shí)，有邊界撓度方程y(x,t)|γ＝f1(t)，f1(t)為已知的邊界撓度函數(shù)；特殊地，對于固定端約束的邊界，有y(x,t)|γ＝0；

當(dāng)已知邊界轉(zhuǎn)角時(shí)，有邊界轉(zhuǎn)角方程f2(t)為已知的邊界轉(zhuǎn)角函數(shù)；特殊地，對于固定端約束的邊界，有

當(dāng)已知邊界剪力時(shí)，有邊界剪力方程f3(t)為已知的邊界剪力函數(shù)；特殊地，對于無力作用的自由邊界，有

當(dāng)已知邊界彎矩時(shí)，有邊界剪力方程f4(t)為已知的邊界彎矩函數(shù)；特殊地，對于無力作用的自由邊界，有

上述方程中的γ均為邊界。

所述的整梁兩端的分段截面處的連續(xù)性條件是：在階梯梁的分段連接處，相鄰兩段在該連接截面上的撓度相等、轉(zhuǎn)角相等、剪力相等、彎矩相等；每個(gè)連接截面處列出四個(gè)連續(xù)性方程：

分別為y1(xk,t)|＝y(tǒng)2(xk,t)，

所述的聯(lián)立求解方程組為求解邊界條件方程及連續(xù)性方程，所述的求解二個(gè)方程的方法是：采取消元法，得到只含兩個(gè)待定系數(shù)及固有圓頻率的方程組；所述的固有圓頻率的方程組必須依據(jù)具體的邊界條件列出，不同的邊界條件，方程組的形式各不相同。

所述的方程組有非零解的條件是：方程組的系數(shù)行列式的值為零，從而得到頻率方程。

所述的求解一階固有圓頻率的方法，是指利用matcad軟件求解方程的功能模塊求解頻率方程，得到一階固有圓頻率值。所述的頻率方程復(fù)雜，采用手工及一般的軟件不方便求解，借助mathcad軟件求解最直觀方便。

實(shí)施例1：以圖1所示的懸臂階梯梁為例，給出了其彎曲振動的固有圓頻率方程，該方程適用于不同截面性狀、不同截面尺寸及分段長度的懸臂階梯梁。

如圖1所示，設(shè)階梯梁的總長度為l，左段梁l1的單位體積質(zhì)量為ρ1，橫截面面積a1，軸慣性距為i1，材料的彈性模量為e1；右段梁l2的單位體積質(zhì)量為ρ2，橫截面面積為a2，軸慣性距為i2，材料的彈性模量為e2，即兩段梁的抗彎剛度分別為e1i1、e2i2。

設(shè)y(x,t)為階梯梁距坐標(biāo)原點(diǎn)x處的截面在t時(shí)刻的橫向振動位移，根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)中伯努利-歐拉梁(bernoulli-eulerbeam)的橫向強(qiáng)迫振動方程

其中，ρ為梁單位體積的質(zhì)量，q(x,t),m(x,t)分別為梁單位長度的分布力、分布力偶。

由式(1)得到等直梁的橫向自由振動方程為

其中，

令y1(x,t)為左段梁的位移，y2(x,t)為右段梁的位移，則y1(x,t)、y2(x,t))滿足

其中，

左端固定端邊界條件

y1(0,t)＝0(5)

y1′(0,t)＝0(6)

右端自由端邊界條件

y2″(l,t)＝0(7)

y2″′(l,t)＝0(8)

左右兩段梁分界截面處的位移連續(xù)性條件

y1(l1,t)＝y(tǒng)2(l1,t)(9)

y1′(l1,t)＝y(tǒng)′2(l1,t)(10)

左右兩段梁分界截面處的彎矩連續(xù)性條件

e1i1y1″(l1,t)＝e2i2y′2′(l1,t)(11)

左右兩段梁分界截面處的剪力連續(xù)性條件

e1i1y1″′(l1,t)＝e2i2y′2″(l1,t)(12)

基于分離變量法，設(shè)模態(tài)解

y1(x,t)＝y(tǒng)1(x)e^iωt(13)

y2(x,t)＝y(tǒng)2(x)e^iωt(14)

式(13)、式(14)分別代入式(3)、式(4)得到

y1(x)＝(c1cosβ1x+c2sinβ1x+c3chβ1x+c4shβ1x)(15)

y2(x)＝(d1cosβ2x+d2sinβ2x+d3chβ2x+d4shβ2x)(16)

其中，

由邊界條件(5)得到：

y1(0)＝0：即c1+c3＝0(17)

由邊界條件(6)得到：

c2+c4＝0(18)

由邊界條件(7)得到：

d1cosβ2l+d2sinβ2l-d3chβ2l-d4shβ2l＝0(19)

由邊界條件(8)得到：

d1sinβ2l-d2cosβ2l+d3shβ2l+d4chβ2l＝0(20)

由邊界條件(9)得到：

c1cosβ1l1+c2sinβ1l1+c3chβ1l1+c4shβ1l1＝d1cosβ2l1+d2sinβ2l1+d3chβ2l1+d4shβ2l1(21)

由邊界條件(10)得到

β1(-c1sinβ1l1+c2cosβ1l1+c3shβ1l1+c4chβ1l1)＝β2(-d1sinβ2l1+d2cosβ2l1+d3shβ2l1+d4chβ2l1)(22)

由邊界條件(11)得到

e1i1y1″(l1)＝e2i2y2″(l1)，即

e1i1β1²(-c1cosβ1l1-c2sinβ1l1+c3chβ1l1+c4shβ1l1)＝e2i2β2²(-d1cosβ2l1-d2sinβ2l1+d3chβ2l1+d4shβ2l1)(23)

由邊界條件(12)得到

e1i1β1³(c1sinβ1l1-c2cosβ1l1+c3shβ1l1+c4chβ1l1)＝e2i2β2³(d1sinβ2l1-d2cosβ2l1+d3shβ2l1+d4chβ2l1)(24)

特殊地，對于同一材料構(gòu)成的等截面直桿，有e1i1＝e2i2，a1＝a2，β1＝β2，l1＝l，代入(17)～(24)式得到

c3(chβl+cosβl)+c4(shβl+sinβl)＝0(25)

c3(shβl-sinβl)+c4(chβl+cosβl)＝0(26)

上述方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式值為零，即

得到

cosβlchβl＝-1(27)

上式即為等直桿彎曲振動的頻率方程，該方程與文獻(xiàn)[1]中的解答完全一致。

對于非等截面的階梯梁，由式(17)、式(18)得到

c1＝-c3(28)

c2＝-c4(29)

由式(19)、(20)得到

由式(21)得到

令：

式(a)可簡化為

由式(22)得到

β1[c3(shβ1l1+sinβ1l1)+c4(chβ1l11-cosβ1l1)]＝

-β2sinβ2l1[d3(cosβ2lchβ2l-sinβ2lshβ2l)+d4(cosβ2lshβ2l-sinβ2lchβ2l)]

+β2cosβ2l1[d3(cosβ2lshβ2l+sinβ2lchβ2l)+d4(cosβ2lchβ2l+sinβ2lshβ2l)]

+d3β2shβ2l1+d4β2chβ2l1)

＝d3β2[cosβ2l1(cosβ2lshβ2l+sinβ2lchβ2l)-sinβ2l1(cosβ2lchβ2l-sinβ2lshβ2l)+shβ2l1]

+d4β2[cosβ2l1(cosβ2lchβ2l+sinβ2lshβ2l)-sinβ2l1(cosβ2lshβ2l-sinβ2lchβ2l)+chβ2l1]

＝d3β2[chβ2lsinβ2(l-l1)+shβ2lcosβ2(l-l1)+shβ2l1]

+d4β2[chβ2lcosβ2(l-l1)+shβ2lsinβ2(l-l1)+chβ2l1]

即

令：

則式(c)可簡化為：

β1(c3g+c4h)＝β2(d3c+d4d)(33)

由式(23)得到

令：

則式(e)可簡化為：

e1i1β1²[c3e+c4f]＝e2i2β2²[bd3+dd4](34)

由式(24)得到

令：

則式(g)可簡化為：

e1i1β1³[c3g+c4h]＝e2i2β2³[d3a+d4c](35)

聯(lián)立求解式(32)、(33)、(34)、(35)，先從式(34)、(35)中求出d3、d4

e2i2β2³d3(ad-bc)＝e1i1β1²[c3(β1gd-β2ce)+c4(β1hd-β2fc)](36)

e2i2β2³d4(ad-bc)＝e1i1β1²[c3(β2ae-β1gb)+c4(β2af-β1bh)](37)

然后代入式(32)、(33)，可以得到關(guān)于c3、c4的方程組

其中

m＝e2i2β2³(ad-bc)，n＝e2i2β2²(ad-bc)(i)

由線性方程組有非零解的充要條件(方程組的系數(shù)行列式的值為零)，得到頻率方程

式(40)即為懸臂階梯梁的固有圓頻率方程。其中，含有代求的圓頻率ω。

由于式(40)很復(fù)雜，人工無法直接求解。下面利用mathcad軟件進(jìn)行求解，把式(40)輸入mathcad軟件中，利用mathcad軟件求解方程的功能模塊，可以得到一階固有圓頻率。

下面分幾種情況求解懸臂階梯梁的一階固有圓頻率，在下文中一階固有圓頻率簡稱為基頻：

一、橫截面為圓截面

設(shè)圖1中左段梁l1的直徑為d1，橫截面面積軸慣性距為右段梁l2的直徑為d2，橫截面面積為軸慣性距為

1.l1和l2取不同比值

任意設(shè)：d1＝40mm，d2＝38mm，e1＝e2＝210gpa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m³，懸臂階梯梁總長度l＝0.15m。利用mathcad軟件求解出不同長度比值下懸臂階梯梁的彎曲振動基頻(如表1)，再根據(jù)表1繪制出不同長度比值下振動基頻的變化曲線圖(如圖2)。由圖2可知，懸臂階梯梁的振動基頻隨著兩段梁長度比值的不斷增大而逐步遞增。

表1不同長度比值下懸臂階梯梁的基頻(圓截面)

2、直徑d1:d2取不同比值

任意設(shè)：l1＝0.117m，l2＝0.033m，e1＝e2＝210gpa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m³，改變懸臂階梯梁左右兩段梁的直徑，利用mathcad軟件求解出不同直徑比值下的振動基頻(如表2)，再根據(jù)表2繪制出振動基頻的變化曲線圖(如圖3)。由圖3可知，，振動基頻隨著直徑比值的增大呈非線性遞增趨勢。

表2不同直徑比值下懸臂階梯梁的振動基頻(圓截面)

3.左右兩段梁取不同材料或不同抗彎剛度

任意設(shè)：l1＝0.117m，l2＝0.033m，d1＝40mm，d2＝38mm，改變階梯梁兩段的材料，即改變兩段梁的彈性模量e1、e2(如表3)，利用mathcad軟件求解出不同材料下階梯梁的彎曲振動基頻(如表4)，再根據(jù)表4繪制出不同材料的圓形截面階梯梁振動基頻的變化曲線圖(如圖4)。由圖4可知，此時(shí)基頻隨材料比值的增加呈振蕩變化。

表3不同材料所對應(yīng)的彈性模量及抗彎剛度

表4不同材料下懸臂階梯梁的振動基頻(圓截面)

二、橫截面為矩形截面

設(shè)左段梁l1的截面寬為b1，高為h1，面積a1＝b1·h1，其中一個(gè)軸慣性矩為右段梁l2的寬為b2，高為h2，面積a2＝b2·h2，其中一個(gè)軸慣性矩為

1.l1和l2取不同比值

給定懸臂階梯梁左右兩段的橫截面面積及材料，任意設(shè)：b1＝40mm，h1＝30mm，b2＝38mm，h2＝28mm，e1＝e2＝210gpa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m³，l＝0.15m，取階梯梁左右兩段梁l1和l2的不同長度比值，利用mathcad軟件求解出不同長度比值下懸臂階梯梁的彎曲振動基頻(如表5)，再根據(jù)表5繪制出不同長度比值下振動基頻的變化曲線圖(如圖5)。由圖5可知，懸臂階梯梁的振動基頻隨著兩段梁長度比值的不斷增大而逐步遞增。

表5不同長度比值下懸臂階梯梁的基頻(矩形截面)

2、橫截面積a1:a2取不同比值

給定懸臂階梯梁左右兩段梁的長度及材料，即任意設(shè)：l1＝0.117m，l2＝0.033m，e1＝e2＝210gpa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m³，改變懸臂階梯梁左右兩段梁的橫截面積(如表6)，利用mathcad軟件求解出橫截面積取不同比值時(shí)懸臂階梯梁彎曲振動的基頻(如表7)，再根據(jù)表7繪制出不同橫截面積比值下懸臂階梯梁彎曲振動基頻的變化曲線圖(如圖6)。由圖6可知，懸臂階梯梁的振動基頻隨著兩段梁橫截面積比值的不斷增大而逐步遞增。

表6懸臂階梯梁左右兩段梁的橫截面積之比(矩形截面)

表7不同橫截面積下懸臂階梯梁的振動基頻(矩形截面)

3.左右兩段取不同材料或不同抗彎剛度

給定矩形截面懸臂階梯梁兩段梁的長度及兩段梁的橫截面積，任意設(shè)：l1＝0.117m，l2＝0.033m，b1＝40mm，h1＝30mm，b2＝38mm，h2＝28mm；改變懸臂階梯梁左右兩段梁的材料，即改變兩段梁的彈性模量e1、e2(如表8)，利用mathcad軟件求解出不同材料下懸臂階梯梁的彎曲振動基頻(如表9)，再根據(jù)表8繪制出不同材料下懸臂階梯梁彎曲振動基頻的變化曲線圖(如圖7)。

表8不同材料所對應(yīng)的彈性模量及抗彎剛度(矩形截面)

表9不同材料下懸臂階梯梁的振動基頻(矩形截面)