本發(fā)明涉及工程結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。

背景技術(shù)：

不確定因素普遍存在于工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計技術(shù)沒有考慮設(shè)計、生產(chǎn)和操作過程中的不確定性，然而，由于材料屬性、載荷環(huán)境和幾何尺寸的不確定性，結(jié)構(gòu)性能往往具有一定的變異性，若忽略掉這些不確定因素，按確定性結(jié)果設(shè)計的結(jié)果可能會發(fā)生預(yù)期之外的失效。所以，優(yōu)化設(shè)計過程必須合理計及系統(tǒng)不確定性的影響。

傳統(tǒng)確定性設(shè)計程序通過使用安全因子或者最差工況設(shè)計方案來解決不確定性和可靠性問題。這種做法從定性的角度考慮了不確定性的作用，而沒有量化地描述系統(tǒng)的概率性質(zhì)。因此，確定性設(shè)計程序?qū)е铝藘煞N設(shè)計類型：或者是充分保守的設(shè)計，對不確定性過度評估，或者由于不確定性而存在潛在的威脅。

可靠性分析方法在最近幾年一直在發(fā)展，并已在分析和設(shè)計中集成了幾何尺寸、材料屬性、載荷和邊界條件以及操作環(huán)境等相關(guān)的多種不確定因素。這些不確定因素通過隨機(jī)變量、概率分布函數(shù)以及統(tǒng)計工具被有機(jī)的集成為一個整體。如果我們假設(shè)已經(jīng)給定了一個或多個隨機(jī)變量，那么可靠性分析的任務(wù)就是如何獲得系統(tǒng)的或組件的失效概率。

基于概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計(RBDO)是處理不確定性的有效途徑之一，在方法和應(yīng)用上都已有較為充分的研究。概率可靠性分析需要大量的樣本數(shù)據(jù)以得到關(guān)于不確定量的精確概率分布信息，然而工程中往往只能得到非常有限的樣本數(shù)據(jù)，并且，概率可靠性對隨機(jī)參數(shù)的分布信息可能是敏感的，即概率模型參數(shù)的小誤差可引起結(jié)構(gòu)可靠性計算的較大誤差。在對貧信息概率方法的長期研究中，最大熵方法常被用來較為保守地確定概率分布信息，這種方法產(chǎn)生的數(shù)據(jù)樣本接近于均勻分布。

在實際決策中，不確定量的概率分布雖不易準(zhǔn)確得到，但其變差的界限則易于確定，可使用凸模型或區(qū)間集合理論對不確定量的邊界進(jìn)行描述，在不確定量的整個范圍內(nèi)確定結(jié)構(gòu)的可靠性，這實際上得到了更為可靠的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。在這種思想指導(dǎo)下，作為RBDO方法的有益補(bǔ)充，研究者逐漸發(fā)展出多種非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(NRBDO)方法。

在NRBDO中，需要解決兩個方面的問題。一是需要合理地定義非概率可靠性，使得所得到的可靠性指標(biāo)能夠真實的評價結(jié)構(gòu)的可靠程度。二是需要解決雙層嵌套優(yōu)化的計算效率問題。另外，對于實際工程問題而言，優(yōu)化模型大都通過一些數(shù)值分析模型隱式獲得，這些模型的單次計算往往已較為耗時，而基于數(shù)值分析模型的兩層嵌套優(yōu)化將使得計算效率極為低下，這已成為當(dāng)前區(qū)間可靠性優(yōu)化研究和應(yīng)用的主要障礙。本發(fā)明討論如何將前面章節(jié)所提出的配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析方法(CRAM)和配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析方法(CIAM)與優(yōu)化算法相結(jié)合，使用近似等效的一元化方法處理可靠性約束和區(qū)間約束，擺脫內(nèi)層優(yōu)化循環(huán)，并根據(jù)不同的問題使用不同的全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的外層優(yōu)化算法，從而可精確、高效地得到不確定性結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計方案。

另外，在實際工程結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計中，人們對不確定性參數(shù)的了解程度往往不盡相同，即有一部分參數(shù)可得到足夠的信息量以支持其概率分布模型，而另一部分則由于缺乏足夠的樣本數(shù)據(jù)或者其他原因，其分布特征難以獲得，而僅能知其擾動所在界限。此時，兩種不確定性參數(shù)可分別使用隨機(jī)變量模型和區(qū)間變量模型進(jìn)行合理描述，這就導(dǎo)致了在同一問題中既包含隨機(jī)參數(shù)，同時也包含區(qū)間參數(shù)的混合不確定性模型。所以，研究概率隨機(jī)參數(shù)與區(qū)間參數(shù)并存的混合模型具有重要的實際工程意義。但這方面的工作還只是出于起步階段，需要進(jìn)一步的發(fā)展與完善。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

針對現(xiàn)有技術(shù)的缺陷，本發(fā)明提供一種在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，基于配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析算法和配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析算法，使用近似等效的一元化方法處理可靠性約束和區(qū)間約束，高效高精度的求解高維度工程隨機(jī)優(yōu)化問題和區(qū)間優(yōu)化問題。

一種在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，包括以下步驟：

步驟1、將包含不確定性的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題表示為：

式中，f(h，d)表示目標(biāo)函數(shù)，h為系統(tǒng)不確定性量形成的不確定性向量，d為設(shè)計變量形成的向量，Ω和D分別為不確定性量形成的空間和設(shè)計變量空間，r_j表示第j個包含不確定性的約束，b_j為約束r_j的容許值，根據(jù)對不確定性的不同描述將具有不同的形式，s_k表示第k個確定性約束，c_k為常量，和分別為第l個設(shè)計變量的下界值和上界值，J為可靠性約束的總個數(shù)，K為確定性約束的總個數(shù)，L為設(shè)計變量的總個數(shù)；

根據(jù)已有樣本數(shù)據(jù)的多寡，將工程結(jié)構(gòu)本身及其使用環(huán)境中的不確定性信息描述為隨機(jī)變量、區(qū)間變量或其組合形式；

步驟2、根據(jù)不確定性量的類型，建立相應(yīng)的優(yōu)化模型；

當(dāng)不確定性量為隨機(jī)變量時，建立基于概率可靠性的優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)為重量或結(jié)構(gòu)響應(yīng)的期望值，使用概率可能度水平定義約束條件；

當(dāng)不確定性量為區(qū)間變量時，建立相應(yīng)的基于非概率可靠性區(qū)間優(yōu)化模型，取重量或結(jié)構(gòu)響應(yīng)中值為目標(biāo)函數(shù)，使用區(qū)間能度水平定義相應(yīng)約束條件；

當(dāng)不確定性量為隨機(jī)參數(shù)和區(qū)間參數(shù)共存的組合形式時，建立混合可靠性模型，目標(biāo)函數(shù)使用概率期望值和區(qū)間中值共同表示，而對約束條件定義隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性指標(biāo)；

步驟3、基于配點(diǎn)型隨機(jī)/區(qū)間傳播分析方法計算步驟2中的概率可能度水平、區(qū)間能度水平和混合可靠性指標(biāo)；

步驟4、根據(jù)實際問題選用不同的優(yōu)化求解器實現(xiàn)外層優(yōu)化算法，得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值及最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)。

進(jìn)一步地，所述步驟2中當(dāng)使用隨機(jī)變量對不確定性量進(jìn)行描述時，不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計問題，表示為：

式中，μ_f為目標(biāo)函數(shù)的期望值；上標(biāo)R表示所描述的對應(yīng)參數(shù)為隨機(jī)變量，P(*)表示可能度算子，p_j為第j個隨機(jī)約束應(yīng)滿足的可能度水平；

所述步驟2中當(dāng)使用區(qū)間變量對不確定性進(jìn)行描述時，不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于非概率可靠性的確定性優(yōu)化問題，表示為：

式中，f^c為目標(biāo)函數(shù)的中值，上標(biāo)I表示所描述的對應(yīng)參數(shù)為區(qū)間變量；

所述步驟2中隨機(jī)-區(qū)間變量混合不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題描述為：在滿足混合可靠性指標(biāo)約束的條件下使得結(jié)構(gòu)重量或總費(fèi)用最?。换旌峡煽啃詢?yōu)化模型描述為：

式中，為目標(biāo)函數(shù)，和H^Ic分別為隨機(jī)向量H^R的均值向量和區(qū)間向量H^I的中值向量，G_j(d，H^R，H^I)表示第j的混合不確定性約束，β(G_j(d，H^R，H^I)≤0)為第j個功能函數(shù)要求下的混合可靠性指標(biāo)，β_j為預(yù)先給定的可靠性指標(biāo)的許用值。

進(jìn)一步地，所述步驟3中，概率可靠性指標(biāo)的確定使用結(jié)構(gòu)失效函數(shù)的矩統(tǒng)計量確定，失效函數(shù)的矩統(tǒng)計量使用配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析算法確定；非概率可靠性指標(biāo)基于區(qū)間界值確定，具體使用配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析方法得到；混合可靠性指標(biāo)使用配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析算法和配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析方法共同確定。

進(jìn)一步地，所述步驟4中，對于容易搜索到全局最優(yōu)解的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，外層優(yōu)化算法采用梯度算法，以提高優(yōu)化設(shè)計的計算效率，對于容易陷入局部最優(yōu)解的問題，選用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的進(jìn)化算法。通過配點(diǎn)型傳播分析方法，每個設(shè)計點(diǎn)只需進(jìn)行少數(shù)幾次數(shù)值分析便可獲得不確定性約束的邊界，從而避免了內(nèi)層優(yōu)化。原本基于數(shù)值分析模型的兩層嵌套優(yōu)化問題變成了單層優(yōu)化問題，計算效率得到很大程度上的提高。

由上述技術(shù)方案可知，本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明提供的一種在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，使用高效的不確定性傳播分析得到內(nèi)層失效函數(shù)的可靠性指標(biāo)，避免了嵌套優(yōu)化問題的形成。另外，本發(fā)明考慮了在同一問題中既包含隨機(jī)參數(shù)，同時也包含區(qū)間參數(shù)的混合不確定性模型，對區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)過程激勵下的優(yōu)化問題具有實際的工程意義。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實施例提供的在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法流程圖；

圖2為本發(fā)明實施例提供的隨機(jī)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法流程圖；

圖3為本發(fā)明實施例提供的區(qū)間可靠性優(yōu)化設(shè)計方法流程圖；

圖4為本發(fā)明實施例提供的混合可靠性指標(biāo)示意圖；

圖5為本發(fā)明實施例提供的混合不確定性環(huán)境下優(yōu)化算法流程圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖和實施例，對本發(fā)明的具體實施方式作進(jìn)一步詳細(xì)描述。以下實施例用于說明本發(fā)明，但不用來限制本發(fā)明的范圍。

本實施例中一種在不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，如圖1所示，具體如下所述。

一般將包含不確定性的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題表示為：

式中，f(h，d)表示目標(biāo)函數(shù)，h為系統(tǒng)不確定性量形成的不確定性向量，d為設(shè)計變量形成的向量，Ω和D分別為不確定性量形成的空間和設(shè)計變量空間，r_j表示第j個包含不確定性的約束，b_j為約束r_j的容許值，根據(jù)對不確定性的不同描述將具有不同的形式，s_k表示第k個確定性約束，c_k為常量，和分別為第l個設(shè)計變量的下界值和上界值，J為可靠性約束的總個數(shù)，K為確定性約束的總個數(shù)，L為設(shè)計變量的總個數(shù)；

根據(jù)已有樣本數(shù)據(jù)的多寡，將工程結(jié)構(gòu)本身及其使用環(huán)境中的不確定性信息描述為隨機(jī)變量、區(qū)間變量或其組合形式。

根據(jù)不確定性量的類型，建立相應(yīng)的優(yōu)化模型。

(1)當(dāng)不確定性量為隨機(jī)變量時，建立基于概率可靠性的優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)為重量或結(jié)構(gòu)響應(yīng)的期望值，使用概率可能度水平定義約束條件。此時，不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計問題，表示為：

式中，μ_f為目標(biāo)函數(shù)的期望值；上標(biāo)R表示所描述的對應(yīng)參數(shù)為隨機(jī)變量，P(*)表示可能度算子，p_j為第j個隨機(jī)約束應(yīng)滿足的可能度水平。

對約束進(jìn)行可靠性分析用來確定隨機(jī)系統(tǒng)的失效概率P_f。常用的計算失效概率的可靠性方法有一次二階矩法(FOSM)和二次二階矩法(SOSM)。一次二階矩方法的基本思想是將功能函數(shù)g(h)在域內(nèi)某點(diǎn)處(均值點(diǎn)或者驗算點(diǎn))進(jìn)行一階Taylor展開，失效面為一平面，而SOSM則將Taylor展開的項數(shù)擴(kuò)展至二階，使用失效面的主曲率給出系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)，一般來說比FOSM具有更高地精度。兩種方法的基礎(chǔ)均是使用正態(tài)分布隨機(jī)變量描述不確定性量，假如隨機(jī)變量是相關(guān)的，首先需要將其變換為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且當(dāng)隨機(jī)變量不能由正態(tài)分布滿意地模擬時，要進(jìn)行從非正態(tài)分布到正態(tài)分布的變換。

對應(yīng)系統(tǒng)的每種失效模式，給定一組變量h，需要確定系統(tǒng)是處于失效狀態(tài)還是安全狀態(tài)，此時，變量域空間Ω被分割成失效域Ω_f和安全域Ω_s兩部分，兩區(qū)域Ω_f和Ω_s的界面稱為失效面或極限狀態(tài)面，失效函數(shù)可表示為

g(h)＝g(h₁，…，h_N) (5)

而隨機(jī)變量

M＝g(H) (6)

稱為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)或安全余量。

設(shè)H_i，i＝1，…，N是正態(tài)分布且相互獨(dú)立，則定義可靠性指標(biāo)為

式中，μ_M為安全余量M的均值，σ_M為安全余量M的標(biāo)準(zhǔn)差。則系統(tǒng)的失效概率為

P_f＝Φ(-β)＝1-Φ(β) (8)

式中，Φ(*)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。

由于可靠性指標(biāo)β與失效概率P_f具有式(8)所示的函數(shù)關(guān)系，故式(1)所示的優(yōu)化問題通常可等價地轉(zhuǎn)換為

式中，β為對第j個隨機(jī)約束計算可靠性指標(biāo)，b_j由約束r_j的容許值具體化為容許可靠度。

與FORM和SOSM不同，本發(fā)明使用配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析方法確定式(7)中β的取值。注意到式(6)為多維隨機(jī)變量的函數(shù)，而可靠性指標(biāo)β的定義只使用到了M的均值和方差，則由結(jié)構(gòu)功能函數(shù)等效積分弱形式可知，可使用N個一元分解函數(shù)的線性組合代替結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(H)，在4階精度下高效求取功能函數(shù)的均值和方差。為此，令

式中，上標(biāo)c表示取相應(yīng)變量的均值，表示僅令h_i為變量，而其余變量在均值處取常數(shù)的一元函數(shù)。則有

式中，μ_M為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(H)的均值，為一元分解函數(shù)的均值，為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(H)的方差，為一元分解函數(shù)的方差，g^c為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(H)在點(diǎn)H＝H^c處的值。從而可定義可靠性指標(biāo)為

由于這里討論的是多維隨機(jī)變量問題，且由于各隨機(jī)變量之間的統(tǒng)計獨(dú)立性，根據(jù)中心極限定理，M的分布將隨隨機(jī)變量數(shù)目的增加而漸進(jìn)于正態(tài)分布。這里將式(13)代入式(8)，可得系統(tǒng)的失效概率P_f的近似估計。

對于將不確定量描述為隨機(jī)變量的系統(tǒng)，根據(jù)隨機(jī)可靠性分析將問題轉(zhuǎn)換為如式(2)或式(9)所示的確定性優(yōu)化問題，考慮到實際工程問題的多樣性，外層優(yōu)化算法可選用不同的優(yōu)化求解器，對于容易搜索到全局最優(yōu)解的問題，使用梯度算法以提高優(yōu)化設(shè)計的計算效率，而對于容易陷入局部最優(yōu)解的問題，可選用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的進(jìn)化算法，如圖2所示，算法流程如下：

步驟(1-a)、對外層優(yōu)化求解器產(chǎn)生的設(shè)計向量個體d^*，計算隨機(jī)約束的可靠性指標(biāo)β_j或失效概率P_f(j)；

步驟(1-b)、基于目標(biāo)函數(shù)值和可靠性指標(biāo)β_j或失效概率P_f(j)，計算罰函數(shù)值和適應(yīng)度值；

步驟(1-c)、進(jìn)行最大迭代步數(shù)判斷和對適應(yīng)度值進(jìn)行收斂性判斷，得到最優(yōu)適應(yīng)度值和最優(yōu)設(shè)計向量。

(2)當(dāng)不確定性量為區(qū)間變量時，建立相應(yīng)的基于非概率可靠性區(qū)間優(yōu)化模型，取重量或結(jié)構(gòu)響應(yīng)中值為目標(biāo)函數(shù)，使用區(qū)間能度水平定義相應(yīng)約束條件。此時，不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于非概率可靠性的確定性優(yōu)化問題，表示為：

式中，f^c為目標(biāo)函數(shù)的中值，上標(biāo)I表示所描述的對應(yīng)參數(shù)為區(qū)間變量。

在區(qū)間分析方法中，使用區(qū)間能度方法定量地描述一個區(qū)間大于另一個區(qū)間的具體程度。考慮區(qū)間A^I和B^I的所有可能位置關(guān)系，可以歸納為6種不同情況而得到一種區(qū)間可能度的“6公式模型”。使用時需要判斷兩個區(qū)間A^I和B^I上下界的比較關(guān)系。本實施例給出不需判斷兩個區(qū)間上下界關(guān)系的“1公式模型”，如式(14)所示，相比“6公式模型”更加實用，便于程序的編制。

基于可能度的概念給出了兩個區(qū)間之間相互比較的方案，使得對于任意給定的兩個區(qū)間，能夠判斷一個區(qū)間大于另一個區(qū)間的可能度水平，這也使得式(12)中的確定性優(yōu)化問題能夠順利得到解決。但在轉(zhuǎn)化后的確定性優(yōu)化問題式(12)的區(qū)間約束中，除了需要給出兩個區(qū)間相互比較的方案，還需要準(zhǔn)確高效的確定約束所在的區(qū)間界值和而這可通過配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析方法得到。為了在計算精度與計算效率上取得更好的平衡，了解變量對響應(yīng)函數(shù)的影響程度是有好處的。若區(qū)間變量所在的區(qū)間較窄，或約束函數(shù)對其不甚敏感，這時可使用基于Taylor展開傳播分析算法(TIAM)得到約束函數(shù)的區(qū)間界值[r_j^-，r_j⁺]。相反，若區(qū)間變量所在范圍較寬，約束函數(shù)對其敏感，或不易知道其靈敏程度如何時，則使用基于Chbyshev多項式的傳播分析算法(CIAM)得到約束函數(shù)的區(qū)間界值[r_j^-，r_j⁺]。

對于將不確定量描述為區(qū)間變量的系統(tǒng)，根據(jù)改進(jìn)的區(qū)間能度可靠性將問題轉(zhuǎn)換為如式(12)所示的確定性優(yōu)化問題，考慮到實際工程問題的多樣性，外層優(yōu)化算法可選用不同的優(yōu)化求解器，對于容易陷入局部最優(yōu)解的問題，可選用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的進(jìn)化算法。如圖3所示，算法流程如下：

步驟(2-a)、對外層優(yōu)化求解器產(chǎn)生的設(shè)計向量個體d^*，計算不確定約束的響應(yīng)區(qū)間。如果變量的不確定性水平較小，則利用基于Taylor展開的區(qū)間結(jié)構(gòu)分析方法，如變量的不確定性水平較大，則利用配點(diǎn)型區(qū)間分析方法；

步驟(2-b)、基于約束的上下界值，計算不確定約束的能度水平；

步驟(2-c)、基于目標(biāo)函數(shù)值和約束能度水平，計算罰函數(shù)值和適應(yīng)度值；

步驟(2-d)、進(jìn)行最大迭代步數(shù)判斷和對適應(yīng)度值進(jìn)行收斂性判斷，得到最優(yōu)適應(yīng)度值和最優(yōu)設(shè)計向量。

(3)當(dāng)不確定性量為隨機(jī)參數(shù)和區(qū)間參數(shù)共存的組合形式時，建立混合可靠性模型，目標(biāo)函數(shù)使用概率期望值和區(qū)間中值共同表示，而約束條件使用區(qū)間可靠性指標(biāo)描述。

隨機(jī)-區(qū)間變量混合不確定性環(huán)境下的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題描述為：在滿足混合可靠性指標(biāo)約束的條件下使得結(jié)構(gòu)重量或總費(fèi)用最??；混合可靠性優(yōu)化模型描述為：

式中，為目標(biāo)函數(shù)，和H^Ic分別為隨機(jī)向量H^R的均值向量和區(qū)間向量H^I的中值向量，G_j(d，H^R，H^I)(或簡稱為G_j)表示第j的混合不確定性約束，β(G_j(d，H^R，H^I)≤0)(或簡稱為β)為第j個功能函數(shù)要求下的混合可靠性指標(biāo)，β_j為預(yù)先給定的可靠性指標(biāo)的許用值。

對于同時含有隨機(jī)變量和區(qū)間變量的問題，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可表示為

其中，為N₁維隨機(jī)向量，為N₂維的區(qū)間向量。式(15)表示了一個具有混合變量的多元函數(shù)，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)兼具隨機(jī)性和區(qū)間性的特征，即若給定隨機(jī)向量的一次實現(xiàn)安全余量M將為區(qū)間變量，傳播分析的任務(wù)為找到安全余量M的界值范圍M^I＝[M^-，M⁺]；若給定區(qū)間向量的一次實現(xiàn)則安全余量M將為隨機(jī)變量，傳播分析的任務(wù)則為得到安全余量M的各階矩統(tǒng)計量，尤其是均值μ_M和標(biāo)準(zhǔn)差值σ_M。現(xiàn)隨機(jī)變量和區(qū)間變量共存于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)中，單方面地使用界值范圍或者矩統(tǒng)計量將不能正確地反映結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的組合響應(yīng)問題，而使用兩者的組合將是一個恰當(dāng)?shù)剡x擇，即求解結(jié)構(gòu)功能函數(shù)矩統(tǒng)計量的區(qū)間界值，尤其是均值和標(biāo)準(zhǔn)差值的區(qū)間界值，即和

由配點(diǎn)型傳播分析方法可知，無論不確定性變量是隨機(jī)形式的，還是區(qū)間形式的，都可將問題進(jìn)行一元分解，從而高效高精度地得到響應(yīng)的統(tǒng)計量或者區(qū)間界值。而對于混合變量的情形，可使用下面的兩步格式得到功能函數(shù)響應(yīng)統(tǒng)計量的區(qū)間界值。

1)首先取隨機(jī)向量的一次特殊實現(xiàn)即固定隨機(jī)向量各分量取均值，此時結(jié)構(gòu)功能函數(shù)式(15)化為

此時，式(16)轉(zhuǎn)化為典型的區(qū)間變量問題，可引入?yún)^(qū)間傳播分析方法得到使結(jié)構(gòu)功能函數(shù)取上界值時的最大值點(diǎn)H^I，max，使得

和取下界值時的最小值點(diǎn)H^I，min，使得

2)釋放隨機(jī)向量在均值處取值的限制，而固定區(qū)間變量的實現(xiàn)為此時結(jié)構(gòu)功能函數(shù)轉(zhuǎn)化為

其中，M^R，max為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一種中間形式，是M⁺在釋放了隨機(jī)變量取中值限制后的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。此時引入配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析方法可得到

式中，為式(19)所示結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的均值，為式(19)的第i個一元分解函數(shù)的均值，為式(19)所示結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，為式(19)的第i個一元分解函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，為安全余量M^R，max的第i個一元分解函數(shù)，M^Rc，max為安全余量M^R，max在隨機(jī)向量取均值時的值。

另一方面，固定區(qū)間變量的實現(xiàn)為此時結(jié)構(gòu)功能函數(shù)式(15)轉(zhuǎn)化為

式中，M^R，min為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一種中間形式，是M^-在釋放了隨機(jī)變量取中值限制后的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。此時引入配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析方法可得到

式中，為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)均值的下界值，為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的下界值，為安全余量M^R，min的第i個一元分解函數(shù)，M^{Rc，min}為安全余量M^R，min在隨機(jī)向量取均值時的值。

綜合上述兩步方法所得結(jié)果，可得到量化混合不確定性環(huán)境下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前兩階統(tǒng)計量界值為

當(dāng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)式(15)中的隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布時，對于給定的實現(xiàn)在整個區(qū)間變量上，可靠性指標(biāo)β可使用形成一個集合，表示為

因為隨機(jī)變量的幾個標(biāo)準(zhǔn)差滿足

式(28)恒成立，所以可靠性指標(biāo)β的上界值和下界值可分別描述為

和

即結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)β_M也形成了一個區(qū)間變量，有

由于正態(tài)分布函數(shù)Φ(·)是單調(diào)遞增的，所以，結(jié)構(gòu)的可靠度的上界和下界可分別表示為

和

所以，具有隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性量的結(jié)構(gòu)可靠度區(qū)間為

結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)形成了一個帶狀區(qū)域，將整個空間分成了三份，即安全區(qū)域、失效區(qū)域和臨界區(qū)域，而安全區(qū)域和臨界區(qū)域的交界曲線(曲面)稱為“最可能失效面”，如圖4所示。從幾何上，最可能失效面距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，功能函數(shù)失效的概率就越小，結(jié)構(gòu)的可靠性也就越高。

對于式(4)所表達(dá)的混合不確定性優(yōu)化問題，外層優(yōu)化算法可根據(jù)實際問題選用不同的優(yōu)化求解器，對于容易搜索到全局最優(yōu)解的問題，使用梯度算法以提高優(yōu)化設(shè)計的計算效率，而對于容易陷入局部最優(yōu)解的問題，可選用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的進(jìn)化算法。優(yōu)化程序流程圖如圖5所示，具體將按照下述步驟執(zhí)行：

步驟(3-a)、對外層優(yōu)化求解器產(chǎn)生的設(shè)計向量個體d^*，將隨機(jī)變量固結(jié)在均值點(diǎn)H^Rc，引入配點(diǎn)型區(qū)間傳播分析方法，在調(diào)用確定性有限元分析的基礎(chǔ)上，得到最小值點(diǎn)向量H^I，min和最大值點(diǎn)向量H^I，max；

步驟(3-b)、根據(jù)計算得到的最小值點(diǎn)向量H^I，min和最大值點(diǎn)向量H^I，max，引入配點(diǎn)型隨機(jī)傳播分析方法，在調(diào)用確定性有限元分析的基礎(chǔ)上，得到第j的混合不確定性約束G_j的均值區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間

步驟(3-c)、根據(jù)得到的均值區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間評估第j的混合不確定性約束G_j的可靠度指標(biāo)和相應(yīng)的可靠度；

步驟(3-d)、調(diào)用確定性有限元程序計算確定性約束；

步驟(3-e)、判斷所有約束是否滿足，并對適應(yīng)度值的收斂性進(jìn)行判斷，在滿足約束且適應(yīng)度值收斂時輸出最優(yōu)適應(yīng)度值和最優(yōu)設(shè)計向量，若不滿足，則對下一個樣本點(diǎn)進(jìn)行計算直至達(dá)到最大迭代步數(shù)。

本實施例可擴(kuò)展應(yīng)用于基于不確定性傳播分析方法避免雙層嵌套優(yōu)化的不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。本實施例立足于討論基于隨機(jī)變量或區(qū)間變量的優(yōu)化設(shè)計方法，而不著重于系統(tǒng)失效模式的選取，故本發(fā)明所做的研究為單一失效模式下的優(yōu)化設(shè)計方法。對于多種失效模式的情形，可參考現(xiàn)有相關(guān)的模式組合方案。

最后應(yīng)說明的是：以上各實施例僅用以說明本發(fā)明的技術(shù)方案，而非對其限制；盡管參照前述各實施例對本發(fā)明進(jìn)行了詳細(xì)的說明，本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解：其依然可以對前述各實施例所記載的技術(shù)方案進(jìn)行修改，或者對其中部分或者全部技術(shù)特征進(jìn)行等同替換；而這些修改或者替換，并不使相應(yīng)技術(shù)方案的本質(zhì)脫離本發(fā)明權(quán)利要求所限定的范圍。