本發(fā)明涉及電子產(chǎn)品回收領(lǐng)域，更具體的說，尤其涉及一種非對稱制造商與競爭回收商在競爭回收模式下的定價方法。

背景技術(shù)：

隨著科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展以及人們生活水平消費水平的提高，電器電子產(chǎn)品很大程度地改變了人類的生活方式。家用電器、手機、電腦等各類電器電子產(chǎn)品不僅結(jié)構(gòu)外觀不斷推陳出新，智能化水平也越來越高，導(dǎo)致現(xiàn)在電子產(chǎn)品的生命周期大大縮短，大量的廢棄電器電子產(chǎn)品產(chǎn)生。但是這些廢棄電器電子產(chǎn)品還具有一定的殘余價值，如果將這些直接丟棄，不僅會造成資源的巨大浪費，而且還會污染生存環(huán)境。

一方面，大量的廢棄電器電子產(chǎn)品帶來了嚴重的環(huán)境問題。這些廢棄產(chǎn)品不僅含有大量的可重復(fù)使用的零部件，而且對環(huán)境也有很大的危害，含有大量的汞、鉛等重金屬以及其它有毒物質(zhì)，如果處理不當，會對生態(tài)環(huán)境和人類健康構(gòu)成嚴重威脅。另一方面，現(xiàn)代工業(yè)對原材料和能源的消耗使得自然資源日益緊缺。全球的礦產(chǎn)資源現(xiàn)有的存儲量已經(jīng)非常有限，而廢氣電器電子產(chǎn)品中的重金屬不僅是寶貴的再生資源，同樣也是廢舊電子產(chǎn)品回收利益的重要組成部分。若能將這些寶貴的資源加以利用，不僅可以緩解環(huán)境壓力，還能夠變廢為寶，緩解工業(yè)發(fā)展需求與資源緊缺的矛盾。

面對嚴峻的資源短缺和環(huán)境污染問題，世界各國相繼出臺了很多相關(guān)法律法規(guī)，使得制造商必須承擔(dān)更多的社會責(zé)任，盡可能地開發(fā)利用廢棄電器電子產(chǎn)品中的可用資源，使其蘊含的巨大價值得到回收再利用。進行廢棄物回收再利用不僅是政策的要求，也是可持續(xù)發(fā)展的趨勢，同時也可以為制造企業(yè)節(jié)省成本。與直接從原材料加工制造成新產(chǎn)品相比，對廢舊產(chǎn)品進行回收再利用的資源成本更低，能源消耗更小，據(jù)統(tǒng)計回收再利用的過程一般比新產(chǎn)品的制造過程節(jié)約40％-65％的成本。然而，由于廢舊品的回收涉及到多方利益體的博弈，是一個相當繁瑣且不確定的過程，假如不能選擇合理的回收方式，企業(yè)很可能被廢舊產(chǎn)品的回收所累。因此，企業(yè)需要相關(guān)的決策指導(dǎo)，基于博弈論的逆向供應(yīng)鏈研究可以給從事回收再制造運作的企業(yè)或政府相關(guān)管理部門提供一定的指導(dǎo)建議。

因此，對逆向供應(yīng)鏈的研究具有豐富的學(xué)術(shù)研究價值和企業(yè)經(jīng)濟價值。不僅能促進我國建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會的進程，而且好順應(yīng)勒循環(huán)經(jīng)濟這一重大戰(zhàn)略，提高整合社會資源的能力，促使我國國民經(jīng)濟的發(fā)展能夠全面快速地步入循環(huán)經(jīng)濟軌道。

近年來由于環(huán)境及資源問題的凸顯，國內(nèi)外學(xué)者對逆向供應(yīng)鏈的研究越來越多。目前關(guān)于逆向供應(yīng)鏈問題的關(guān)注和研究大都主要集中在建立單一的制造商、零售商與消費者的基礎(chǔ)上，對制造商和銷售商之間進行定價或合同制定等方面進行研究，而關(guān)于非對稱制造商與競爭回收商之間的研究較少。非對稱制造商指的是制造企業(yè)的規(guī)模大小不相同的制造商，競爭回收商是指相互之間存在競爭關(guān)系的回收商；逆向供應(yīng)鏈中非對稱制造商與競爭回收商是兩個重要節(jié)點，基于博弈論考慮非對稱制造商和競爭回收商，分析逆向供應(yīng)鏈中各參與者的利潤變化，這是涉及到多種策略分析和各利益相關(guān)者之間的博弈，是一個相當復(fù)雜的領(lǐng)域，具有豐富的理論研究價值。

在中國，廢棄電器電子產(chǎn)品數(shù)量急劇增加但其回收極不規(guī)范，參與回收的企業(yè)越來越多，而回收行業(yè)整體利潤偏低，如何提高回收參與企業(yè)的利潤，增強回收企業(yè)的回收再制造積極性是一個急需解決的問題。一般情況下，逆向供應(yīng)鏈系統(tǒng)主要由消費者、回收商、制造商這三個節(jié)點構(gòu)成，其中，第一個節(jié)點消費者是電器電子產(chǎn)品的購買者或直接使用者，是廢棄品的直接產(chǎn)生者，同時也是逆向供應(yīng)鏈的開端；第二個節(jié)點回收商是制造商與消費者之間的連接樞紐，是促進電子產(chǎn)品回收的關(guān)鍵節(jié)點；第三個節(jié)點是制造商或者進口商，制造商即是新產(chǎn)品的提供者，還是再制造過程的具體踐行者，制造商的再制造效率與再制造的順利推行息息相關(guān)。

針對制造商與回收商這兩個逆向供應(yīng)鏈系統(tǒng)的節(jié)點，這兩個節(jié)點的企業(yè)規(guī)模、市場容量、運營效率等不僅影響各自的成本，更是對整個回收行業(yè)的模式選擇起著至關(guān)重要的作用。制造商與回收商的定價策略需根據(jù)現(xiàn)實條件與時俱進，在不同條件下選擇不同的定價策略，使得逆向供應(yīng)鏈的制造商與回收商這兩個節(jié)點的利潤最大化，這樣才能確保廢棄電器電子產(chǎn)品回收供應(yīng)鏈系統(tǒng)可以健康而持續(xù)地運轉(zhuǎn)，并且加快廢棄電器電子產(chǎn)品市場的規(guī)范化進程。因此，在非對稱制造商的條件下，研究競爭回收商競爭回收模式下制造商和回收商的定價方法，以提高制造商和回收商的利潤，增強制造商與回收商回收再制造的積極性具有非常積極的意義。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于解決現(xiàn)有國內(nèi)消費者環(huán)保意識薄弱，逆向供應(yīng)鏈體系還不健全，制造商與回收商在再制造過程中獲得的利潤有限，影響制造商與回收商的回收積極性，從而導(dǎo)致逆向供應(yīng)鏈體系發(fā)展緩慢的問題，提供了一種非對稱制造商與競爭回收商在競爭回收模式下的定價方法，構(gòu)建在該條件下的兩個制造商與兩個回收商的最佳利潤函數(shù)博弈模型，采用逆向歸納法尋求均衡解和最優(yōu)解，得出該條件下制造商與回收商的定價策略和最優(yōu)利潤。

本發(fā)明通過以下技術(shù)方案來實現(xiàn)上述目的：一種非對稱制造商與競爭回收商在競爭回收模式下的定價方法，所述非對稱制造商指的是規(guī)模大小不相同的第一制造商和第二制造商，其中第一制造商的市場容量α1大于第二制造商的市場容量α2，競爭回收商指的是相互之間存在競爭關(guān)系的第一回收商和第二回收商，所述定價方法包括如下步驟：

1)建立制造商j的市場需求函數(shù)：假設(shè)市場對產(chǎn)品的需求為線性函數(shù)，則制造商j的市場需求函數(shù)為：

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j為第一制造商，j＝2是表示制造商j為第二制造商，k表示回收模式，其中k＝acs時表示回收模式為第一回收商和第二回收商相互競爭的競爭回收模式，αj表示制造商j的市場容量大小，αj>0；β表示市場需求的彈性系數(shù)，即相應(yīng)制造商產(chǎn)品的可替代程度，0≤β<1；

則在競爭回收模式下，第一制造商的市場需求函數(shù)為：

式中，α1表示第一制造商的市場容量大小，表示第一制造商在競爭回收模式下的銷售價格，表示第二制造商在競爭回收模式下的銷售價格；

第二制造商的市場需求函數(shù)為：

式中，α2表示第二制造商的市場容量大?。?/p>

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗與規(guī)模經(jīng)濟因素均相同的情況下第一制造商和第二制造商的最佳利潤函數(shù)：

由于第一制造商和第二制造商為非對稱制造商，第一制造商的市場容量α1和第二制造商的市場容量α2不相同，假設(shè)第一回收商的回收成本ηa和第二回收商的回收成本ηb消耗相同，即ηa＝ηb＝η，同時假設(shè)第一回收商的規(guī)模經(jīng)濟因素θa和第二回收商的規(guī)模經(jīng)濟因素θb相同，即θa＝θb＝θ，則可以得出第一制造商的最佳利潤函數(shù)為：

第二制造商的最佳利潤函數(shù)為：

式中，cm表示制造商制造新產(chǎn)品成本，cr表示制造商制造再制品成本，其中cr<cm，σ表示廢舊品再制造率，為第一回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費用，為第二回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費用，τ為廢舊品的回收率，且0<τ≤1；

3)建立回收商的回收量函數(shù)：

在競爭回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分別與第一制造商和第二制造商簽訂回收協(xié)議，回收商用i表示，i＝a時表示第一回收商，i＝b時表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示為：

第二回收商的回收量可表示為：

4)根據(jù)回收商的回收量函數(shù)，建立回收商的最佳利潤函數(shù)：

由于回收費用的大小與產(chǎn)品市場規(guī)模經(jīng)濟、回收率有關(guān)，因此，根據(jù)回收成本公式可以得出在第一回收商的最佳利潤函數(shù)為：

式中，η表示在不受規(guī)模經(jīng)濟影響下，回收商回收單位廢舊品所需消耗的費用；θ表示規(guī)模經(jīng)濟因素；

同時，第二回收商的最佳利潤函數(shù)為：

5)使用逆向歸納法對制造商j與回收商i的最優(yōu)利潤函數(shù)分別進行求解：

在階段二的博弈中，制造商根據(jù)制造商之間的制定銷售價格定價策略，首先第一制造商根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格然后對第一制造商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

對該式求解可得第一制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格即對于第二制造商任意銷售價格第一制造商的銷售價格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

同理，第二制造商根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格對第二制造商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

求解即可得到第二制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格即對于第一制造商的任意銷售價格第二制造商的銷售價格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

將第一制造商和第二制造商決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即聯(lián)立公式(11)和公式(13)，求得制造商銷售價格的nash均衡解為：

在階段一的博弈中，回收商根據(jù)回收的廢舊品設(shè)置回收費用，第一回收商的回收量為：

第二回收商的回收量為：

將公式(14)分別代入公式(15)和公式(16)，得到第一回收商的回收量為：

第二回收商的回收量為：

對于公式(17)和公式(18)分別關(guān)于與求導(dǎo)，可得：

第一回收商總能根據(jù)第二回收商的回收費用求解出使其利潤到達最大的銷售價格對第一回收商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即可求得第一回收商利潤最優(yōu)時的回收費用

將公式(17)和公式(19)代入公式(20)中，簡化整理可得第一回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

同理，第二回收商也總能根據(jù)給定的第一回收商的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格第二回收商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，令其一階導(dǎo)數(shù)為0時，求解可得制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格：

將公式(18)和公式(19)代入公式(22)中，整理簡化可得第二回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

將第一回收商回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)和第二回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即將公式(21)和公式(23)聯(lián)立，得到第一回收商和第二回收商向制造商j收取的均衡的回收費用的nash均衡解為：

將求解得到的第一回收商和第二回收商的回收費用的nash均衡解與分別代入公式(14)中，可以得到第一制造商和第二制造商的均衡銷售價格為：

將公式(24)和公式(25)代入公式(4)和公式(5)中，簡化整理得到第一制造商和第二制造商的最優(yōu)利潤與分別為：

將公式(15)、公式(16)、公式(24)和公式(25)代入公式(8)中，整理化簡后得到回收商i的最優(yōu)利潤與分別為：

進一步的，根據(jù)nash均衡解存在且唯一的條件，目標函數(shù)必須是關(guān)于自變量的擬凸函數(shù)，因此需要保證制造商的利潤函數(shù)是關(guān)于銷售價格的擬凸函數(shù)，同時回收商的利潤函數(shù)是關(guān)于回收費用的擬凸函數(shù)；從公式(4)和(5)可以看出，制造商的最佳利潤函數(shù)始終是關(guān)于決策變量的凸函數(shù)，因此，制造商的銷售價格的均衡解是唯一存在的；從公式(8)和(9)可以看出，回收商的利潤函數(shù)并非一直是擬凸函數(shù)，需要約束條件來保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性；

根據(jù)第一回收商和第二回收商最佳利潤函數(shù)模型中的假設(shè)條件，要保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性等同于保證回收商的利潤函數(shù)是凸函數(shù)，即回收商的利潤函數(shù)關(guān)于回收費用的二階導(dǎo)數(shù)小于等于零，即對于第一回收商來說，第一回收商的利潤函數(shù)關(guān)于回收費用的二階導(dǎo)數(shù)小于等于零，

將公式(6)求解一階導(dǎo)數(shù)并代入公式(28)中，得到：

其中，τ²>0、β²-2<0、(4-β²)²>0，因此：

4-β²+θτ²(β²-2)≥0(30)

從公式(30)的可以解出θ的取值范圍為：

即為了保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性，規(guī)模經(jīng)濟因素θ與市場需求彈性系數(shù)β和廢舊品回收率τ必須保證公式(31)的關(guān)系。

進一步的，產(chǎn)品的需求函數(shù)的取值一定是非負的，因此，在競爭回收模式下，制造商j的產(chǎn)品需求量一定是非負的；

由于在競爭回收模式下，制造商的市場需求函數(shù)為：

將公式(4)和公式(5)求解出并代入公式(32)中，經(jīng)過整理、化簡可得：

其中，δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²；

在上述的不等式(33)中，β²-2<0，λ>0，因此要想使得不等式成立，那么需要滿足

δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²<0(34)

根據(jù)公式(31)可知，θτ²(β²-2)≥4-β²且0≤β<1，因此將不等式θτ²(β²-2)≥4-β²代入公式(34)可得：

由此可以證得不等式(34)成立，即為了保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性，規(guī)模經(jīng)濟因素θ與市場需求彈性系數(shù)β和廢舊品回收率τ必須保證要滿足不等式(34)的關(guān)系。

本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明在廢棄電子產(chǎn)品逆向供應(yīng)鏈定價策略的研究中引入了非對稱制造商和競爭制造商的概念，從不同的角度研究了逆向供應(yīng)鏈的定價策略，更加貼合當前逆向供應(yīng)鏈系統(tǒng)的發(fā)展；通過構(gòu)建非對稱制造商與競爭回收商的競爭回收模式，構(gòu)建在該條件下的兩個制造商與兩個回收商之間的最有利潤函數(shù)博弈模型，采用逆向歸納法尋求均衡解和最優(yōu)解，得出該條件下制造商與回收商的定價策略和最優(yōu)利潤；本發(fā)明以制造商和回收商的最優(yōu)利潤作為出發(fā)點，得出的結(jié)果更加符合制造商和回收商切身利于需求，為制造商和回收商的定價提供了參考，因此非盈利的機構(gòu)或相關(guān)決策部門應(yīng)對整個回收系統(tǒng)起到監(jiān)管的作用，根據(jù)制造商大小規(guī)模的不同，設(shè)計出差異化的回收費用定價策略結(jié)構(gòu)，使得所有利益相關(guān)者的整體利益都得到保障，同時為政府建立關(guān)于促進廢氣電器電子產(chǎn)品回收的相關(guān)法律法規(guī)提供了理論的依據(jù)和建議。

附圖說明

圖1是本發(fā)明一種非對稱制造商與競爭回收商在競爭回收模式下的定價方法的流程示意圖。

圖2是回收商的競爭回收模式示意圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖對本發(fā)明作進一步說明：

如圖1和圖2所示，本發(fā)明運用理論結(jié)合實際、定性分析、對比分析、定量分析等方法對逆向供應(yīng)鏈定價策略模型進行研究，并以我國廢棄電器電子產(chǎn)品為數(shù)據(jù)實例進行驗證，具有一定的理論與實踐意義，為相應(yīng)的行業(yè)提供理論指導(dǎo)基礎(chǔ)，其技術(shù)路線如圖1所示，首先通過閱讀文獻總結(jié)目前的研究狀況和實際應(yīng)用的情況，然后在再制造逆向供應(yīng)鏈斯坦科爾伯格主從博弈回收模型的競爭回收模式的基礎(chǔ)上，結(jié)合國內(nèi)外逆向供應(yīng)鏈的現(xiàn)狀，建立競爭回收商競爭回收模式定價策略博弈模型；然后利用逆向歸納法求解該博弈模型的nash均衡解，在滿足nash均衡解存在且唯一和市場需求函數(shù)非負的約束條件下，對求解結(jié)果進行敏感度分析與定性比較分析；以電子產(chǎn)品的回收現(xiàn)狀為基礎(chǔ)，收集整理廢棄電子產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)數(shù)據(jù)，對上述模型進行數(shù)據(jù)驗證分析，得出不同回收模式條件下，利益相關(guān)者共贏的條件及方案，為制造商與回收商定價策略的設(shè)定以及政府建立關(guān)于促進我國電子產(chǎn)品回收的相關(guān)法規(guī)提供了理論依據(jù)。

本發(fā)明的一種非對稱制造商與競爭回收商在競爭回收模式下的定價方法，所述非對稱制造商指的是規(guī)模大小不相同的第一制造商和第二制造商，其中第一制造商的市場容量α1大于第二制造商的市場容量α2，競爭回收商指的是相互之間存在競爭關(guān)系的第一回收商和第二回收商，首先建立競爭回收商競爭回收模式下制造商和回收商的定價策略模型，以兩個制造商與兩個回收商或聯(lián)合回收商組成的逆向供應(yīng)鏈回收定價策略為研究對象，建立兩階段主從動態(tài)博弈。其中以回收商為該主從博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，回收商先在第一階段制訂向制造商收取的回收價格，而制造商則根據(jù)回收商的定價策略做出相應(yīng)銷售價格的定價策略，具體描述如下：

在階段一中，主從博弈的領(lǐng)導(dǎo)者回收商設(shè)定回收單位廢舊品向制造商收取的回收費用定價策略，在階段二中，制造商設(shè)定銷售價格定價策略，其中制造商在制定銷售價格的定價策略時需要考慮回收商對其收取的回收費用的影響，而且制造商與制造商之間存在的競爭也將直接影響其制定定價策略。使用逆向歸納法對在競爭回收商競爭回收模式中的制造商j與回收商i的最優(yōu)利潤函數(shù)分別進行求解。在兩階段博弈中，首先當?shù)谝恢圃焐淘O(shè)定了銷售價格，第二制造商根據(jù)第一制造商的銷售價格做出決策，使其利潤達到最大，同理，當?shù)诙圃焐淘O(shè)定了銷售價格，第一制造商根據(jù)第二制造商的銷售價格做出決策，使其利潤達到最大，聯(lián)立聯(lián)合反應(yīng)函數(shù)，即可得出制造商銷售價格的nash均衡解，即制造商銷售價格的定價策略；然后，同樣第一回收商與第二回收商可以得出向制造商收取的回收費用的nash均衡解，即回收商回收費用的定價策略；最后根據(jù)制造商銷售價格的均衡解和回收商回收費用的均衡解分別求出制造商利潤和回收商利潤的nash均衡解，即制造商與回收商的最優(yōu)利潤解。所述定價方法包括如下步驟：

1)建立制造商j的市場需求函數(shù)：假設(shè)市場對產(chǎn)品的需求為線性函數(shù)，則制造商j的市場需求函數(shù)為：

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j為第一制造商，j＝2是表示制造商j為第二制造商，k表示回收模式，其中k＝acs時表示回收模式為第一回收商和第二回收商相互競爭的競爭回收模式，αj表示制造商j的市場容量大小，αj>0；β表示市場需求的彈性系數(shù)，即相應(yīng)制造商產(chǎn)品的可替代程度，0≤β<1；

則在競爭回收模式下，第一制造商的市場需求函數(shù)為：

式中，α1表示第一制造商的市場容量大小，表示第一制造商在競爭回收模式下的銷售價格，表示第二制造商在競爭回收模式下的銷售價格；

第二制造商的市場需求函數(shù)為：

式中，α2表示第二制造商的市場容量大?。?/p>

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗與規(guī)模經(jīng)濟因素均相同的情況下第一制造商和第二制造商的最佳利潤函數(shù)：

由于第一制造商和第二制造商為非對稱制造商，第一制造商的市場容量α1和第二制造商的市場容量α2不相同，假設(shè)第一回收商的回收成本ηa和第二回收商的回收成本ηb消耗相同，即ηa＝ηb＝η，同時假設(shè)第一回收商的規(guī)模經(jīng)濟因素θa和第二回收商的規(guī)模經(jīng)濟因素θb相同，即θa＝θb＝θ，則可以得出第一制造商的最佳利潤函數(shù)為：

第二制造商的最佳利潤函數(shù)為：

式中，cm表示制造商制造新產(chǎn)品成本，cr表示制造商制造再制品成本，其中cr<cm，σ表示廢舊品再制造率，為第一回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費用，為第二回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費用，τ為廢舊品的回收率，且0<τ≤1；

3)建立回收商的回收量函數(shù)：

在競爭回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分別與第一制造商和第二制造商簽訂回收協(xié)議，回收商用i表示，i＝a時表示第一回收商，i＝b時表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示為：

第二回收商的回收量可表示為：

4)根據(jù)回收商的回收量函數(shù)，建立回收商的最佳利潤函數(shù)：

由于回收費用的大小與產(chǎn)品市場規(guī)模經(jīng)濟、回收率有關(guān)，因此，根據(jù)回收成本公式可以得出在第一回收商的最佳利潤函數(shù)為：

式中，η表示在不受規(guī)模經(jīng)濟影響下，回收商回收單位廢舊品所需消耗的費用；θ表示規(guī)模經(jīng)濟因素；

同時，第二回收商的最佳利潤函數(shù)為：

5)使用逆向歸納法對制造商j與回收商i的最優(yōu)利潤函數(shù)分別進行求解：

在階段二的博弈中，制造商根據(jù)制造商的直接競爭制定銷售價格定價策略，首先第一制造商能根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格然后對第一制造商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

對該式求解可得第一制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格對于第二制造商任意銷售價格第一制造商的銷售價格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

同理，第二制造商根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格對第二制造商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

即可求解得到第二制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格對于第一制造商的任意銷售價格第二制造商的銷售價格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

將第一制造商和第二制造商決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即聯(lián)立公式(11)和公式(13)，求得制造商銷售價格的nash均衡解為：

在階段一的博弈中，回收商根據(jù)回收的廢舊品設(shè)置回收費用，第一回收商的回收量分別為：

第二回收商的回收量為：

將公式(14)分別代入公式(15)和公式(16)，得到第一回收商的回收量為：

第二回收商的回收量為：

對于公式(17)和公式(18)分別關(guān)于與求導(dǎo)，可得：

第一回收商總能根據(jù)第二回收商的回收費用求解出使其利潤到達最大的銷售價格對第一回收商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即可求得第一回收商利潤最優(yōu)時的回收費用

將公式(17)和公式(19)代入公式(20)中，簡化整理可得第一回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

同理，第二回收商也總能根據(jù)給定的第一回收商的回收費用求解出使其利潤達到最大的銷售價格第二回收商的利潤函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，令其一階導(dǎo)數(shù)為0時，求解可得制造商利潤最優(yōu)時的銷售價格：

將公式(18)和公式(19)代入公式(22)中，整理簡化可得第二回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

將第一回收商回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)和第二回收商的回收費用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即將公式(21)和公式(23)聯(lián)立，得到第一回收商和第二回收商向制造商j收取的均衡的回收費用的nash均衡解為：

將求解得到的第一回收商和第二回收商的回收費用的nash均衡解與分別代入公式(14)中，可以得到第一制造商和第二制造商的均衡銷售價格為：

將公式(24)和公式(25)代入公式(4)和公式(5)中，簡化整理得到第一制造商和第二制造商的最優(yōu)利潤與分別為：

將公式(15)、公式(16)、公式(24)和公式(25)代入公式(8)中，整理化簡后得到回收商i的最優(yōu)利潤與分別為：

進一步的，根據(jù)nash均衡解存在且唯一的條件，目標函數(shù)必須是關(guān)于自變量的擬凸函數(shù)，因此需要保證制造商的利潤函數(shù)是關(guān)于銷售價格的擬凸函數(shù)，同時回收商的利潤函數(shù)是關(guān)于回收費用的擬凸函數(shù)；從公式(4)和(5)可以看出，制造商的最佳利潤函數(shù)始終是關(guān)于決策變量的凸函數(shù)，因此，制造商的銷售價格的均衡解是唯一存在的；從公式(8)和(9)可以看出，回收商的利潤函數(shù)并非一直是擬凸函數(shù)，需要約束條件來保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性；

根據(jù)第一回收商和第二回收商最佳利潤函數(shù)模型中的假設(shè)條件，要保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性等同于保證回收商的利潤函數(shù)是凸函數(shù)，即回收商的利潤函數(shù)關(guān)于回收費用的二階導(dǎo)數(shù)小于等于零，即對于第一回收商來說，第一回收商的利潤函數(shù)關(guān)于回收費用的二階導(dǎo)數(shù)小于等于零，

將公式(6)求解一階導(dǎo)數(shù)并代入公式(28)中，得到：

其中，τ²>0、β²-2<0、(4-β²)²>0，因此：

4-β²+θτ²(β²-2)≥0(30)

從公式(30)的可以解出θ的取值范圍為：

即為了保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性，規(guī)模經(jīng)濟因素θ與市場需求彈性系數(shù)β和廢舊品回收率τ必須保證公式(31)的關(guān)系。

進一步的，產(chǎn)品的需求函數(shù)的取值一定是非負的，因此，在競爭回收模式下，制造商j的產(chǎn)品需求量一定是非負的；

由于在競爭回收模式下，制造商的市場需求函數(shù)為：

將公式(4)和公式(5)求解出并代入公式(32)中，經(jīng)過整理、化簡可得：

其中，δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²；

在上述的不等式(33)中，β²-2<0，λ>0，因此要想使得不等式成立，那么需要滿足

δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²<0(34)

根據(jù)公式(31)可知，θτ²(β²-2)≥4-β²且0≤β<1，因此將不等式θτ²(β²-2)≥4-β²代入公式(34)可得：

由此可以證得不等式(34)成立，即為了保證回收商的利潤函數(shù)的擬凸性，規(guī)模經(jīng)濟因素θ與市場需求彈性系數(shù)β和廢舊品回收率τ必須保證要滿足不等式(34)的關(guān)系。

上述實施例只是本發(fā)明的較佳實施例，并不是對本發(fā)明技術(shù)方案的限制，只要是不經(jīng)過創(chuàng)造性勞動即可在上述實施例的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的技術(shù)方案，均應(yīng)視為落入本發(fā)明專利的權(quán)利保護范圍內(nèi)。