本發(fā)明涉及數(shù)值求解技術(shù)領(lǐng)域，特別是涉及一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法。

背景技術(shù)：

目前，在工程和科學(xué)領(lǐng)域里，求解線性、非線性方程或方程組是一項(xiàng)很重要的任務(wù)。由于只有少數(shù)情況能得到解析解，所以大家把重點(diǎn)均放在求其近似解或數(shù)值解上。微分求積法在1971年提出，由于其較高的計(jì)算精度和效率，越來越受到人們的重視。但是微分求積法存在一些缺陷，即在處理結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的彈性邊界時(shí)存在處理不精確，導(dǎo)致求解誤差，求解結(jié)果準(zhǔn)確性較低。

在處理結(jié)構(gòu)彈性邊界的方法中，2000年美國(guó)韋恩州立大學(xué)Li.W.L.教授在雜志《Journal of Sound and Vibration》中第237卷中發(fā)表文章《Free vibrations of beams with general boundary conditions》提出了廣義傅里葉級(jí)數(shù)，即在傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上加上附加項(xiàng)，用于滿足結(jié)構(gòu)邊界處的不連續(xù)，此方法成功解決了彈性邊界條件下梁的橫向自由振動(dòng)振動(dòng)，2007年，杜敬濤在雜志《Journal of Sound and Vibration》第306卷中發(fā)表文章《An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges》，此文章利用廣義傅里葉級(jí)數(shù)方法解決了彈性邊界矩形板的振動(dòng)問題。

目前還沒有廣義傅里葉級(jí)數(shù)和微分求積法相結(jié)合的技術(shù)出現(xiàn)以及相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提供一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法，以實(shí)現(xiàn)提高求解結(jié)果準(zhǔn)確性。

為解決上述技術(shù)問題，本發(fā)明提供一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法，該方法包括：

將需要求解的函數(shù)表示成傅里葉級(jí)數(shù)，并在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上加上附加項(xiàng)；

根據(jù)邊界條件，確定附加項(xiàng)系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系；

將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)，把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，形成各傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣；

根據(jù)所述關(guān)系矩陣求解出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，確定需要求解的函數(shù)。

優(yōu)選的，附加項(xiàng)系數(shù)由邊界條件決定。

優(yōu)選的，所述需要求解的函數(shù)包括結(jié)構(gòu)彈性邊界約束條件的微分方程。

優(yōu)選的，所述邊界條件為彈性邊界條件。

優(yōu)選的，所述將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)，包括：

對(duì)所求解的函數(shù)區(qū)間進(jìn)行離散，選取獨(dú)立點(diǎn)。

優(yōu)選的，所述把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，形成各傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣，包括：

把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，得到各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方程，形成方程組；

將方程組整理成矩陣形式，得到矩陣方程。

優(yōu)選的，所述矩陣方程中的未知系數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法，將需要求解的函數(shù)表示成傅里葉級(jí)數(shù)，并在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上加上附加項(xiàng)；根據(jù)邊界條件，確定附加項(xiàng)系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系；將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)，把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，形成各傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣；根據(jù)所述關(guān)系矩陣求解出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，確定需要求解的函數(shù)?？梢?，將微分求積法在求解微分方程時(shí)的精確性和高效性同廣義傅里葉級(jí)數(shù)在處理結(jié)構(gòu)彈性邊界條件的靈活性相結(jié)合，所構(gòu)造的改進(jìn)微分求積法將在保證計(jì)算精度的同時(shí)很好的解決結(jié)構(gòu)彈性邊界微分方程的求解，實(shí)現(xiàn)提高求解結(jié)果準(zhǔn)確性。

附圖說明

為了更清楚地說明本發(fā)明實(shí)施例或現(xiàn)有技術(shù)中的技術(shù)方案，下面將對(duì)實(shí)施例或現(xiàn)有技術(shù)描述中所需要使用的附圖作簡(jiǎn)單地介紹，顯而易見地，下面描述中的附圖僅僅是本發(fā)明的實(shí)施例，對(duì)于本領(lǐng)域普通技術(shù)人員來講，在不付出創(chuàng)造性勞動(dòng)的前提下，還可以根據(jù)提供的附圖獲得其他的附圖。

圖1為本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法的流程圖；

圖2為彈性邊界梁示意圖。

具體實(shí)施方式

本發(fā)明的核心是提供一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法，以實(shí)現(xiàn)提高求解結(jié)果準(zhǔn)確性。

為了使本技術(shù)領(lǐng)域的人員更好地理解本發(fā)明方案，下面將結(jié)合本發(fā)明實(shí)施例中的附圖，對(duì)本發(fā)明實(shí)施例中的技術(shù)方案進(jìn)行清楚、完整地描述，顯然，所描述的實(shí)施例僅僅是本發(fā)明一部分實(shí)施例，而不是全部的實(shí)施例?；诒景l(fā)明中的實(shí)施例，本領(lǐng)域普通技術(shù)人員在沒有做出創(chuàng)造性勞動(dòng)前提下所獲得的所有其他實(shí)施例，都屬于本發(fā)明保護(hù)的范圍。

請(qǐng)參考圖1，圖1為本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法的流程圖，該方法包括：

S11：將需要求解的函數(shù)表示成傅里葉級(jí)數(shù)，并在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上加上附加項(xiàng)；

S12：根據(jù)邊界條件，確定附加項(xiàng)系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系；

S13：將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)，把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，形成各傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣；

S14：根據(jù)所述關(guān)系矩陣求解出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，確定需要求解的函數(shù)。

可見，將微分求積法在求解微分方程時(shí)的精確性和高效性同廣義傅里葉級(jí)數(shù)在處理結(jié)構(gòu)彈性邊界條件的靈活性相結(jié)合，所構(gòu)造的改進(jìn)微分求積法將在保證計(jì)算精度的同時(shí)很好的解決結(jié)構(gòu)彈性邊界微分方程的求解，實(shí)現(xiàn)提高求解結(jié)果準(zhǔn)確性。

基于上述方法，具體的，附加項(xiàng)系數(shù)由邊界條件決定。其中，在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上加上附加項(xiàng)就構(gòu)成了廣義傅里葉級(jí)數(shù)。

進(jìn)一步的，所述需要求解的函數(shù)包括結(jié)構(gòu)彈性邊界約束條件的微分方程。

其中，所述邊界條件為彈性邊界條件。

進(jìn)一步的，步驟S13中，所述將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)的過程具體為：對(duì)所求解的函數(shù)區(qū)間進(jìn)行離散，選取獨(dú)立點(diǎn)。

進(jìn)一步的，步驟S13中，把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，形成各傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣的過程具體為：把帶有附加項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)代入各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，得到各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方程，形成方程組；將方程組整理成矩陣形式，得到矩陣方程。

其中，所述矩陣方程中的未知系數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。矩陣方程為微分方程對(duì)應(yīng)的矩陣方程。

具體的，將微分方程中所求函數(shù)表述成傅里葉級(jí)數(shù)加上附加項(xiàng)的形式，其中附加項(xiàng)的系數(shù)由邊界條件決定。對(duì)所求區(qū)間進(jìn)行離散，選取獨(dú)立點(diǎn)。將廣義傅里葉級(jí)數(shù)帶入各離散獨(dú)立點(diǎn)，得到各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方程。將方程組整理成矩陣形式，得到微分方程對(duì)應(yīng)的矩陣方程，方程中未知系數(shù)即傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

其中，根據(jù)彈性邊界條件控制方程確定附加項(xiàng)系數(shù)同傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)間的關(guān)系。將附加項(xiàng)級(jí)數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)表示，并將所求函數(shù)表示成只含傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的形式。將所求函數(shù)區(qū)間離散成各個(gè)獨(dú)立點(diǎn)。將廣義傅里葉級(jí)數(shù)帶入各離散獨(dú)立點(diǎn)，帶進(jìn)各離散獨(dú)立點(diǎn)，得到關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的方程組。求解方程組，得到傅里葉系數(shù)，從而確定所求函數(shù)。

詳細(xì)的，提供本方法應(yīng)用于兩端彈性約束梁控制微分方程求解的例子。基于本方法，需要求解的函數(shù)為梁的振動(dòng)控制方程。

例如，圖2所示梁的振動(dòng)控制方程是：

邊界條件是：

Dy”＝K₀y' Dy”'＝-k₀y x＝0 (2a)

Dy”＝K₁y' Dy”'＝-k₁y x＝L (2b)

其中D＝EI，設(shè)梁的位移函數(shù)為：

其中ξ_i(x)為容許函數(shù)，吸收傅里葉級(jí)數(shù)方法邊界不連續(xù)，加快傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性。

將梁的位移函數(shù)帶進(jìn)邊界條件，得到如下式子：

其中參數(shù)C₁…C₈為：

將式(5)寫成如下的矩陣形式：

其中，Q_m和A的表達(dá)式如下：

A＝{a₀ a₁ a₂ … a_M}^T (9)

令R如下：

則得到：

從式(11)可以看出，系數(shù)b和a不是獨(dú)立的變量，系數(shù)b可以由系數(shù)a根據(jù)邊界條件得到，將式(11)帶進(jìn)方程(3)消掉系數(shù)b，則梁的位移函數(shù)可以表示為：

方程(12)為彈性邊界條件下梁的位移函數(shù)表達(dá)式，此表達(dá)式已經(jīng)包含了在4個(gè)彈簧約束下梁的位移函數(shù)，并且可以對(duì)方程(12)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)DQ原理，在梁坐標(biāo)離散，選取N個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為：

0≤x₁＜x₂＜...＜x_n≤L (13)

采用微分求積法常采用的Chebyshev-Gauss點(diǎn)作為離散點(diǎn)，即：

對(duì)式(12)求r階導(dǎo)數(shù)并將點(diǎn)x_i帶入，得到：

通過上式可以看出，函數(shù)y(x)在點(diǎn)x_i處的r階導(dǎo)數(shù)值可以由系數(shù)a_m加權(quán)求和得到，原理類似于傳統(tǒng)的微分求積法，此處稱為改進(jìn)微分求積法。

將上式帶進(jìn)梁的振動(dòng)方程，并取所有的N個(gè)點(diǎn)，得：

將方程(16)簡(jiǎn)寫為：

方程(17)為標(biāo)準(zhǔn)的振動(dòng)方程，求解方程(17)的特征值和特征向量即得到梁的固有頻率和位移系數(shù)a_m，從而確定梁的振型。

根據(jù)以上推導(dǎo)，對(duì)一根梁在不同邊界條件下(固支-固支、簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支、彈性-彈性)進(jìn)行驗(yàn)算，其參數(shù)為：長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝1m；橫截面積A＝7.854e^-5m²；慣性矩I＝4.9087e^-10m⁴；密度＝7850kg/m³,楊氏模量E＝2.1e11N/m²。計(jì)算結(jié)果如表1-表3所示。表1為固支-固支梁固有頻率表格，表2為簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支梁固有頻率表格，表3為彈性-彈性邊界條件下梁無量綱固有頻率。

由計(jì)算結(jié)果可得，在經(jīng)典邊界(固支-固支、簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支)情況下，改進(jìn)微分求積法同傳統(tǒng)微分求積法計(jì)算結(jié)果相差很?。粡谋?可以看出，改進(jìn)微分求積法在處理彈性邊界條件時(shí)計(jì)算得到的結(jié)果也較為精確。

表1

表2

彈性-彈性邊界條件計(jì)算結(jié)果同參考數(shù)據(jù)結(jié)果比較，結(jié)果如表3所示，其中彈簧剛度和固有頻率均由無量綱量表示，彈簧剛度為：

無量綱固有頻率

表3

詳細(xì)的，本方法首先將需要求解的函數(shù)表示成傅里葉級(jí)數(shù)并附加容許項(xiàng)，根據(jù)邊界條件，確定容許項(xiàng)系數(shù)同傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系。其次將求解域離散成獨(dú)立點(diǎn)，把帶有附加項(xiàng)的傅里葉函數(shù)分別代入離散點(diǎn)，形成各傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系矩陣。最后根據(jù)傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系求出具體傅里葉系數(shù)，從而確定所求函數(shù)。本方法具有構(gòu)造權(quán)系數(shù)矩陣簡(jiǎn)單、收斂精度高、計(jì)算速度快、適用于彈性邊界的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了廣義傅里葉級(jí)數(shù)同微分求積法的結(jié)合，從而使改進(jìn)微分求積法在保證計(jì)算精度的同時(shí)很好的解決結(jié)構(gòu)彈性邊界條件的微分方程求解。

本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在：與微分求積法相比，此改進(jìn)微分求積法存在兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：改進(jìn)微分求積法在獲取權(quán)系數(shù)矩陣時(shí)具有方便快捷的優(yōu)勢(shì)；改進(jìn)微分求積法能很好的處理彈性邊界條件；改進(jìn)微分求積法求得的是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，所求函數(shù)可以表示能解析形式，而微分求積法只能求得離散點(diǎn)處的函數(shù)值。

以上對(duì)本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建改進(jìn)微分求積法的方法進(jìn)行了詳細(xì)介紹。本文中應(yīng)用了具體個(gè)例對(duì)本發(fā)明的原理及實(shí)施方式進(jìn)行了闡述，以上實(shí)施例的說明只是用于幫助理解本發(fā)明的方法及其核心思想。應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員來說，在不脫離本發(fā)明原理的前提下，還可以對(duì)本發(fā)明進(jìn)行若干改進(jìn)和修飾，這些改進(jìn)和修飾也落入本發(fā)明權(quán)利要求的保護(hù)范圍內(nèi)。