本發(fā)明涉及結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，尤其是涉及一種高效結(jié)構(gòu)失效概率函數(shù)求解的擴(kuò)展線抽樣方法。

背景技術(shù)：

在結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常需要研究失效概率與設(shè)計(jì)參數(shù)的相互關(guān)系。這種關(guān)系被定義為失效概率函數(shù)，即結(jié)構(gòu)失效概率隨參數(shù)變化的函數(shù)。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)一般結(jié)構(gòu)而言很難直接獲得設(shè)計(jì)參數(shù)的失效概率函數(shù)的顯示表達(dá)式，因其需要巨大的計(jì)算成本。通常，這需要在不同的設(shè)計(jì)參數(shù)取值下反復(fù)進(jìn)行可靠性分析，而每次可靠性分析又需要反復(fù)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)的值，關(guān)鍵是，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計(jì)算可能需要進(jìn)行虛擬仿真和數(shù)值模型(例如有限元模型)的計(jì)算。因此計(jì)算代價(jià)巨大，使得很多實(shí)際結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題計(jì)算代價(jià)太大而變得不可行；并且這種做法通常只能獲得失效概率函數(shù)的離散點(diǎn)值。

構(gòu)建近似失效概率函數(shù)有很多種方法，如對(duì)數(shù)函數(shù)擬合方法(gasserm,schuellergi.reliability-basedoptimizationofstructuralsystems.mathematicalmethodsofoperationsresearch1997；46(3):287-307.)、靈敏度方法(zout,mahadevans.adirectdecouplingapproachforefficientreliability-baseddesignoptimization[j].structmultidiscoptim,2006,31(3):190–200.)等。但這些方法目前還無(wú)法滿足工程結(jié)構(gòu)對(duì)求解精度和效率的要求，因此，如何進(jìn)一步提高實(shí)際工程問(wèn)題的失效概率函數(shù)求解的精度和效率，仍然是一個(gè)需要研究的課題。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)的不足，本發(fā)明提供能夠避免多次重復(fù)的可靠性分析，提高分析效率的一種高效結(jié)構(gòu)失效概率函數(shù)求解的擴(kuò)展線抽樣方法。

本發(fā)明包括以下步驟：

1)構(gòu)建輔助抽樣密度函數(shù)：針對(duì)設(shè)計(jì)變量情形，選擇合適的輔助抽樣密度函數(shù)

2)求解對(duì)應(yīng)的重要方向：當(dāng)變量服從分布時(shí)，求解對(duì)應(yīng)的重要方向α；

3)抽取變量樣本：依照變量分布產(chǎn)生對(duì)應(yīng)變量的樣本點(diǎn){x^(j):j＝1,2,...n}；

4)計(jì)算對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)：通過(guò)三點(diǎn)二次插值，計(jì)算對(duì)應(yīng)線抽樣下極限狀態(tài)函數(shù)的交點(diǎn)

5)計(jì)算失效概率函數(shù)估計(jì)：依照交點(diǎn)值，參照公式計(jì)算失效概率函數(shù)估計(jì)。

在步驟1)中，所述輔助抽樣密度函數(shù)的選擇可有以下二種方式：

(1)分布形式選為原密度函數(shù)f(x)相同形式，分布參數(shù)均值θa取在設(shè)計(jì)區(qū)間中間值即可，推薦取區(qū)間內(nèi)的中間值，如下：

(2)分布形式為原密度函數(shù)f(x)相同形式，分布參數(shù)取為如下：

其中為輔助抽樣密度分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σx為變量原分布的標(biāo)準(zhǔn)差，ρ＞1為方差放大因子。

在步驟2)中，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中假定隨機(jī)變量x服從分布通過(guò)優(yōu)化方法或可靠性方法可求解對(duì)應(yīng)極限狀態(tài)函數(shù)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后可以由設(shè)計(jì)點(diǎn)求得對(duì)應(yīng)的重要方向α＝[α1,α2,...,αn]^t。

在步驟3)中，通過(guò)蒙特卡洛模擬方法，依照密度函數(shù)形式抽取n個(gè)樣本點(diǎn){x^(j):j＝1,2,...n}。

在步驟4)中，將步驟3)抽取的樣本{x^(j):j＝1,2,...n}通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)轉(zhuǎn)化u＝txu(x)轉(zhuǎn)換為{u^(j):j＝1,2,...n}，然后在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，將建立通過(guò)每個(gè)樣本點(diǎn)且與單位重要方向?qū)?yīng)的平行線，求得平行線與極限狀態(tài)面的交點(diǎn)為通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)逆變換x＝tux(u)的變換也可以得到交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原變量空間的取值

在步驟5)中，所述失效概率函數(shù)估計(jì)可為：

其中表示將由變量服從f(xθ)的空間轉(zhuǎn)化到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間；為樣本x^(j)對(duì)應(yīng)的線向量與極限狀態(tài)方程的交點(diǎn)；φ(.)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。

本發(fā)明的有益效果是：

本發(fā)明在求解失效概率函數(shù)上，不需要多次可靠性分析的求解，而是通過(guò)一次線抽樣獲得的信息，來(lái)推斷失效概率的估計(jì)?；诓煌瑓?shù)值下的失效域的重要區(qū)域相互重疊這一事實(shí)，所以可以僅通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)某闃雍瘮?shù)——輔助概率密度函數(shù)——進(jìn)行對(duì)重要失效區(qū)域的探索。關(guān)鍵思想是將可靠性模擬方法中獲得的隨機(jī)樣本的信息再利用，通過(guò)將失效概率函數(shù)的估計(jì)寫成樣本的密度比值形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

本發(fā)明的一種重要特征是它只需在預(yù)先選定的輔助概率密度函數(shù)下進(jìn)行一次線抽樣分析即可獲得失效概率函數(shù)的估計(jì)，因此本發(fā)明在失效概率函數(shù)的求解上具有極大的求解效率，為結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)提供一種有效的設(shè)計(jì)手段。

附圖說(shuō)明

圖1為汽車前軸工字梁結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2為本發(fā)明(抽樣方式一)獲得的失效概率曲線。

圖3為本發(fā)明(抽樣方式一)獲得的失效概率曲線。

圖4為本發(fā)明(抽樣方式二)獲得的失效概率曲線。

圖5為本發(fā)明(抽樣方式二)獲得的失效概率曲線。

具體實(shí)施方式

下面通過(guò)具體實(shí)施方式，并結(jié)合其附圖，對(duì)本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)闡述。

取汽車前軸的失效概率函數(shù)求解問(wèn)題為例來(lái)進(jìn)行本發(fā)明的具體實(shí)施方法的闡述。前軸是汽車承重的重要組成部分，多被設(shè)計(jì)為工字梁結(jié)構(gòu)(如圖1所示)，因工字形斷面可以提高前軸的抗彎強(qiáng)度并減輕前軸的重量。已知前軸的最大正應(yīng)力和剪切應(yīng)力分別為σ＝m/wx和τ＝t/wρ，其中m和t為彎矩和扭矩，和wρ＝0.8bt²+0.4[a³(h-2t)/t]分別為截面系數(shù)和極截面系數(shù)。此問(wèn)題的極限狀態(tài)函數(shù)表示為：

其中σs是屈服的極限狀態(tài)應(yīng)力，根據(jù)前軸的材料屬性確定σs為460mpa。前軸工字梁的幾何尺寸、彎矩和扭矩等隨機(jī)變量分布如表1所示，其中θ1＝μa∈[10,14]和θ2＝μt∈[12,16]為設(shè)計(jì)參數(shù)，現(xiàn)求解設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的失效概率函數(shù)。

表1

針對(duì)上述前軸的失效概率函數(shù)求解問(wèn)題，采用本發(fā)明來(lái)進(jìn)行求解，它包括如下過(guò)程：

步驟一，構(gòu)建輔助抽樣密度函數(shù)：

輔助抽樣密度函數(shù)的選擇可有以下二種方式：

方式一，分布形式選為原密度函數(shù)f(x)相同形式，分布參數(shù)可取為如下形式

方式二，分布形式為原密度函數(shù)f(x)相同形式，放大因子取ρ＝1.3,分布參數(shù)取為如下：

步驟二，求解對(duì)應(yīng)的重要方向α：

采用可靠性的改進(jìn)一次二階矩方法可以得到對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，進(jìn)而得到重要方法

α＝[-0.3872，-0.4409,-0.6886,-0.2002,0.0057,0.5374]。

步驟三，依照密度函數(shù)形式抽取n＝1000個(gè)樣本點(diǎn){x^(j):j＝1,2,...1000}。

步驟四，計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線抽樣下極限狀態(tài)函數(shù)的交點(diǎn)

將抽樣樣本{x^(j):j＝1,2,...1000}通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)轉(zhuǎn)化u＝txu(x)轉(zhuǎn)換為{u^(j):j＝1,2,...1000}，然后在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，將建立通過(guò)每個(gè)樣本點(diǎn)且與單位重要方向?qū)?yīng)的平行線，求得平行線與極限狀態(tài)面的交點(diǎn)為通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)逆變換x＝tux(u)的變換也可以得到交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原變量空間的取值

步驟五，根據(jù)如下式子對(duì)失效概率函數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

計(jì)算結(jié)果如圖2和3所示。圖2和3中給出了本發(fā)明獲得失效概率函數(shù)估計(jì)曲線，以及由直接蒙特卡洛方法采用10⁶樣本點(diǎn)獲得的失效概率值(用黑點(diǎn)‘.’表示，可看作精確值)進(jìn)行對(duì)比。從圖4和5結(jié)果可以看到，本發(fā)明兩種不同的輔助抽樣密度函數(shù)形式獲得的結(jié)果與精確結(jié)果非常一致。而本發(fā)明在求解過(guò)程僅需要進(jìn)行一次擴(kuò)展線抽樣，樣本點(diǎn)僅為1000個(gè)，相比直接蒙特卡洛方法在求單個(gè)失效概率值時(shí)就需要10⁶樣本點(diǎn)，無(wú)疑大大減少了計(jì)算代價(jià)。因此本發(fā)明具有較高的效率和準(zhǔn)確性。