本發(fā)明涉及薄壁結(jié)構(gòu)，尤其涉及一種任意形狀薄板大變形的能量元數(shù)值求解方法。

背景技術(shù)：

1、薄壁結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶和建筑等工程裝備領(lǐng)域，薄板的彎曲是固體力學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題。當(dāng)薄板的撓度遠(yuǎn)小于其厚度時(shí)，薄板變形小，面內(nèi)變形可忽略不計(jì)。但當(dāng)撓度超過(guò)板厚的一半或與之相當(dāng)時(shí)，薄板的變形大，面內(nèi)變形不可忽略，且會(huì)產(chǎn)生面內(nèi)應(yīng)力，與彎曲應(yīng)力一同承受外載。考慮到薄板大變形對(duì)面內(nèi)應(yīng)力的幾何非線性效應(yīng)，需采用馮·卡門的大變形理論分析。大變形理論包含兩個(gè)用以描述薄板大變形響應(yīng)的非線性偏微分方程，由于它們的強(qiáng)非線性，直接求解非常困難。因此，通常將偏微分方程通過(guò)最小勢(shì)能原理轉(zhuǎn)化為泛函積分形式，并通過(guò)數(shù)值方法求解。里茲法是應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值方法之一，因其采用全域試函數(shù)，以及精度高、收斂快、無(wú)網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)，常用于薄板大變形問(wèn)題分析。但里茲法無(wú)法徹底解決任意形狀薄板的大變形問(wèn)題，核心難點(diǎn)在于里茲法需尋找定義在任意形狀薄板域上滿足位移邊界條件的全域試函數(shù)，且在復(fù)雜幾何域上的積分困難性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)思路

1、為了解決上述技術(shù)問(wèn)題，本發(fā)明提出一種任意形狀薄板大變形的能量元數(shù)值求解方法，通過(guò)在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)開(kāi)孔模擬任意形狀薄板的形狀，再在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)生成基于高斯積分點(diǎn)與變剛度的能量元表征薄板能量分布，構(gòu)建任意形狀薄板的離散模型，形成全域離散變剛度能量系統(tǒng)；然后基于全域試函數(shù)通過(guò)離散能量捕獲薄板幾何邊界并移除孔域內(nèi)能量，得到任意形狀薄板應(yīng)變能的高精度數(shù)值積分，最后基于最小勢(shì)能原理與里茲法解非線性方程組完成薄板大變形分析。

2、為了達(dá)到上述目的，本發(fā)明的技術(shù)方案如下：

3、一種任意形狀薄板大變形的能量元數(shù)值求解方法，包括如下步驟：

4、獲取任意形狀薄板材料常數(shù)、載荷，定義任意形狀薄板的幾何邊界和邊界條件，用標(biāo)準(zhǔn)矩形域覆蓋任意形狀薄板域，并根據(jù)任意形狀薄板的幾何邊界在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)開(kāi)孔模擬任意形狀薄板域的形狀，建立無(wú)量綱坐標(biāo)系；

5、根據(jù)任意形狀薄板的形狀，在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)生成若干能量元覆蓋任意形狀薄板域；

6、根據(jù)二維高斯－勒讓德求積法則，基于被積多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)以及孔域的位置，分別在各個(gè)能量元內(nèi)生成不同數(shù)量的高斯積分點(diǎn)；

7、通過(guò)每個(gè)高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)與邊界水平集函數(shù)之間的布爾運(yùn)算，確定該高斯積分點(diǎn)在能量元內(nèi)的位置，并根據(jù)布爾運(yùn)算結(jié)果依次對(duì)每個(gè)高斯積分點(diǎn)作變剛度表征，完成任意形狀薄板的離散建模；

8、基于勒讓德多項(xiàng)式和邊界條件函數(shù)構(gòu)造任意形狀薄板的全域試函數(shù)，對(duì)應(yīng)變能和載荷勢(shì)能做積分并結(jié)合全域變剛度移除孔域內(nèi)能量；基于里茲法求泛函駐值，導(dǎo)出一個(gè)非線性方程組，結(jié)合能量元完成對(duì)非線性方程組中各個(gè)元素的高精度數(shù)值積分；求解非線性方程組，得到未知系數(shù)帶回全域試函數(shù)，得到任意形狀薄板大變形的數(shù)值解。

9、優(yōu)選地，基于勒讓德多項(xiàng)式和邊界條件函數(shù)構(gòu)造任意形狀薄板的全域試函數(shù)，具體包括如下步驟：

10、

11、式中(δ＝u,v,w)是邊界ξk的邊界條件函數(shù)，t+1為內(nèi)外邊界的總數(shù)，為待定系數(shù)，χi(ξ)和χj(η)分別是ξ和η方向上的勒讓德多項(xiàng)式，在ξ和η方向分別截?cái)嘤诘趍和n項(xiàng)；邊界條件函數(shù)描述第k個(gè)邊界上施加的邊界條件，由第k個(gè)邊界的邊界水平集函數(shù)ξk(ξ,η)賦予邊界指數(shù)后得到，邊界指數(shù)由以下三種邊界條件確定：

12、

13、勒讓德多項(xiàng)式是一組正交完備多項(xiàng)式，由以下遞歸公式導(dǎo)出：

14、

15、其中i-1表示第i項(xiàng)勒讓德多項(xiàng)式的最高冪次；對(duì)邊界水平集函數(shù)依次添加邊界指數(shù)后，將t+1個(gè)邊界條件函數(shù)相乘，可獲得任意形狀薄板的邊界條件函數(shù)再分別乘以ξ和η方向上的勒讓德多項(xiàng)式，即可完成任意形狀薄板的全域試函數(shù)構(gòu)造。

16、優(yōu)選地，基于里茲法求泛函駐值，導(dǎo)出一個(gè)非線性方程組，結(jié)合能量元完成對(duì)非線性方程組中各個(gè)元素的高精度數(shù)值積分，具體包括如下步驟：

17、根據(jù)里茲法，任意形狀薄板的系統(tǒng)總能量可表達(dá)為：

18、π＝u-q?(19)

19、里茲法要求對(duì)待定系數(shù)pij求偏導(dǎo)以獲得泛函駐值：

20、

21、隨后可導(dǎo)出一組非線性方程并寫成矩陣形式：

22、

23、其中kl是線性剛度矩陣包含3mn×3mn個(gè)元素；p是待定系數(shù)列陣包含個(gè)3mn×1元素，由全域試函數(shù)式(7)內(nèi)的待定系數(shù)組成；knl是非線性剛度列陣包含3mn×1個(gè)元素，括號(hào)內(nèi)的是非線性方程中含有的待定系數(shù)；q是由載荷勢(shì)能q導(dǎo)出的含3mn×1個(gè)元素的列陣；線性剛度矩陣kl中各個(gè)元素的表達(dá)式寫為：

24、

25、其中元素位于矩陣的第r行、第s列，元素位于矩陣的第r行、第s列，均包含變剛度函數(shù)cij(ξ,η)和dij(ξ,η)，所以cij(ξ,η)和dij(ξ,η)需納入積分中：

26、

27、其中被積函數(shù)的表達(dá)式為：

28、

29、式中和代表第項(xiàng)和第項(xiàng)勒讓德多項(xiàng)式，χi(ξ)和χj(η)為第i項(xiàng)和第j項(xiàng)勒讓德多項(xiàng)式；

30、非線性剛度列陣knl中各個(gè)元素的表達(dá)式寫為：

31、

32、式中，元素位于列陣的第r行，元素位于列陣的第r行，均包含變剛度函數(shù)cij(ξ,η)，所以cij(ξ,η)需納入積分中：

33、

34、式中α(ξ,η),β(ξ,η),γ(ξ,η)表示全域試函數(shù)式(7)，被積函數(shù)的表達(dá)式為：

35、

36、依次計(jì)算每個(gè)矩形元和非矩形元內(nèi)每個(gè)高斯積分點(diǎn)處的函數(shù)值，再乘以對(duì)應(yīng)的積分系數(shù)，最后再將每個(gè)能量元內(nèi)的積分值疊加：

37、

38、式中分別對(duì)應(yīng)被積函數(shù)g是矩形元總數(shù)，h是非矩形元總數(shù)，和分別是第k個(gè)矩形元和第z個(gè)非矩形元的積分域；和是第k個(gè)矩形元內(nèi)的高斯積分點(diǎn)和求積系數(shù)，和是第z個(gè)非矩形元內(nèi)的高斯積分點(diǎn)和求積系數(shù)；和和分別決定第k個(gè)矩形元，第z個(gè)非矩形元內(nèi)高斯積分點(diǎn)的拉伸剛度和彎曲剛度；

39、對(duì)載荷勢(shì)能導(dǎo)出的列陣作數(shù)值積分，其中元素位于列陣qw的第行：

40、

41、由于任意形狀薄板域與全域均布載荷作用域完全相同，可將應(yīng)變能數(shù)值積分使用的高斯積分點(diǎn)直接用于對(duì)的數(shù)值積分：

42、

43、基于上述技術(shù)方案，本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明提出一種任意形狀薄板大變形的能量元數(shù)值求解方法，其中全域試函數(shù)基于勒讓德多項(xiàng)式和邊界條件函數(shù)構(gòu)造。為對(duì)任意形狀薄板進(jìn)行高精度數(shù)值模擬，能量元法采用全域試函數(shù)、全域高斯積分點(diǎn)離散、全域變剛度和擴(kuò)展區(qū)間積分構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)矩形域上的離散能量系統(tǒng)，通過(guò)全域變剛度模擬板的能量分布表征任意形狀薄板的形狀，進(jìn)而通過(guò)全域試函數(shù)近似薄板變形。所謂能量元即在標(biāo)準(zhǔn)矩形域上模擬結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的單元，其中，位移采用全域試函數(shù)，而剛度采用全域變剛度，并且允許結(jié)構(gòu)幾何邊界穿越能量元。對(duì)于二維問(wèn)題，能量元法首先在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)開(kāi)孔模擬任意形狀薄板的形狀，再在標(biāo)準(zhǔn)矩形域內(nèi)生成基于高斯積分點(diǎn)與變剛度的能量元表征薄板能量分布，構(gòu)建任意形狀薄板的離散模型，形成全域離散變剛度能量系統(tǒng)；然后基于全域試函數(shù)通過(guò)離散能量捕獲薄板幾何邊界并移除孔域內(nèi)能量，得到任意形狀薄板應(yīng)變能的高精度數(shù)值積分，最后基于最小勢(shì)能原理與里茲法解非線性方程組完成薄板大變形分析。