一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，包括以下步驟：步驟一、首先生成一個(gè)元素由0,1組成并且服從隨機(jī)分布的行向量；步驟二、然后由此向量構(gòu)造托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ；步驟三、對(duì)該測(cè)量矩陣進(jìn)行奇異值分解；步驟四、對(duì)奇異值進(jìn)行優(yōu)化處理，即將矩陣Φ的奇異值中的最大值作為新構(gòu)造矩陣的非零奇異值；步驟五、構(gòu)造新的測(cè)量矩陣Φ′；步驟六、對(duì)新構(gòu)造的測(cè)量矩陣Φ′進(jìn)行近似處理，即負(fù)元素置0，非負(fù)元素置1，得到最終的由0,1元素組成的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ″。該矩陣具有計(jì)算復(fù)雜度低、存儲(chǔ)空間少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于硬件實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，并且重構(gòu)效果良好。
【專利說明】一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法

【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及圖像壓縮傳感【技術(shù)領(lǐng)域】，特別涉及壓縮感知領(lǐng)域中托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量 矩陣的一種優(yōu)化構(gòu)造方法。

【背景技術(shù)】
[0002] 在傳統(tǒng)的信號(hào)處理過程中，為了避免信號(hào)失真，采樣速率要滿足奈奎斯特采樣定 律。然而對(duì)圖像、視頻等寬帶信號(hào)的獲取，依照奈奎斯特采樣定律進(jìn)行采樣會(huì)導(dǎo)致采樣率太 高，硬件電路難以實(shí)現(xiàn)，并且由于采樣數(shù)據(jù)量太大，因此極大地增加了存儲(chǔ)和傳輸?shù)拇鷥r(jià)； 同時(shí)由于其數(shù)據(jù)獲取模式采用先采樣再壓縮的模式，既浪費(fèi)傳感元，又浪費(fèi)時(shí)間和存儲(chǔ)空 間。
[0003] 由 Candes、Donoho 和 Tao 等人提出的壓縮感知理論（Compressive Sensing, CS) 突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定律的限制，為圖像采集和壓縮提供了新的理論支持，壓縮感知 理論指出：如果信號(hào)本身是稀疏的或在某個(gè)字典上可進(jìn)行稀疏表示，那么就可以通過設(shè)計(jì) 一種測(cè)量矩陣將原始的高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過對(duì)投影到低維空間上得 到的少量的測(cè)量值求解一個(gè)非線性優(yōu)化問題，就可以高概率或者精確的重構(gòu)原始信號(hào)。壓 縮感知最為突出的優(yōu)點(diǎn)是可以減小采樣數(shù)據(jù)，節(jié)省存儲(chǔ)空間，將傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣和數(shù)據(jù)壓 縮合二為一，大大降低了數(shù)據(jù)的獲取時(shí)間和存取空間。
[0004] 測(cè)量矩陣是CS理論中的一個(gè)至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，它對(duì)信號(hào)采樣和重構(gòu)算法有著重 要的影響。為了保證隨機(jī)投影后信號(hào)的大部分能量能夠被保持，測(cè)量矩陣必須滿足有限等 距性質(zhì)（Restricted Isometry Property,RIP)。然而，在實(shí)際中該條件很難用來指導(dǎo)設(shè)計(jì) 測(cè)量矩陣，同時(shí)，RIP原則是充分條件，而不是必要條件，為降低矩陣設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，Donoho 提出了測(cè)量矩陣的相關(guān)性判別理論作為RIP的等價(jià)條件。從矩陣元素的隨機(jī)性和確定性兩 方面可以將測(cè)量矩陣分為隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣。確定性矩陣是通過已知部分信 息而構(gòu)造成整個(gè)測(cè)量矩陣，如托普利茲結(jié)構(gòu)矩陣和循環(huán)矩陣等，這類測(cè)量矩陣是采用特定 的結(jié)構(gòu)化生成方式來生成，因此矩陣可以通過快速計(jì)算，降低復(fù)雜度，并且構(gòu)造速度快。然 而，這些測(cè)量矩陣都相比較高斯隨機(jī)矩陣在重建效果上存在差距，要求的測(cè)量數(shù)較多；隨機(jī) 測(cè)量矩陣的每個(gè)元素都服從獨(dú)立同分布，因此可以盡可能的保證測(cè)量矩陣列之間的非相關(guān) 性，這樣就能使用較少的采樣值來獲得精確的重建，如高斯隨機(jī)矩陣、稀疏投影矩陣、亞高 斯隨機(jī)矩陣和貝努利矩陣等。但是，隨機(jī)測(cè)量矩陣有一些固有的的缺點(diǎn)，如占用較大存儲(chǔ)空 間、花費(fèi)較大的計(jì)算量和時(shí)間復(fù)雜度，這些都不利于硬件實(shí)現(xiàn)。
[0005] 目前，雖然隨機(jī)測(cè)量矩陣整體上比確定性測(cè)量矩陣重建精度高，但是其本身固有 的不確定性決定了其硬件實(shí)現(xiàn)中的局限性。所以確定性測(cè)量矩陣是未來測(cè)量矩陣的主要研 究方向，然而，確定性測(cè)量矩陣還存在重建精度不高的缺點(diǎn)。由于托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣是 利用行向量通過循環(huán)移位生成整個(gè)矩陣，在實(shí)際應(yīng)用中，這種循環(huán)移位易于硬件實(shí)現(xiàn)，并且 托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣是一種高度結(jié)構(gòu)化的矩陣，矩陣的結(jié)構(gòu)化使得可以通過快速計(jì)算， 降低計(jì)算復(fù)雜度。因此，本發(fā)明圍繞托普利茲矩陣進(jìn)行研究，通過對(duì)托普利茲矩陣進(jìn)行奇異 值分解，并對(duì)該矩陣的奇異值進(jìn)行優(yōu)化處理，進(jìn)而提高測(cè)量矩陣的列非相關(guān)性或列獨(dú)立性， 從而提高其重構(gòu)性能。目前，由于高斯隨機(jī)矩陣、伯努利隨機(jī)矩陣等隨機(jī)矩陣與大多數(shù)的正 交基或者正交字典不相關(guān)，而且精確重構(gòu)所需的測(cè)量數(shù)比較少，因此，此類隨機(jī)矩陣非常適 合作為壓縮感知理論中的測(cè)量矩陣。但是，這類隨機(jī)矩陣存在以下瓶頸：（1)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 對(duì)硬件要求很高；（2)壓縮投影和信號(hào)重構(gòu)過程需要進(jìn)行存儲(chǔ)和傳輸測(cè)量矩陣，這對(duì)系統(tǒng) 的要求很高；（3)隨機(jī)矩陣只在統(tǒng)計(jì)意義下以很高的概率滿足RIP和弱相干性，即不能保證 每個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的矩陣都滿足特定RIP或相干性條件，因而不能保證每次都精確的恢復(fù)原始 信號(hào)。由于上述隨機(jī)測(cè)量矩陣在實(shí)際應(yīng)用中存在以上缺點(diǎn)，因此確定性測(cè)量矩陣的研究對(duì) 于壓縮感知理論的推廣與應(yīng)用尤其重要。然而，確定性測(cè)量矩陣相比高斯矩陣等隨機(jī)測(cè)量 矩陣，在重建效果上存在差距，要求的測(cè)量數(shù)較多，同時(shí)對(duì)信號(hào)的稀疏度也有較高要求；實(shí) 際應(yīng)用中的測(cè)量矩陣要求構(gòu)造簡(jiǎn)單有效，壓縮和重建效率都較高，因此設(shè)計(jì)易于硬件實(shí)現(xiàn) 的測(cè)量矩陣非常有意義，托普利茲測(cè)量矩陣的構(gòu)造過程是用向量去生成整個(gè)矩陣，這個(gè)向 量生成整個(gè)矩陣的過程是通過循環(huán)移位來實(shí)現(xiàn)的，這種循環(huán)移位易于硬件實(shí)現(xiàn)，這也是托 普利茲矩陣被廣泛研究的主要原因，同其他大多數(shù)確定性測(cè)量矩陣一樣，托普利茲測(cè)量矩 陣還存在著在保證高重建精度的情況下，需要測(cè)量值的數(shù)目較多的缺點(diǎn)，而在很多實(shí)際應(yīng) 用中測(cè)量值的獲得非常昂貴的。因此，針對(duì)隨機(jī)測(cè)量矩陣不易硬件實(shí)現(xiàn)和易于硬件實(shí)現(xiàn)的 托普利茲矩陣重構(gòu)效果不理想的問題，本發(fā)明提出一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè) 量矩陣設(shè)計(jì)方法。


【發(fā)明內(nèi)容】

[0006] 針對(duì)以上現(xiàn)有技術(shù)中的不足，本發(fā)明的目的在于提供一種更好地提高感知效率和 降低計(jì)算復(fù)雜度，減少存儲(chǔ)空間，并且矩陣元素由〇和1隨機(jī)組成，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單稀疏，易于硬件 實(shí)現(xiàn)，重構(gòu)性能好的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，本發(fā)明的技術(shù)方案如下：
[0007] -種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，其包括以下步驟：
[0008] 101、測(cè)量得到的原始圖像信號(hào)A，生成一個(gè)元素服從隨機(jī)分布并且由0, 1組成的 行向量U = (Up u2,…，uN, uN+1,…，％+MH), N表示所要構(gòu)造矩陣的列數(shù)，Μ表示矩陣的行數(shù)；
[0009] 102、然后由步驟101中的行向量構(gòu)造托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ ;
[0010] 103、接下來對(duì)該托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)奇異值進(jìn)行優(yōu) 化處理，得到新的測(cè)量矩陣Φ'，
[0011] 104、/對(duì)新構(gòu)造的測(cè)量矩陣Φ'作負(fù)元素置0,非負(fù)元素置1的處理，得到最終的 由〇, 1元素組成的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ "，完成托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ "的構(gòu)造， 將步驟101測(cè)量得到的原始圖像信號(hào)Α利用托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ "投影到低維空間， 然后通過對(duì)投影到低維空間上得到的測(cè)量值，求解一個(gè)非線性優(yōu)化方程，然后就重構(gòu)原始 信號(hào)。
[0012] 進(jìn)一步的，步驟102中托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ e Rmxn(M〈N)，即
[0013]

【權(quán)利要求】
1. 一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，其特征在于，包括以下步 驟： 101、 測(cè)量得到的原始圖像信號(hào)A，生成一個(gè)元素服從隨機(jī)分布并且由0, 1組成的行向 量
，N表示所要構(gòu)造測(cè)量矩陣的列數(shù)，M表示矩陣的行數(shù)； 102、 然后由步驟101中的行向量構(gòu)造托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣〇 ; 103、 接下來對(duì)該托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣〇進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)奇異值進(jìn)行優(yōu)化處 理，得到新的測(cè)量矩陣; 104、 對(duì)新構(gòu)造的測(cè)量矩陣〇 '作負(fù)元素置0,非負(fù)元素置1的處理，得到最終的由0, 1 元素組成的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣〇 "，完成托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣〇 "的構(gòu)造，將步驟 101測(cè)量得到的原始圖像信號(hào)A利用托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣O"投影到低維空間，然后通 過對(duì)投影到低維空間上得到的測(cè)量值，求解一個(gè)非線性優(yōu)化方程，然后就重構(gòu)原始信號(hào)。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，其特征 在于，步驟102中托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣OGRmxn (M〈N)，即
3. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，其 特征在于：
，OO是常數(shù)，K是稀疏度。
4. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，其 特征在于，步驟103中對(duì)矩陣OGRmxn (M〈N)進(jìn)行奇異值分解，得到
其中，矩陣U、V分別為MXM，NXN的酉矩陣，滿足

為矩陣O的奇異值；設(shè)
，〇)>的特征值為
），貝Ij
O
5. 根據(jù)權(quán)利要求4所述的一種基于奇異值分解的托普利茲結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造 方法，其特征在于，步驟103中對(duì)奇異值進(jìn)行分解的步驟為： _
..
,故得
，令

,diag表示由矩陣①的 非零奇異值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，S'表示對(duì)矩陣O的非零奇異值進(jìn)行優(yōu)化處理后，得到的由新 的非零奇異值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，并根據(jù)公式構(gòu)造新的測(cè)量矩陣
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【文檔編號(hào)】H03M7/30GK104242948SQ201410425392
【公開日】2014年12月24日 申請(qǐng)日期:2014年8月26日 優(yōu)先權(quán)日:2014年8月26日
【發(fā)明者】王汝言, 金勝杰, 趙輝, 劉靜, 王曉冰, 張鴻 申請(qǐng)人:重慶郵電大學(xué)