本發(fā)明屬于信號(hào)處理領(lǐng)域，具體為一種基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣的構(gòu)造。

背景技術(shù)：

根據(jù)傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理，要想無(wú)失真的恢復(fù)原始信號(hào)，信號(hào)的采樣頻率必須不小于信號(hào)最高頻率的兩倍。因此，當(dāng)采樣頻率很高時(shí)，硬件系統(tǒng)面臨著很大的采樣速率壓力，硬件設(shè)備已經(jīng)不能滿足如此高的采樣需求。另一方面，由于采集到的數(shù)據(jù)信息包含大量的冗余信息，故在對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理、傳輸和存儲(chǔ)之前需要進(jìn)行壓縮處理，這種先采樣后壓縮的處理模式浪費(fèi)了大量的采樣資源。2006年，Candès與Emmanuel、Terence Tao等人共同提出了一種嶄新的理論——壓縮感知(Compressive Sensing，CS)信號(hào)采樣理論。壓縮感知理論突破傳統(tǒng)Nyquist采樣定理的限制，基于信號(hào)的稀疏性、觀測(cè)矩陣的隨機(jī)性和非線性優(yōu)化算法完成對(duì)信號(hào)的采樣壓縮和重構(gòu)。這種全新的信號(hào)處理理論以遠(yuǎn)低于Nyquist頻率的采樣率在采樣的同時(shí)完成壓縮，不僅可以降低硬件復(fù)雜度和成本，也避免了不必要的資源浪費(fèi)，最重要的是可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的完全重構(gòu)。CS理論主要包括三方面研究?jī)?nèi)容，即信號(hào)稀疏表示、觀測(cè)矩陣的構(gòu)造以及重構(gòu)算法設(shè)計(jì)。

本發(fā)明要研究壓縮感知中觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)，觀測(cè)矩陣是壓縮感知中信號(hào)采樣質(zhì)量的保障，也是壓縮采樣過程能否硬件實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。壓縮感知觀測(cè)矩陣主要分為三類，一類是隨機(jī)觀測(cè)矩陣。隨機(jī)觀測(cè)矩陣包括高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣、伯努利隨機(jī)觀測(cè)矩陣、局部傅里葉隨機(jī)觀測(cè)矩陣等。這些矩陣是完全隨機(jī)矩陣，雖然能夠精確的重構(gòu)原始信號(hào)，但在實(shí)際應(yīng)用中很難用硬件實(shí)現(xiàn)，而且需要大量的存儲(chǔ)空間；另一類是確定性觀測(cè)矩陣，此類矩陣隨著系統(tǒng)和構(gòu)造的參數(shù)的確定，矩陣元素也隨之確定。此類矩陣相對(duì)于隨機(jī)矩陣更加易于硬件實(shí)現(xiàn)。Devore提出了通過有限域中多項(xiàng)式的取值來(lái)構(gòu)造矩陣，Li shuxing提出了利用代數(shù)曲線構(gòu)造觀測(cè)矩陣。這些方法存在一個(gè)共同的缺點(diǎn)：矩陣的大小必須是2的整數(shù)倍，故無(wú)法構(gòu)造任意大小的觀測(cè)矩陣，普適性較差。循環(huán)矩陣由于其對(duì)應(yīng)離散卷積且具有專門的快速算法而被廣泛應(yīng)用于壓縮測(cè)量矩陣。為了滿足壓縮感知觀測(cè)矩陣必須滿足RIP準(zhǔn)則的要求，傳統(tǒng)循環(huán)矩陣的矩陣元素多由隨機(jī)分布函數(shù)產(chǎn)生，文獻(xiàn)“Yin W.Practical compressive sensing with Toeplitz and circulant matrices[J].Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering,2010,7744.”對(duì)傳統(tǒng)循環(huán)矩陣的構(gòu)造方法和其適用的快速算法做了總結(jié)分析，并指出傳統(tǒng)循環(huán)矩陣不能在常用的DCT稀疏基下有效地重構(gòu)原始信號(hào)，普適性有待提高，仍然存在隨機(jī)觀測(cè)矩陣存儲(chǔ)空間大、不易于硬件實(shí)現(xiàn)的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)“Do T T,Gan L,Nguyen N H,et al.Fast and Efficient Compressive Sensing Using Structurally Random Matrices[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,60(1):139-154.”提出了一種具有良好結(jié)構(gòu)特性的結(jié)構(gòu)化壓縮感知觀測(cè)矩陣，其中使用的隨機(jī)算子可以增強(qiáng)矩陣的元素的隨機(jī)性，提高感知性能和普適性。

混沌理論在80年代末開始得到現(xiàn)代密碼學(xué)界的高度重視?；煦邕\(yùn)動(dòng)是非線性確定性動(dòng)力系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性的一種表現(xiàn),可以由十分簡(jiǎn)單的確定性動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生異常復(fù)雜的隨機(jī)行為。具有以下優(yōu)點(diǎn)：①混沌理論揭示了確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一，混沌系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)相比，是一種確定性系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的類隨機(jī)行為，實(shí)現(xiàn)起來(lái)要簡(jiǎn)單高效；②混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列由系統(tǒng)參數(shù)和初始值決定，一旦初始參數(shù)固定，其值也相對(duì)固定，可以重現(xiàn)混沌序列，穩(wěn)定性比較好；③由于僅需存儲(chǔ)和傳輸少量的參數(shù)，可大大的減少存儲(chǔ)空間和傳輸帶寬的壓力。文獻(xiàn)“凌聰,孫松庚.Logistic映射擴(kuò)頻序列的相關(guān)分布[J].電子學(xué)報(bào),1999(1):140- 141.”詳細(xì)介紹了混沌系統(tǒng)中Logistic映射的優(yōu)點(diǎn)，具有良好的偽隨機(jī)性，易于硬件實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，產(chǎn)生的混沌序列簡(jiǎn)單，僅由-1和1組成，Logistic映射是比較常用的混沌系統(tǒng)。

本發(fā)明力圖將混沌系統(tǒng)應(yīng)用于循環(huán)矩陣，并結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機(jī)算子的優(yōu)點(diǎn)，以克服傳統(tǒng)循環(huán)觀測(cè)矩陣在實(shí)際應(yīng)用中的缺點(diǎn)為目的，提出基于混沌序列的壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣?；煦缪h(huán)測(cè)量矩陣元素的產(chǎn)生僅需要利用混沌的內(nèi)在確定性，即利用混沌映射公式、初始值以及一定的采樣間隔就可以產(chǎn)生獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列；同時(shí)混沌序列的外在隨機(jī)性可以滿足壓縮測(cè)量矩陣對(duì)隨機(jī)性的要求。

附圖說明

圖1產(chǎn)生Logistic映射混沌序列的算法流程圖；

圖2分段函數(shù)在Logistic映射的概率密度函數(shù)上的分布示意圖；

圖3基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣的構(gòu)造流程圖；

圖4在DCT稀疏基下的不同觀測(cè)矩陣的重構(gòu)成功率比較；

圖5在DWT稀疏基下的不同觀測(cè)矩陣的重構(gòu)成功率比較。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明針對(duì)當(dāng)前壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣存在的復(fù)雜度高、不易于硬件實(shí)現(xiàn)和普適性較差的問題，基于混沌系統(tǒng)提出一種改進(jìn)的構(gòu)造方法以降低其復(fù)雜度、提高感知性能，使該類型矩陣更加利于硬件實(shí)現(xiàn)，并結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機(jī)算子使改進(jìn)型的觀測(cè)矩陣具有較強(qiáng)的普適性，提高其適用范圍。

本發(fā)明的技術(shù)方案：基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣的構(gòu)造。傳統(tǒng)循環(huán)矩陣采用高斯或伯努利分布函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生矩陣的第一列的元素，然后依次移位產(chǎn)生的矩陣。采用該方法構(gòu)造的壓縮感知循環(huán)矩陣元素隨機(jī)性較強(qiáng)，雖然感知性能較高但十分不利于硬件實(shí)現(xiàn)。本方案針對(duì)傳統(tǒng)的壓縮感知循環(huán)矩陣在實(shí)際應(yīng)用中存在的問題，結(jié)合混沌系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)方法。首先對(duì)混沌系統(tǒng)中的Logistic映射函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使得其可以產(chǎn)生更加稀疏的混沌序列，該函數(shù)產(chǎn)生序列的稀疏性使最終構(gòu)造的矩陣更加有利于硬件實(shí)現(xiàn)，易于實(shí)際應(yīng)用。然后使用改進(jìn)型的Logistic映射函數(shù)代替隨機(jī)伯努利和高斯分布函數(shù)產(chǎn)生循環(huán)矩陣的第一行的矩陣元素，然后依次移位產(chǎn)生其余的行構(gòu)造出稀疏混沌循環(huán)矩陣，最后從稀疏混沌循環(huán)矩陣中隨機(jī)的選取m行構(gòu)成一個(gè)子矩陣作為壓縮感知的觀測(cè)矩陣。其中，Logistic映射函數(shù)產(chǎn)生的序列具有偽隨機(jī)性，相比高斯和伯努利分布函數(shù)更加易于硬件實(shí)現(xiàn)。理論上，稀疏性更高的矩陣的感知性能會(huì)隨稀疏性的增加而降低，同時(shí)，循環(huán)觀測(cè)矩陣的普適性也有待提高，例如在壓縮感知中最常用的DCT稀疏基下的感知性能太差，甚至無(wú)法有效地重構(gòu)出原始信號(hào)。因此，在上述方法基礎(chǔ)上結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機(jī)算子以提高矩陣元素的隨機(jī)性，如此就提高了矩陣的感知性能和普適性。注意，由于是采用另外一個(gè)矩陣與循環(huán)矩陣相乘的形式，而且該隨機(jī)算子特別容易硬件實(shí)現(xiàn)，故結(jié)構(gòu)化隨機(jī)算子的加入并不會(huì)加大硬件實(shí)現(xiàn)的難度。

具體實(shí)施方式

以下給出基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣的具體的構(gòu)造方法，對(duì)本發(fā)明的實(shí)施做進(jìn)一步的說明。

定義1托普利茲和循環(huán)矩陣

由定義1可知托普利茲和循環(huán)矩陣具有很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，托普利茲矩陣從左到右的斜對(duì)角都是相同的元素，即T_(i,j)＝T_(i+1,j+1)。而循環(huán)矩陣是托普利茲矩陣的特殊形式，如果滿那么托普利茲矩陣就變換為循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣的每一行都是由上一行向右循環(huán)移動(dòng)一位得到的。

根據(jù)循環(huán)矩陣的定義可以發(fā)現(xiàn)，只需要構(gòu)造出循環(huán)矩陣的第一行就可以由上一行向右循環(huán)移動(dòng)一位得到下一行，最終循環(huán)移位n次就可以得到一個(gè)循環(huán)矩陣，然后隨機(jī)的抽取該矩陣的m行構(gòu)成的子矩陣作為壓縮感知的觀測(cè)矩陣，稱之為壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣，簡(jiǎn)稱循環(huán)觀測(cè)矩陣。根據(jù)以上定義和方法，傳統(tǒng)的循環(huán)觀測(cè)矩陣一般采用高斯或者伯努利分布函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，矩陣的元素具有較強(qiáng)隨機(jī)性，因此具有較優(yōu)異的感知性能，但也存在一定的不足，例如由于高斯和伯努利分布的完全隨機(jī)性導(dǎo)致計(jì)算和存儲(chǔ)復(fù)雜度太高，不易于硬件實(shí)現(xiàn)。

混沌序列函數(shù)有多種，其中多使用Logistic映射函數(shù)來(lái)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列。本發(fā)明即采用Logistic映射函數(shù)來(lái)產(chǎn)生混沌序列。Logistic映射的函數(shù)形式由以下的公式給出

該映射函數(shù)的元素的概率密度函數(shù)是

混沌序列碼的產(chǎn)生公式是

a_n＝agn(x_n) n＝0,1,2,…,N-1 (3)上式中agn(.)是符號(hào)函數(shù)，根據(jù)初始值的不同x_0m(m＝1,2,…,M)可以產(chǎn)生不同的混沌序列。圖1是Logistic映射產(chǎn)生混沌序列的算法流程圖，算法十分簡(jiǎn)單，因此在實(shí)際應(yīng)用中具有速度快、效率高的優(yōu)點(diǎn)?；煦缧蛄械碾S機(jī)性體現(xiàn)在初值的敏感性，確定性體現(xiàn)在選定初值后的混沌序列的確定性，總的即混沌序列的偽隨機(jī)性。壓縮感知理論表明，要想無(wú)失真重構(gòu)出原始信號(hào)，CS觀測(cè)矩陣必須滿足RIP性質(zhì)或互相關(guān)性準(zhǔn)則。如果一個(gè)矩陣的元素服從某一獨(dú)立同一隨機(jī)分布，其矩陣元素就具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，那么該矩陣就高概率滿足RIP準(zhǔn)則。已經(jīng)證明Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列{a_n}是伯努利隨機(jī)序列，保證了使用該混沌映射構(gòu)造的循環(huán)矩陣可以滿足壓縮感知對(duì)觀測(cè)矩陣的隨機(jī)性的要求。

由上述Logistic映射函數(shù)構(gòu)造循環(huán)矩陣的矩陣元素為-1或1，本發(fā)明對(duì)混沌序列產(chǎn)生函數(shù)做進(jìn)一步改進(jìn)，在不改變Logistic系統(tǒng)的前提下，使產(chǎn)生的混沌序列更加稀疏，可以有效地減少信號(hào)采樣數(shù)，降低計(jì)算復(fù)雜度。具體的改進(jìn)方式如下：

首先本發(fā)明定義了一個(gè)新的分段函數(shù)，該分段函數(shù)在Logistic映射的概率密度函數(shù)上的分布示意圖如圖2所示。該分段函數(shù)會(huì)將位于選定區(qū)間的值轉(zhuǎn)變?yōu)?1、1和0，產(chǎn)生1和-1的概率都為1/6，產(chǎn)生0的概率為2/3，即：

根據(jù)上式，可以通過下式計(jì)算出x的取值區(qū)間：

由上式可得：

由上式可得那么改進(jìn)型的混沌序列碼產(chǎn)生函數(shù)如下：

使用改進(jìn)型Logistic映射函數(shù)構(gòu)造循環(huán)觀測(cè)矩陣的具體方法：

步驟一：隨機(jī)選定[-1,1]之間的一個(gè)常數(shù)作為L(zhǎng)ogistic映射函數(shù)的初值，初值選定后根據(jù)式(7)中Logistic映射混沌序列的產(chǎn)生方法，產(chǎn)生足夠的稀疏混沌序列；步驟二：在步驟一中產(chǎn)生的一系列稀疏混沌序列中采取一定的間隔取N個(gè)元素作為一個(gè)集合a＝{a₁,a₂,…a_N}。

步驟三：根據(jù)集合a構(gòu)造一個(gè)大小為N×N的循環(huán)矩陣，如下所示：

上述方法構(gòu)造的矩陣F稱為混沌循環(huán)矩陣，相比于傳統(tǒng)的循環(huán)矩陣，由以上方法構(gòu)造的循環(huán)矩陣具有偽隨機(jī)性的優(yōu)點(diǎn)，而且矩陣元素為-1、1或0，矩陣元素更加簡(jiǎn)單，復(fù)雜度低。

由于本發(fā)明采取了混沌系統(tǒng)來(lái)產(chǎn)生循環(huán)矩陣的元素，矩陣元素過于簡(jiǎn)單和稀疏會(huì)影響到其感知性能。同時(shí)混沌系統(tǒng)的加入并沒有增強(qiáng)循環(huán)矩陣的普適性，基于混沌系統(tǒng)的循環(huán)矩陣仍然無(wú)法在常用的DCT稀疏基下有效地重構(gòu)原始信號(hào)。因此，本發(fā)明結(jié)合結(jié)構(gòu)化矩陣(SRM)的原理，加入隨機(jī)算子，隨機(jī)算子可以對(duì)矩陣進(jìn)行隨機(jī)化處理，增強(qiáng)矩陣元素的隨機(jī)性，理論上會(huì)有更加優(yōu)異的感知性能。此外，原矩陣會(huì)隨著隨機(jī)化算子的加入使得其適用更廣泛的稀疏基條件，同時(shí)保留了原始矩陣的結(jié)構(gòu)特性，基于此原理，本發(fā)明構(gòu)造出具有更強(qiáng)普適性和結(jié)構(gòu)特性的壓縮感知觀測(cè)矩陣。

針對(duì)傳統(tǒng)壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣計(jì)算和存儲(chǔ)復(fù)雜度較高，不易于硬件實(shí)現(xiàn)，普適性較差的缺點(diǎn)，結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣(SRM)的構(gòu)造方法，發(fā)明提出了基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣，該矩陣的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，

(1)歸一化系數(shù)，對(duì)Φ_Ω進(jìn)行列單位化，使得Φ_Ω^TΦ_Ω＝I_N，保證在使該矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值與原始信號(hào)具有大致相近的能量。

(2)Ω：表示隨機(jī)抽取集合{1,2,...,N}的M個(gè)元素構(gòu)成的集合。

(3)D_Ω：D_Ω∈R^M×N表示以Ω為下標(biāo)集從一個(gè)N×N單位矩陣I_N中抽取M行構(gòu)成的子矩陣。D_Ω實(shí)際上表示按照下標(biāo)集Ω從FR中抽取行向量。

(4)F：F∈R^N×N表示混沌循環(huán)矩陣，其構(gòu)造方法已經(jīng)在前面的部分做了具體介紹。

(5)R：R∈R^N×N表示隨機(jī)算子，R為全局隨機(jī)算子，實(shí)際上表示對(duì)矩陣F的列進(jìn)行隨機(jī)置亂操作。

本文將利用(8)式構(gòu)造的壓縮感知觀察矩陣稱為基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣，具體的構(gòu)造流程如圖3所示，該矩陣結(jié)合采用了SRM中的隨機(jī)算子R，其目的也是增加矩陣元素的隨機(jī)性，從而提高矩陣的恢復(fù)性能。使用本發(fā)明構(gòu)造的觀測(cè)矩陣Φ_Ω對(duì)原始信號(hào)f進(jìn)行壓縮采樣的過程可以表示為：

其中f^*＝Rf。根據(jù)上式可知，實(shí)際中使用本發(fā)明構(gòu)造的觀測(cè)矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣的過程是：首先使用隨機(jī)算子對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)化處理，然后使用循環(huán)矩陣對(duì)隨機(jī)化處理后的原始信號(hào)f*進(jìn)行變換，最后從變換系數(shù)中隨機(jī)地抽取M(M＜＜N)個(gè)元素作為采樣值以完成整個(gè)信號(hào)采樣的過程。

為了直觀地說明構(gòu)造的矩陣的可行性和有效性，本發(fā)明通過實(shí)驗(yàn)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。為了仿真的目的設(shè)輸入的一維輸入信號(hào)x長(zhǎng)度為N＝256，且x在某個(gè)確定正交稀疏基Ψ下是K稀疏的，即：x＝Ψαψ，其中Ψ為正交稀疏基，信號(hào)變換系數(shù)α是K稀疏的。信號(hào)x的構(gòu)造方法具體為：首先生成K個(gè)滿足獨(dú)立同一高斯分布的非零元素，然后向K個(gè)非零元素中在隨機(jī)位置插入N-K個(gè)0元素構(gòu)成變換系數(shù)α，最后選擇確定的正交基矩陣Ψ與α相乘得到信號(hào)。對(duì)于信號(hào)x，選擇大小為M×N的觀測(cè)矩陣Φ對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)獲得長(zhǎng)度為M的觀測(cè)向量y＝Φx，實(shí)驗(yàn)中采用OMP算法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。圖4和圖5分別是在不同的稀疏基下信號(hào)的重構(gòu)成功率隨采樣率的變。這兩張圖表明本發(fā)明構(gòu)造的基于混沌的結(jié)構(gòu)化循環(huán)觀測(cè)矩陣可以有效地重構(gòu)信號(hào)，相比于傳統(tǒng)的循環(huán)矩陣能適用較多的稀疏基，同時(shí)具有更加優(yōu)異的重構(gòu)性能。

以上對(duì)本發(fā)明提出的基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測(cè)矩陣進(jìn)行了詳細(xì)的介紹和說明，上述的具體實(shí)施方式有助于理解本發(fā)明的核心思想。本發(fā)明基于混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)性可以滿足壓縮感知對(duì)觀測(cè)矩陣的要求，同時(shí)混沌系統(tǒng)相較于純隨機(jī)系統(tǒng)又更容易在硬件上實(shí)現(xiàn)。此外，隨機(jī)化算子可以對(duì)矩陣的元素進(jìn)行隨機(jī)化處理，提高了矩陣重構(gòu)性能和其普適性。