專利名稱：一種正交碼構(gòu)建方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明設(shè)計一種正交碼構(gòu)建方法，可用于信息技術(shù)的多種領(lǐng)域，特別是用于任何含碼分多址(CDMA)及擴(kuò)頻技術(shù)的無線數(shù)字通信系統(tǒng)。
背景技術(shù)：
正交碼是無線通信領(lǐng)域的一個重要主題。隨著社會信息化程度的深入，人們對無線通信技術(shù)的要求也越來越高。CDMA技術(shù)是解決有限無線頻譜資源與海量通信容量需求之間矛盾的有效手段。在任何CDMA系統(tǒng)中，各用戶都有自己特有的擴(kuò)頻地址碼，以供相互識別。為減少相互間的干擾，各個擴(kuò)頻地址碼間應(yīng)盡可能保持好的正交性。目前有幾種技術(shù)可以生成正交或準(zhǔn)正交碼，如m序列、Gold序列、以及Walsh碼。這些技術(shù)已經(jīng)在現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)然，這些碼在某些方面并不完美，如碼的數(shù)量、進(jìn)制、分布、相關(guān)性，等等。大體來說，m序列在碼長固定的情況下，獲得大量具有良好正交性的碼是困難的。Gold序列從m序列中導(dǎo)出，具有相對良好的正交性。這兩種碼由于自相關(guān)性出色，通常被用作CDMA系統(tǒng)中的擾碼。Walsh碼是完全正交的碼，通常被用作CDMA系統(tǒng)中的地址碼。應(yīng)該注意到所有這三種碼都是面向二進(jìn)制的，并且都呈現(xiàn)出某種特定分布。如果我們在碼的正交性、數(shù)量、進(jìn)制、或分布等方面有更高或更靈活的要求，以實(shí)現(xiàn)性能更強(qiáng)大的通信系統(tǒng)，我們難以利用上述技術(shù)來生成滿足需求的編碼。尋找性能良好的正交碼是數(shù)字通信以及其他信息技術(shù)領(lǐng)域的一個重要問題。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明給出了一種正交碼編碼方法，利用這種編碼方法可以構(gòu)建出比Walsh碼性能更為出色的碼。當(dāng)然這種編碼方法并不僅限于構(gòu)建類似于Walsh碼的二進(jìn)制正交碼。
這種正交碼的構(gòu)建方法是這樣的。首先，考慮n個不同文字{C1，C2，C3，…，Cn}構(gòu)成的n位碼，這樣每個文字剛好出現(xiàn)一次，顯然它們能構(gòu)成n·(n-1)·(n-2)·…·2·1即n！個不同的碼。然后，尋找或構(gòu)造這樣一個碼組S，要求其中任意兩個編碼的碼距最少為d，即對于全部n個位置來說，至少有d個位置上的文字不同，最多有n-d個位置上的文字相同。當(dāng)n比較大時，n！是一個極為巨大的數(shù)，符合條件的碼組是不可能簡單通過計算機(jī)編程搜索的。構(gòu)造數(shù)量充分的碼組S可能需要用到發(fā)明人發(fā)現(xiàn)的有關(guān)數(shù)學(xué)定理。假設(shè)S碼組中有m個符合條件的碼。m的上限M容易得出。對于碼距d，M＝n·(n-1)·…·(n-d)。
最后，在此S碼組基礎(chǔ)上，這樣構(gòu)造二進(jìn)制的正交碼首先，采用Walsh碼或其它任何方式生成n個彼此之間正交或超正交的長度一致為L的子碼{s1，s2，…，sn}，然后用si替換前面S碼組中的Ci文字，即得最終的正交碼組O。碼組O的碼長擴(kuò)展為n·L，數(shù)量仍為m。
顯然，如果d接近于n，任意兩組編碼之間的正交性頗為理想，因?yàn)楹暧^來看，碼組S的任意兩個編碼之間的全部n個位置只有很少的n-d個位置上文字相同，其它d個位置上的文字都不相同。微觀來看，這些不同的d個宏觀位置上的子碼si彼此正交或超正交。如果文字不同的部分遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過文字相同的部分，或者si的超正交性很強(qiáng)，總的效果都將是獲得具有良好正交性的編碼。
上述二進(jìn)制正交碼的兩級構(gòu)建方法顯然可以用于構(gòu)建非二進(jìn)制的或者其它分布類型的正交碼，只要將子碼si構(gòu)建成所需要的非二進(jìn)制形態(tài)、并保證子碼總和的分布符合要求即可。
具體實(shí)施例方式典型地，正交碼用于高噪聲通信技術(shù)如CDMA系統(tǒng)，以及數(shù)字版權(quán)保護(hù)技術(shù)如數(shù)字指紋等。衡量正交碼性能的關(guān)鍵指標(biāo)包括檢出率和誤檢率。容易知道這兩個指標(biāo)具有相關(guān)性——較高的檢出率必然導(dǎo)致較高的誤檢率。在同等程度噪聲環(huán)境以及同等數(shù)量正交碼并發(fā)的條件下，當(dāng)誤檢率相同時，具有較高檢出率的正交碼，其性能更為理想?；蛘弋?dāng)檢出率相同時，具有較低誤檢率的正交碼，其性能更為理想。
一個具體的正交碼構(gòu)建實(shí)例如下。令文字種類n＝4{C1，C2，C3，C4}，子碼長L＝3。按照前述方法，當(dāng)d＝n-1時，可以得到碼長為4·3＝12、數(shù)量為M＝4·3＝12的正交碼。稱該組正交碼為ST2碼(命名來自精確2重傳遞群Sharp 2-fold Transitive Group)。當(dāng)d＝n-2時，可以得到碼長同樣為4·3＝12、但數(shù)量增大至M＝4·3·2＝24的正交碼。稱該組準(zhǔn)正交碼為ST3碼(命名來自精確3重傳遞群Sharp 3-fold Transitive Group)。顯然ST3碼的正交性弱于ST2碼。在這個實(shí)例中選擇ST2碼。根據(jù)發(fā)明人發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)定理，對于ST2碼，只需要利用2個生成元<g1，g2>，g1＝(C1)(C2C3C4)、g2＝(C1C2)(C3C4)，進(jìn)行置換運(yùn)算，就可以生成ST2碼的全部12個正交碼C1C2C3C4，C1C3C4C2，C1C4C2C3，C2C1C4C3，C2C3C1C4，C2C4C3C1，C3C1C2C4，C3C2C4C1，C3C4C1C2，C4C1C3C2，C4C2C1C3，C4C3C2C1可以看到任意兩個編碼之間最多只有一個文字相同。
第二步，根據(jù)文字?jǐn)?shù)n＝4以及子碼長度L＝3，構(gòu)造子碼si。對于子碼的要求是相互之間需要保持盡可能好的正交性，并且子碼的權(quán)重之和滿足特定要求，例如此情況下的均值為0的要求(為了與均值為0的Walsh碼進(jìn)行對比)?？紤]碼長為4、數(shù)量為4的Walsh碼，每個碼去掉首位元素正好可以滿足上面關(guān)于子碼的要求s1 111s2-11 -1s3 1 -1 -1s4-1 -11以具體的子碼si替換Ci，最終編碼如下1 1 1-1 1-1 1-1-1-1-1 11 1 1 1-1-1-1-1 1-1 1-11 1 1-1-1 1-1 1-1 1-1-1-1 1-1 1 1 1-1-1 1 1-1-1-1 1-1-1-1 1 1-1-1 1 1 1-1 1-1 1-1-1 1 1 1-1-1 11-1-1 1 1 1-1 1-1-1-1 11-1-1-1 1-1-1-1 1 1 1 11-1-1-1-1 1 1 1 1-1 1-1-1-1 1 1 1 1 1-1-1-1 1-1-1-1 1 1-1-1-1 1-1 1 1 1-1-1 1-1 1-1 1 1 1 1-1-1為了進(jìn)行對比，選擇同樣碼長為12的Walsh碼。Walsh碼是從12階Hadamard矩陣中導(dǎo)出的1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11-1 1-1 1 1 1-1-1-1 1-11-1-1 1-1 1 1 1-1-1-1 11 1-1-1 1-1 1 1 1-1-1-11-1 1-1-1 1-1 1 1 1-1-11-1-1 1-1-1 1-1 1 1 1-11-1-1-1 1-1-1 1-1 1 1 11 1-1-1-1 1-1-1 1-1 1 11 1 1-1-1-1 1-1-1 1-1 11 1 1 1-1-1-1 1-1-1 1-11-1 1 1 1-1-1-1 1-1-1 11 1-1 1 1 1-1-1-1 1-1-1為了保持權(quán)重的一致性，去掉上面Walsh碼表的第一行，這樣有11個碼長為12的Walsh碼作為對照碼。與前面所構(gòu)造的ST2碼具有相同的碼長與權(quán)重。
在相同的并發(fā)數(shù)量以及噪聲尺度下，測試ST2碼與Walsh碼的誤檢測率與檢出率。典型地，可以令正交碼的并發(fā)數(shù)量為5，噪聲尺度＜＝8，得到如下結(jié)果

可以看到在相同的碼長以及權(quán)重下，ST2碼的性能優(yōu)于Walsh碼。這并不令人驚訝，因?yàn)樗鶚?gòu)造的ST2碼相互之間除了完全正交的部分外，其它部分能夠達(dá)到超正交，而相同碼長和權(quán)重的Walsh碼僅能夠做到完全正交。并且，ST2碼的數(shù)量比Walsh碼還要多1個。
上述構(gòu)建方法是典型的。對于其它碼長的正交碼，也按上述方式構(gòu)建，其性能優(yōu)于同等碼長的Walsh碼?？梢灶A(yù)測，彼此正交、準(zhǔn)正交或超正交的子碼的構(gòu)造和選取是影響該編碼最終形態(tài)與性能的主要方面。所構(gòu)造的正交編碼是高度靈活的，不必是二進(jìn)制。另外，這種采用幾個生成元通過置換運(yùn)算生成編碼的構(gòu)造方式，在物理上很容易通過高速電子線路的方式實(shí)現(xiàn)。
碼組S的構(gòu)造方法為了獲得盡可能多的正交碼，需要巧妙地構(gòu)造碼組S。碼組S的構(gòu)造涉及到一個新的組合數(shù)學(xué)問題對于由n個不同文字構(gòu)成的碼長為n的編碼來說，如果要求任意兩個編碼的碼距最少為d(即對于全部n個位置來說，至少有d個位置上的文字不同，最多有n-d個位置上的文字相同)，最多能夠有多少編碼滿足此要求？如何構(gòu)造這些碼？
編碼數(shù)量的上界M是很容易得出的。對于碼距最小為d，M＝n·(n-1)·…·(n-d)。上述問題可以轉(zhuǎn)化成在特定的碼長為n、文字種類為n、碼距最小為d的條件下，編碼數(shù)量是否能達(dá)到上界M？且如何構(gòu)造？在此將該問題稱為弱上界編碼問題。強(qiáng)上界編碼問題是當(dāng)M＝n·(n-1)·…·(n-d)的數(shù)量不可能達(dá)到的時候，編碼的最大數(shù)量能達(dá)到多少？且如何構(gòu)造？利用置換群以及精確多重傳遞群方面的知識，發(fā)明人解決了弱上界編碼問題，從而使得本發(fā)明所提出的正交碼構(gòu)建方法有了一個堅實(shí)的基礎(chǔ)。
首先，將C1C2…Cn形式的所有碼字(共n！個)的集合看做作用在Ω{1，2，…，n}上的n元對稱群。Ω中的元素稱為點(diǎn)。滿足碼距d的碼字集合是n元對稱群的某個子集。特別地，置換群G是n元對稱群的子群。我們以*來表示置換運(yùn)算。
為了理解上界編碼問題的解決方式，我們需要置換群中的軌道、次數(shù)以及傳遞群的概念。對于作用在Ω上的置換群G，一個等價類構(gòu)成一條軌道。置換群中實(shí)際變動的點(diǎn)的個數(shù)稱為該群的次數(shù)。如果G在Ω上只有一個軌道，即Ω本身，則稱G為Ω上的傳遞群。通俗地說，傳遞群意味著Ω上的任一點(diǎn)均有機(jī)會在置換群內(nèi)某個元素g的作用下置換成任意另外一個點(diǎn)，或者置換成本身點(diǎn)。
對上述傳遞群的概念進(jìn)行拓展，可以得到多重傳遞群的概念。如果對Ω的任意兩個k元有序子集(i1，…，ik)和(j1，…，jk)，存在g∈G使這兩個子集互相置換，則稱G為k重傳遞群。
引理設(shè)G在Ω上是k重傳遞群，則n·(n-1)·…·(n-k+1)整除G的階。該引理的證明可見任何一部有限群/有限置換群的講義，例如徐明曜的《有限群導(dǎo)引》，科學(xué)出版社，2001。
由k重傳遞群可得到精確k重傳遞群的概念如果k重傳遞群G的階恰好是n·(n-1)·…·(n-k+1)，則稱G為精確k重傳遞群。
(這是發(fā)明人提出的)定理精確k重傳遞群恰好是我們所需要的編碼數(shù)量達(dá)到上界、并且任意兩個編碼之間碼距至少為d＝n-k+1的編碼的集合。
證明首先，精確k重傳遞群的階即元素數(shù)量為n·(n-1)·…·(n-k+1)，碼距為d＝n-k+1的上界編碼的數(shù)量為M＝n·(n-1)·…·(n-d)＝n·(n-1)·…·(n-k+1)，它們的數(shù)量剛好相等。
現(xiàn)在我們用反證法，假設(shè)這種精確k重傳遞群并不是我們所需要的那種性質(zhì)的編碼集合，即我們可以找到至少兩組編碼，在它們之間有多于n-d＝k-1個位置上的文字相同。不妨假設(shè)這兩組編碼之間有k個位置上的文字相同。
選定這k個位置p1，p2，…，pk(它們是n個位置中的k個)及其對應(yīng)的文字a1，a2，…，ak(按照假設(shè)我們至少有兩組這樣的文字序列)按照k重傳遞群的定義，Ω上任意兩個有序子集(i1，…，ik)和(j1，…，jk)都有機(jī)會在該傳遞群的某個置換的作用下互變。具體來說，p1可以變成n種文字(包括其本身)，則p2可以變成n-1種文字，…，pk變成可以變成n-k+1種文字。注意精確k重傳遞群的階恰好是n·(n-1)·…·(n-k+1)，這意味著(p1，p2，…，pk)變成某個具體的(x1，x2，…，xk)只能有一次，因此，有兩組相同的文字序列(a1，a2，…，ak)是不可能的，否則將占去(p1，p2，…，pk)變成其它某個文字序列的機(jī)會。 證畢■
精確k重傳遞群與我們所尋求的高差異度的編碼集合有密切的關(guān)系，這個能夠證明的事實(shí)并不難理解，但以往尚未有人注意到。這樣，上面提出的弱上界編碼問題就從根本上得到解決。構(gòu)造精確k重傳遞群即可得到我們所需要的碼組S。
從應(yīng)用的角度來說，必須注意到這樣一個數(shù)學(xué)事實(shí)有無窮多個精確2重和3重傳遞群(它們的次數(shù)分別是pm和pm+1，p是素數(shù))，但精確的4重和5重傳遞群卻只各有一個(甚至不精確的也只有一兩個)，它們的階分別是M11＝11·10·9·8和M12＝12·11·10·9·8(由于n太小，正交性顯然不理想)，大于等于6重的傳遞群則已被證明并不存在。
一般而言，精確2重或3重傳遞群所提供的編碼數(shù)量是比較充分的。這時編碼數(shù)量最大可以達(dá)到M＝n·(n-1)·(n-2)，當(dāng)n比較大時，M的數(shù)值可以滿足大多數(shù)實(shí)際需求。
權(quán)利要求
1.一種正交碼構(gòu)建方法，其特征在于分兩級構(gòu)建。第一級步驟如下首先，考慮n個不同文字{C1，C2，C3，…，Cn}構(gòu)成的n位碼，每個文字剛好出現(xiàn)一次，顯然它們能構(gòu)成n·(n-1)·(n-2)·…·2·1即n！個不同的碼。然后，尋找或構(gòu)造這樣一個碼組S，要求其中任意兩個編碼的碼距最少為d，即對于全部n個位置來說，至少有d個位置上的文字不同，最多有n-d個位置上的文字相同。
2.第二級步驟，在權(quán)利要求1所述的碼組S基礎(chǔ)上，這樣構(gòu)造最終的二進(jìn)制正交碼首先，采用Walsh碼、m序列或其它任何方式生成n個彼此之間正交、超正交或準(zhǔn)正交的長度一致為L的子碼{s1，s2，…，sn}，要求子碼的權(quán)重之和滿足最終編碼的特定權(quán)重要求。然后用si替換前面S碼組中的Ci文字，即得最終的正交碼組O。碼組O的碼長擴(kuò)展為n·L，數(shù)量與碼組S相同。
3.第二級步驟，在權(quán)利要求1所述的碼組S基礎(chǔ)上，這樣構(gòu)造最終的非二進(jìn)制正交碼首先，采用任何方式生成n個彼此之間正交、超正交或準(zhǔn)正交的長度一致為L的子碼{s1，s2，…，sn}，要求子碼的分布之和滿足最終編碼的特定分布要求。然后用si替換前面S碼組中的Ci文字，即得最終的正交碼組O。碼組O的碼長擴(kuò)展為n·L，數(shù)量與碼組S相同。
全文摘要
本發(fā)明公開了一種正交碼構(gòu)建方法，主要用于任何含碼分多址(CDMA)及擴(kuò)頻技術(shù)的無線數(shù)字通信系統(tǒng)，亦可用于其它信息技術(shù)領(lǐng)域。這種正交碼構(gòu)建方法分兩步進(jìn)行。首先尋找或構(gòu)造差異度很大的具有n個不同文字且碼長為n的碼組S，然后尋找或構(gòu)造n個碼長、分布以及相互之間正交性符合特定要求的子碼，最后用具體的子碼替換碼組S中的各個文字，即可得到符合要求的二進(jìn)制或非二進(jìn)制正交碼。這種靈活的構(gòu)建方法所生成的正交碼具有許多好的性能，并且很容易在高速電子線路中實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)顯示這種正交碼能夠優(yōu)于Walsh碼。
文檔編號H04J13/02GK101030789SQ200710090508
公開日2007年9月5日 申請日期2007年4月11日 優(yōu)先權(quán)日2007年4月11日
發(fā)明者孫曉博 申請人:孫曉博