一種基于預選擇大數(shù)分解的rsa密碼破解系統(tǒng)及方法
【專利摘要】一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)及方法，包括輸入大數(shù)N，進行多項式的選擇；進行篩法產(chǎn)生關系對，包括計算skewness值和實根的最大絕對值Root，隨機選擇若干個b，對Root和skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法，尋找一個傾斜值RS，滿足當限制|a/b|<RS時求得關系數(shù)量最多，令skewness=RS，對于每個b限制a滿足|a/b|<skewness×scale，對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a,b)；對所有的關系對(a,b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)，根據(jù)求解所得平方根分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
【專利說明】—種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)及方法
【技術領域】
[0001]本發(fā)明屬于信息安全基礎領域，特別是一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)及方法。
【背景技術】
[0002]密碼是信息安全的關鍵所在。目前主要使用對稱密碼和非對稱密碼，其中一種重要的非對稱密碼是RSA密碼，其安全性基于大數(shù)分解的困難性難題:已知兩個素數(shù)，計算乘積是容易的，反之，已知兩個素數(shù)的乘積，求這兩個素數(shù)卻是非常困難的。如果能夠成功解決大數(shù)分解難題，則可以破譯RSA密碼。大數(shù)分解有多種方法，研究的歷史也很長，但從130位大數(shù)開始，所用的分解方法幾乎都是數(shù)域篩法。數(shù)域篩法是目前最快的大數(shù)分解方法。
[0003]數(shù)域篩法[I]基本原理如下:對于待分解的大整數(shù)N，首先要選擇兩個整系數(shù)多項Sf(X)和g(x)，其中X為多項式的變量，它們滿足條件:f(x)和g(x)在模N時有共同的整數(shù)根m,即f (m) =Omod N, g(m) =Omod N。記F(x, y)和G(x, y) (x, y為多項式的變量)分
別是 f (X)和 g(x)的齊次化形式，即 F(x，y)=ydlf(x/y)，G(x,y)=yd2g(x/y)，其中(I1, d2 分別是
f(x),g(x)的次數(shù)。如果存在互素的整數(shù)對(a，b)使得F(a，b)和G(a，b)同時是B光滑的，則稱(a，b)是一個關系。一個整數(shù)是B光滑的，如果它的素因子都不大于B。當找到足夠的關系(a, b)集合S后,就可以構造:
[0004]ll(a,b)es(a - bcq) = )?, where ^a1) = O, P1CZK](1 )
[0005]ri(a,b)es(a - ba2) = β? where g(a2) = 0, p2cZ[a2](2 ) [0006]其中\(zhòng)是€00=0的代數(shù)根，且一般不同于m，Ci2是滿足g (X)=O的根。Z[aJ是Ct1生成的環(huán)，這樣P1是形為a。+S1Ot1 +…+ adfia^1的元素，(I1-1為最高次數(shù)，系數(shù)^a1…adl_ieZ，z是整數(shù)組成的集合，β2的意義類似。由于存在映射實現(xiàn)兩個根之間的映射，這樣令(P1(Ct1) = m mod N, ψ2(α2) = m mod N,有^吹)=φ2(β丨),如果令
Φι(βι) = X mod NjCp^(P2) = y mod N，則有 x2=y2mod N, x, y 為兩個整數(shù),貝U容易從計算 χ-y
和N的公因子而分解N。
[0007]可以將上述過程劃分為四個步驟:尋找兩個多項式的過程稱作多項式選擇，尋找
關系(a，b)的過程稱作篩法，從關系構造式(1)，(2)的過程稱作構造約化矩陣。而從求出
β !的過程稱作求平方根。其中最費時間的步驟是篩法，以收集足夠多的關系(relation)，其次是構造約化矩陣步驟，而求根則很成熟，花費的時間也很少。
[0008]多項式的選擇雖然花費的時間在整體方法中不占主要成分，但選擇的多項式的好壞對方法整體影響很大。所謂好的多項式是指多項式可以生產(chǎn)更多的關系。好的多項式不但可以產(chǎn)生更多的關系，而且可以降低矩陣步驟里矩陣的大小。根據(jù)兩個多項式f(x)，g(x)中的一個，比如g(x)是線性的還是非線性的，多項式選擇方法可以分為線性方法和非線性方法。線性方法里里主要有base-m方法[I]，系數(shù)傾斜方法[2]，首系數(shù)非I的kleinjung方法[3]。非線性方法主要有文獻[4，5，6]。目前實際使用的方法都是線性方法。
[0009]目前的篩法主要是平面篩法[I]和格篩法[7]。平面篩法對有限平面內的點(a，b)集合進行篩選，以獲得那些使得兩個多項式都平滑的關系對(a，b)。設a的上界為U，b的上界為V，則有限平面是指a在區(qū)間[-U，U]，b在區(qū)間[0，V]范圍內取值，且為整數(shù)。在實際實施的時候，一般都將平面篩法改為線性篩法，即先固定一個b，只在一維維度a的變化范圍內篩選滿足要求的(a，b)，然后再對另外一個b再做線性篩法。另外一種方法叫格篩法。該方法涉及兩個整數(shù)界B0，B1.首先在BO至BI的范圍內選擇一個素數(shù)q，該數(shù)稱作特殊數(shù)。篩法在滿足條件a=brmod q的(a，b)內進行，滿足條件的(a，b)構成了格，其中參數(shù)r滿足f(r) =Omod q.然后再選擇BO至BI間的另一個素數(shù)q再進行上述格篩法，具體步驟見[7]。在實際的軟件實現(xiàn)時，兩種方法都在使用，各有利弊。
[0010]參考文獻:
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【發(fā)明內容】

[0021]本發(fā)明目的在于針對現(xiàn)有破譯RSA密碼技術中大數(shù)分解方法實際運行時間長的問題，提出新的技術方案提高大數(shù)分解的效率，進而提高破譯RSA密碼的效率。
[0022]本發(fā)明提供的一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)，包括以下單元，[0023]大數(shù)輸入單兀，用于輸入大數(shù)N,
[0024]多項式選擇單元，用于根據(jù)大數(shù)輸入單元提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式 f (X)，g(x);
[0025]關系對生成單元，用于根據(jù)多項式選擇單元所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)，包括以下子單元，
[0026]初始值計算子單元，用于根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值，skewness表示U/V的傾斜度；
[0027]實根計算子單元，用于計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ；
[0028]傾斜值搜尋子單元，用于隨機選擇若干個b，對實根計算子單元所得Root和初始值計算子單元說的skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法,尋找一個傾斜值RS,滿足當限制I a/b I <RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ；
[0029]篩法子單元，用于對于每個b,限制a滿足I a/b I〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)；
[0030]矩陣處理單元，用于對于關系對生成單元所得每個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)
[0031]平方根求取單元，用于對矩陣處理單元所得兩個平方數(shù)?^,β$求取各自的平方根β!, 口2;
[0032]RSA密碼破解單元，用于根據(jù)平方根求取單元所得平方根β P 02分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
[0033]而且，所述I(X)=CdXd + Ci^1Xd-1 + …+ C0，其中，d 為 f(x)的最高次數(shù)，Cd、W
C0為d、d-ι次項系數(shù)…常數(shù)項，多項式選擇單元102包括以下子單元，
[0034]第一系數(shù)確定子單元，用于開始一次構造，選擇d次項系數(shù)Cd ；
[0035]第二系數(shù)確定子單元，用于生成d-Ι和d-2次項系數(shù)Wp2 ；
[0036]第一判斷子單元，用于判斷cd_2是否小于0，如果cd_2小于O成立，則啟動第三系數(shù)確定子單元工作，否則啟動第二判斷子單元工作，
[0037]第三系數(shù)確定子單元，用于生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、Cd_fC(l ；
[0038]第二判斷子單元，用于結束此次構造并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則啟動排序輸出子單元工作，否則啟動第一系數(shù)確定子單元進行下一次構造；
[0039]排序輸出子單元，用于對各次構造所得多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值,根據(jù)MurphyE值進行排序,輸出最大值對應的多項式作為f (x)選擇結果,其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
[0040]本發(fā)明還相應提供一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解方法，包括以下步驟，
[0041]步驟I，輸入大數(shù)N，
[0042]步驟2，根據(jù)步驟I提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式f(x)，g(x)；
[0043]步驟3，根據(jù)步驟2所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)，包括以下子步驟，
[0044]步驟3.1，根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值，skewness表示U/V的傾斜度，U，V是正整數(shù)，分別是a，b的取值范圍，即_U〈a〈U，0<b<V ；
[0045]步驟3.2，計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ；
[0046]步驟3.3,隨機選擇若干個b,對Root和skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法，尋找一個傾斜值RS,滿足當限制|a/b|〈RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ；
[0047]步驟3.4,對于每個b,限制a滿足| a/b |〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)；
[0048]步驟4，對于步驟3所得每個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)1?;
[0049]步驟5，對步驟4所得兩個平方數(shù)丨^的求取各自的平方根
[0050]步驟6，根據(jù)步驟5所得平方根PpP2分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
[0051]而且,步驟2中選擇得到多項式f (X)的方式為,令l'(x)=cdxd_ + cd_1xd_1 +…+ c0，
其中，d為f(x)的最高次數(shù)，cd、Ctw…Ctl為d、d-1次項系數(shù)…常數(shù)項,執(zhí)行以下子步驟，
[0052]步驟2.1,開始一次構造,選擇d次項系數(shù)Cd ；
[0053]步驟2.2，生成d-1和d-2次項系數(shù)Ct^Cp2 ；
[0054]步驟2.3,判斷cd_2是否小于0,如果cd_2小于0成立,則進入步驟2.4生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項，否則進入步驟2`.5，
[0055]步驟2.4，生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、cdy C(l，進入步驟2.5 ；
[0056]步驟2.5，結束此次構造，并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則轉步驟2.6，否則轉步驟2.1進行下一次構造；
[0057]步驟2.6，對各次構造所得多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值，根據(jù)MurphyE值進行排序,輸出最大值對應的多項式作為f (x)選擇結果,其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
[0058]本發(fā)明和現(xiàn)有技術方案相比，有如下優(yōu)點:在篩法的過程中，根據(jù)實根的值，通過重新選擇skewness的值可以增加關系的產(chǎn)出量，進一步的通過限制a的范圍，可以節(jié)省最多一半的工作量，但可以獲得90%以上的收益。并且，通過對多項式首系數(shù)的搜索范圍的限制，一方面可以節(jié)省計算量，另一方面所獲得的多項式的質量更好，通過對系數(shù)cd_2符號的限制，在不丟失好的多項式的條件下可以節(jié)省大量的系統(tǒng)資源。因此，本發(fā)明提供了更高效的RSA密碼破譯技術方案，可供國家安全部門等使用。
【專利附圖】

【附圖說明】
[0059]圖1為本發(fā)明實施例的系統(tǒng)結構示意圖。
[0060]圖2為本發(fā)明實施例的多項式選擇過程示意圖。
[0061]圖3為本發(fā)明實施例的篩法過程示意圖。
【具體實施方式】
[0062]下面結合附圖和實施例說明本發(fā)明技術方案[0063]參見圖1，本發(fā)明實施例所提供系統(tǒng)包括以下單元，
[0064]大數(shù)輸入單元101，用于輸入大數(shù)N，
[0065]多項式選擇單元102，用于根據(jù)大數(shù)輸入單元101提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式f (X)，g (X)；
[0066]關系對生成單元103，用于根據(jù)多項式選擇單元102所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)，
[0067]矩陣處理單元104，用于對于關系對生成單元所得每個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)
β;,昤
[0068]平方根求取單元105，用于對矩陣處理單元104所得兩個平方數(shù)^,卩$求取各自的平方根β ^ β 2 ;
[0069]RSA密碼破解單元106，用于根據(jù)平方根求取單元105所得平方根β ρ β 2分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
[0070]實施例的系統(tǒng)工作過程為，大數(shù)輸入單元101輸入大數(shù)，多項式選擇單元102根據(jù)單元101提供得大數(shù)進行多項式的選擇，其輸出的多項式送給關系對生成單元103進行篩法步驟，當關系對生成單元103產(chǎn)生了足夠的關系后將關系送入矩陣處理單元104，矩陣處理單元104形成由代數(shù)素元作為元素組成的矩陣，并進行約化處理得到兩個平方數(shù)，這兩個平方數(shù)被送入平方根求取單元105求取各自的平方根，RSA密碼破解單元106接受這兩個平方根并用于分解大數(shù)及破解RSA密碼。
[0071]實施例的多項式選擇單元102包括以下子單元，
[0072]第一系數(shù)確定子單元，用于開始一次構造，選擇相對較小的d次項系數(shù)Cd ；
[0073]第二系數(shù)確定子單元，用于生成d-Ι和d-2次項系數(shù)Wp2 ；
[0074]第一判斷子單元，用于判斷cd_2是否小于0，如果cd_2小于O成立，則啟動第三系數(shù)確定子單元工作，否則啟動第二判斷子單元工作，
[0075]第三系數(shù)確定子單元，用于生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、Cd_fC(l ；
[0076]第二判斷子單元，用于結束此次構造并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則啟動排序輸出子單元工作，否則啟動第一系數(shù)確定子單元進行下一次構造；
[0077]排序輸出子單元，用于對各次構造所得多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值,根據(jù)MurphyE值進行排序,輸出最大值對應的多項式作為f (x)選擇結果,其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
[0078]工作過程為，每次構造先選擇一個Cd，生成對應的一個多項式。國際開源項目以前采用很大的首系數(shù)，所得多項式效果不佳，經(jīng)過實驗，實施例選擇相對小的首系數(shù)。第一系數(shù)確定子單元選擇相對小的d次項系數(shù)cd，比如令Cd = 60k, k為自然數(shù)，即Cd為60的倍數(shù)。具體實施時，第一次構建時令k=l，第二次構建時令k=2，一k的取值上界參見構造次數(shù)的預設閾值，可根據(jù)運算能力由本領域技術人員事先設定。如果計算能力足夠，也可以令Cd= 12k，30k等。第二系數(shù)確定子單元，根據(jù)第一系數(shù)確定子單元所選得cd，按照現(xiàn)有技術中的base-m或Kleinjung方法生產(chǎn)d_l和d_2次項系數(shù)Cd'cd_2,在第一判斷子單元中判斷cd_2是否小于 0，如果cd_2小于O成立，則轉入第三系數(shù)確定子單元，生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項，然后啟動第二判斷子單元工作。如果Cd_2小于O不成立，則結束此次構造，直接啟動第二判斷子單元工作。第二判斷子單元結束此次構造并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則啟動排序輸出子單元工作，否則啟動第一系數(shù)確定子單元，轉入第一系數(shù)確定子單元從下一個Cd開始下一次構造過程。構造次數(shù)達到預設閾值后，對每次構造得到的多項式一起進行排序，包括在排序輸出子單元根據(jù)現(xiàn)有技術對各次構造多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值，按該值進行排序，輸出最大值對應的多項式，其中MurphyE反應了多項式平滑的概率，該值越大越好。
[0079]實施例的關系對生成單元103包括以下子單元，
[0080]初始值計算子單元，用于根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值，skewness表示U/V的傾斜度，U，V是正整數(shù)，分別是a，b的取值范圍，即-u〈a〈u，0<b<V ；
[0081]實根計算子單元，用于計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ；
[0082]傾斜值搜尋子單元，用于隨機選擇若干個b，對實根計算子單元所得Root和初始值計算子單元所得skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法,尋找一個傾斜值RS,滿足當限制I a/b I <RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ； [0083]篩法子單元，用于對于每個b,限制a滿足I a/b I〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)。
[0084]工作過程為，對于多項式選擇單元102輸出的多項式，在初始值計算子單元里根據(jù)f (X)和norm的計算方式，計算一個skewness值,其中norm是對多項式所能產(chǎn)生關系數(shù)量的一個近似估計，具體計算見文獻[3]。在實根計算子單元計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root。傾斜值搜尋子單元隨機選擇少量的b,對Root和skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法，尋找一個傾斜值RS，滿足當限制|a/b|〈RS時求得關系數(shù)量最多，令SkeWneSS=RS。最后轉入篩法子單元進行處理，篩法子單元對于每個b，限制a滿足
a/b I〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程,獲得關系，其中預設系數(shù)scale是一個經(jīng)驗數(shù)值。
[0085]具體實施時，系統(tǒng)各單元可采用軟件模塊化方式實現(xiàn)，相應方法可采用軟件技術實現(xiàn)自動運行，實施例的具體的實施步驟如下:
[0086]步驟I，輸入大數(shù)。
[0087]本方法的輸入為一個大的整數(shù)N，且為合數(shù)。
[0088]步驟2:根據(jù)步驟I提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式f(x)，g(x)。
[0089]兩個多項式中通常令f(x)是非線性的，而g(x)是線性的。多項式的好壞主要由
f (x)的質量來決定。令r(x)=cdxd + cd_:1xd_1 +…+ C。，其中，d為f(x)的最高次數(shù)，cd、
cd-1…c。為d、d_l次項系數(shù)…常數(shù)項。在用base-m方法或Kleinjung方法生產(chǎn)多項式的過程中，按如下標準進行篩選:首系數(shù)Cd的選擇要在一個相對小的范圍內進行，系數(shù)cd_2要取負的值。此方法也適用非線性方法生產(chǎn)多項式的選擇，當具體實施時采用非線性方法生成若干多項式時，也可按上述標準挑選好的多項式作為g (x)，能夠進一步提高多項式質量，考慮效率則可以不作g(x)質量優(yōu)化選擇。
[0090]如圖2所示，步驟2流程可設計為:
[0091]步驟2.1,開始一次構造,選擇相對小的d次項系數(shù)Cd ；
[0092]步驟2.2，生成d-1和d-2次項系數(shù)；[0093]步驟2.3，判斷cd_2是否小于0，如果cd_2小于O成立，則進入步驟2.4生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項，否則進入步驟2.5，
[0094]步驟2.4，生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、cdy C(l，進入步驟2.5 ；
[0095]步驟2.5，結束此次構造，并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則轉步驟2.6，否則轉步驟2.1進行下一次構造；
[0096]步驟2.6，對各次構造所得多項式根據(jù)現(xiàn)有方法進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值,根據(jù)MurphyE值進行排序,輸出最大值對應的多項式作為f (x)選擇結果,其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
[0097]實施例中，cd = 60k。具體實施時，第一次執(zhí)行步驟2.1時令k=l，第二次執(zhí)行步驟
2.1時令k=2,…
[0098]步驟3:根據(jù)步驟2所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)。
[0099]如步驟2所述，仍設f(x)是非線性的，而g(x)是線性的。由f(x)=0可以求得其若干實數(shù)根，求各實數(shù)根的絕對值，并選擇最大的絕對值記為Root。由f (X)和現(xiàn)有技術中norm計算方式可以計算出其最優(yōu)的skewness值，skewness就是U/V的傾斜度，a, b的取值范圍是根據(jù)skewness來調整的，設a的上界為U，b的上界為V，則U，V是正整數(shù)，需要滿足U/V=SkeWneSS，a在區(qū)間[_U，U]，b在區(qū)間[0，V]范圍內取值，且為整數(shù)。隨機取少量的b (個數(shù)可由本領域技術人員預先設置)，在Root和skewness構成的閉區(qū)間采取現(xiàn)有技術中逐步二分的方法，獲得一個傾斜值RS，滿足當限制I a/b I <RS時求得的關系數(shù)量最多，然后令SkeWneSS=RS。實際實施過程中，二分的次數(shù)是一個預設經(jīng)驗值，比如可以僅比較傾斜值為Root和skewness兩個值時產(chǎn)生關系數(shù)量的多少。進一步的當采用線性篩法時，把有限范圍的(a，b)平面，按照b劃分為若干線性空間，即給定一個b，讓a變化。但a的變化范圍進一步得到限制，限制條件為I a/b I〈skewness X scale,其中預設系數(shù)scale是一個大于等于I的一個經(jīng)驗值，等于I時可節(jié)省50%的計算量，該值越大，可節(jié)省的計算量越少，具體數(shù)值可由本領域技術人員預先設置。從而可以求出a的范圍?，F(xiàn)在在a的新范圍內進行線性篩法。具體的篩法方法和文獻[I]介紹的一致。當采用格篩法時，該方法涉及兩個整數(shù)界B0，B1。首先在BO至BI的范圍內選擇一個素數(shù)q。篩法在滿足a=br mod q以及| a/b I〈skewness X scale這兩個條件的(a, b)內進行,滿足條件的(a, b)構成了格,其中參數(shù)r滿足f(r)=0mod q。然后再選擇BO至BI間的另一個素數(shù)記為q，再進行上述格篩法，具體的格篩法見[7]。經(jīng)過此步驟，獲得了足夠多的關系(a，b)。
[0100]如圖3所示，步驟3流程可設計為:
[0101]步驟3.1，根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值，skewness表示U/V的傾斜度；
[0102]步驟3.2，計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ；
[0103]步驟3.3,隨機選擇若干個b,對Root和skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法，尋找一個傾斜值RS,滿足當限制|a/b|〈RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ；
[0104]步驟3.4,對于每個b,限制a滿足| a/b |〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)。
[0105]步驟4:對于步驟3所得每 個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)。
[0106]對步驟3獲得的關系(a，b)，由于F(a，b)和G(a，b)都是平滑的，可以獲得其代數(shù)素元或素數(shù)。對于每個(a，b)都按照文獻[I]中的方法可以得到一行素元素，所有的關系(a，b)對應的行構成一個矩陣。對該矩陣利用文獻[8，9]的方法進行約化處理以獲得若干線性相關組合，并形成兩個形如式(I)和(2 )的代數(shù)平方數(shù)。
[0107]步驟5:對步驟4所得兩個平方數(shù)丨^ Pg求取各自的平方根
[0108]對于步驟4獲得的矩陣可以得到形如式(I)和(2)的兩個代數(shù)平方數(shù)。利用文獻
[10]中的方法可以求得各自對應的平方根。由Pl 出其平方根P1,由^求出其平方根& 2-
[0109]步驟6，根據(jù)步驟5所得平方根P i，P 2分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
[0110]由于存在(P1Oi)= m mod N, cp2(a2) = m mod N,且P1 e Z[aJ, p2cZ[a2]，從而可
以計算出(P1(P1) = xm°d NjCp1(P2) = y mod N，則有x2=y2mod N,則容易從計算x-y和N的
公因子而分解N。
[0111]知道了 N的分解N=pq，則可以計算出N的歐拉函數(shù)0(N) = (p - l)(q - 1)，則可從
公鑰e，N，以及關系式eel=] mod 0(N)，利用現(xiàn)有技術中的輾轉相除法求得私鑰d，從而破解RSA密碼。
[0112]以上僅是用以說明本發(fā)明的具體實施案例而已，并非用以限定本發(fā)明的可實施范圍。熟悉本領域的技術人員在不違背本發(fā)明所指示的精神與原理下所完成的一切等效變形、替換或修飾，仍包含在本發(fā) 明權利要求所限定的范圍內。
【權利要求】
1.一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)，其特征在于:包括以下單元， 大數(shù)輸入單元，用于輸入大數(shù)N， 多項式選擇單元，用于根據(jù)大數(shù)輸入單元提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式f (X)，g (X)； 關系對生成單元，用于根據(jù)多項式選擇單元所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)，包括以下子單元， 初始值計算子單元，用于根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值,skewness表示U/V的傾斜度，U, V是正整數(shù)，分別是a，b的取值范圍，即-u〈a〈u，0<b<V ； 實根計算子單元，用于計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ； 傾斜值搜尋子單元，用于隨機選擇若干個b，對實根計算子單元所得Root和初始值計算子單元所得skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法,尋找一個傾斜值RS,滿足當限制I a/b I <RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ； 篩法子單兀，用于對于每個b,限制a滿足I a/b |〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)； 矩陣處理單元，用于對于關系對生成單元所得每個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)β?,β^; 平方根求取單元，用于對矩陣處理單元所得兩個平方數(shù)求取各自的平方根β 1，β 2 ；` RSA密碼破解單元，用于根據(jù)平方根求取單元所得平方根β” 32分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
2.根據(jù)權利要求1所述基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)，其特征在于:所述f(x)=cdxd + C^1Xd-1 +…+ c0，其中，d為f(x)的最高次數(shù)，cd、Ctw…C。為d、d_l次項系數(shù)…常數(shù)項，多項式選擇單元102包括以下子單元， 第一系數(shù)確定子單元，用于開始一次構造，選擇d次項系數(shù)Cd ； 第二系數(shù)確定子單元，用于生成d-Ι和d-2次項系數(shù)； 第一判斷子單元，用于判斷cd_2是否小于0，如果cd_2小于O成立，則啟動第三系數(shù)確定子單元工作，否則啟動第二判斷子單元工作， 第三系數(shù)確定子單元，用于生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、Cd^Ctl ； 第二判斷子單元，用于結束此次構造并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則啟動排序輸出子單元工作，否則啟動第一系數(shù)確定子單元進行下一次構造； 排序輸出子單元，用于對各次構造所得多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值,根據(jù)MurphyE值進行排序,輸出最大值對應的多項式作為f (x)選擇結果，其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
3.一種基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解方法，其特征在于:包括以下步驟， 步驟I，輸入大數(shù)N， 步驟2，根據(jù)步驟I提供的大數(shù)進行多項式的選擇，得到多項式f(x)，g(x)； 步驟3，根據(jù)步驟2所得多項式f(x)，g(x)進行篩法產(chǎn)生關系對(a，b)，包括以下子步驟， 步驟3.1,根據(jù)f (X)和norm計算方式計算skewness值,skewness表示U/V的傾斜度，U，V是正整數(shù)，分別是a，b的取值范圍，即_U〈a〈U，0<b<V ； 步驟3.2，計算f(x)的實根，并記實根的最大絕對值為Root ； 步驟3.3,隨機選擇若干個b,對Root和skewness構成的閉區(qū)間采取逐步二分的方法，尋找一個傾斜值RS，滿足當限制|a/b|〈RS時求得關系數(shù)量最多,令skewness=RS ； 步驟3.4,對于每個b,限制a滿足I a/b |〈skewness X scale,對a的維度進行篩法過程，獲得關系對(a，b)，其中scale是一個預設系數(shù)； 步驟4，對于步驟3所得每個關系對(a，b)得到一行素元素，所有的關系對(a，b)對應的行構成一個矩陣，對矩陣進行約化處理得到兩個平方數(shù)1?: 步驟5，對步驟4所得兩個平方數(shù)卩^[^求取各自的平方根P1, ^2； 步驟6，根據(jù)步驟5所得平方根分解大數(shù)N，根據(jù)分解結果破解RSA密碼。
4.根據(jù)權利要求3所述基于預選擇大數(shù)分解的RSA密碼破解系統(tǒng)，其特征在于:步驟2中選擇得到多項式f(x)的方式為，令R:X)=cdXd+cd_lXd-4…+ Cu其中，d為f(x)的最高次數(shù)，cd、Cf1…Ctl為d、 d-l次項系數(shù)…常數(shù)項,執(zhí)行以下子步驟， 步驟2.1，開始一次構造，選擇d次項系數(shù)Cd ； 步驟2.2，生成d-1和d-2次項系數(shù)； 步驟2.3，判斷cd_2是否小于0，如果cd_2小于0成立，則進入步驟2.4生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項，否則進入步驟2.5， 步驟2.4，生成剩余的其他系數(shù)和常數(shù)項cd_3、cd_4...C(l，進入步驟2.5 ； 步驟2.5，結束此次構造，并判斷構造次數(shù)是否達到預設閾值，是則轉步驟2.6，否則轉步驟2.1進行下一次構造； 步驟2.6，對各次構造所得多項式進行優(yōu)化并計算優(yōu)化后多項式的MurphyE值，根據(jù)MurphyE值進行排序，輸出最大值對應的多項式作為f(x)選擇結果，其中MurphyE表示多項式平滑的概率。
【文檔編號】H04L9/30GK103618601SQ201310672540
【公開日】2014年3月5日 申請日期:2013年12月11日 優(yōu)先權日:2013年12月11日
【發(fā)明者】楊敏, 王張宜, 孟慶樹 申請人:武漢大學