本發(fā)明涉及信號與信息處理技術，具體涉及一種多分量LFM信號的精確檢測與分離方法。

背景技術：

隨著大規(guī)模復雜雷達系統(tǒng)投入使用，電磁環(huán)境日益復雜，大量雷達脈沖交疊從而形成多分量線性調(diào)頻(Linear frequency modulated,LFM)信號。多分量LFM信號有效檢測和分離作為雷達信號有效識別與參數(shù)提取的關鍵問題，在現(xiàn)代電子對抗偵察系統(tǒng)中受到越來越多的重視。多分量LFM信號的檢測和分離主要分為參數(shù)化方法和非參數(shù)化方法，其中非參數(shù)化方法主要基于時頻分布。巴爾巴羅薩(BARBAROSSA S.)等首先在《Analysis of multicomponent LFM signals by a combined Wigner-Hough transform.》(IEEE Transactions on Signal Processing,1995,43(6):1511-1515)中通過Wigner-Hough變換(WHT)對多分量LFM信號進行了分析，為雷達信號的參數(shù)提取與有效識別提供了新的途徑。此后，郭漢偉等在《基于小波Radon變換檢測線性調(diào)頻信號》(國防科技大學學報,2003,25(1):91-94)將小波-Radon變換引入LFM信號的檢測與參數(shù)估計中，在較高信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)條件下實現(xiàn)了信號參數(shù)的精確估計。

然而，非參數(shù)化信號檢測方法易受噪聲影響且估計精度較低，部分方法還受到交叉項干擾。因此，傅立葉-貝塞爾變換(Fourier-Bessel Transform,FBT)作為一種參數(shù)化方法開始被引入信號檢測與分離中。帕徹力(PACHORI R B)等在《A new technique to reduce cross terms in the Wigner distribution》(Digital Signal Processing,2007,17(2):466-474)將FBT引入數(shù)字信號處理領域，完成了頻域不交疊LFM信號的分離。蘇雷什(SURESH P)等在《Extracting micro-Doppler radar signatures from rotating targets using Fourier-Bessel transform and time-frequency analysis》(IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2014,52(6):3204-3210)提出了一種頻域交疊信號的分離方法，該方法具有一定的普適性，且在低信噪比下具有一定魯棒性。然而，對于頻率相近的多分量LFM信號，傳統(tǒng)基于FBT的方法由于分辨率限制，導致難以對信號分量進行正確檢測和有效分離。

技術實現(xiàn)要素：

針對傳統(tǒng)基于FBT的方法難以實現(xiàn)多分量LFM信號的精確檢測和有效分離，為了在低SNR環(huán)境下正確檢測頻率相近多分量LFM信號并完成信號分離，本發(fā)明通過分析FB級數(shù)的特點，推導了信號頻率成分與FB系數(shù)的一一對應關系，指出信號分離精度與FB積分窗長正相關，進而提出了一種基于離散變窗長FBT(Discrete Variable Window Length FBT,DVWL-FBT)的多分量LFM信號的精確檢測與分離方法，完成了低SNR環(huán)境下頻率相近多分量LFM信號的正確檢測和有效分離。

本發(fā)明提供了一種多分量LFM信號的精細檢測與分離方法，包括下列步驟：

第一步：對接收信號進行分數(shù)階Fourier變換(FrFT)，搜索能量聚集峰值及對應分數(shù)階Fourier域，進行信號分量的粗檢測；

第二步：對信號進行DVWL-FB級數(shù)展開，確定DVWL-FB系數(shù)的最小值及最大值系數(shù)確定系數(shù)區(qū)間，通過該區(qū)間上系數(shù)幅值特性不斷更新區(qū)間，進行信號檢測修正；

第三步：提取最終劃分區(qū)間的DVWL-FB系數(shù)進行信號重構；對重構信號進行分數(shù)階Fourier逆變換(IFrFT)，得到時頻域上的原始單分量信號；循環(huán)步驟一至二，直到不存在明顯的能量聚集峰值。

在本發(fā)明的所述方法中，第一步包括：

對接收信號s(t)進行分數(shù)階Fourier變換(FrFT)，搜索能量聚集峰值及分數(shù)階Fourier域，進行信號分量的粗檢測；

設多分量LFM信號的模型表示為

式中：K為信號分量數(shù)，a_i、f_i、μ_i分別為第i個信號分量的振幅、載頻和調(diào)頻率，w(t)～N(0,σ²)為實部、虛部不相關的零均值復高斯白噪聲；LFM信號在時頻面上呈直線形式，其FrFT可視為在時頻平面上將t軸與f軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的直線形式；信號s(t)的FrFT定義為：

式中：u為分數(shù)階傅立葉域變量，p為變換階次，α＝pπ/2為變換前后坐標軸夾角，K_α(t,u)為變換核；

t_θ軸和f_θ軸由時頻平面上t軸和f軸經(jīng)FrFT后繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ得到，Δθ為旋轉(zhuǎn)步長；沿軸將該信號時頻分布線向軸積分，若滿足

則在處取得極大值，即表示在該分數(shù)階Fourier域上某一分量信號表現(xiàn)為單頻信號的形式；依次在時頻面上進行搜索，即可確定各分量信號對應積分極大值的分數(shù)階Fourier域；此時，該多分量LFM信號可表示為

在本發(fā)明的所述方法中，第二步包括：

對信號進行DVWL-FB級數(shù)展開，確定DVWL-FB系數(shù)的最小值及最大值系數(shù)，并根據(jù)該區(qū)間上系數(shù)幅值單調(diào)性進行區(qū)間劃分，實現(xiàn)信號檢測修正；

在有限區(qū)間(0,T)上，信號s(t)在(0,T)上的各項零階FB級數(shù)展開為

信號s(t)的各項FB級數(shù)C_m可由下式計算

式中，m＝1,2,…,M，J₁(λ_m)為一階Bessel函數(shù)在λ_m處的函數(shù)值；

已知在能量聚集的分數(shù)階Fourier域上，某一單分量LFM信號表現(xiàn)為單頻信號的形式，即s₀(t)＝aexp(j2πf₀t)；由式(6)知，信號s(t)展開的FB級數(shù)核函數(shù)為k(t)＝J₀(λ_mt/T)，由Bessel函數(shù)性質(zhì)，有

其中λ_m＞2πf₀T；當信號頻率f₀趨近于時，m₀階FB系數(shù)表現(xiàn)為一峰值；設頻率

則

由式(9)知，當積分上限T一定時，信號頻率與FB系數(shù)的階數(shù)m存在一一對應關系；該積分峰值即表示存在一頻率為f₀的單頻信號；

為提高信號的頻率分辨率以提高多分量信號的分離精度，現(xiàn)設信號觀測時間(0,T)，窗長T′＝kT為信號觀測時間的k(k＞1)倍，則

則當上式取得極大值時，頻率f₀可近似表示為

已知第m階和第m+1階FB系數(shù)對應的零階Bessel函數(shù)的正根分別為λ_m和λ_m+1，當m→∞時，兩相鄰零階貝塞爾函數(shù)正根之差約為π，即

其中，|(λ_m+1-λ_m)-π||_m≥7＜10^-3，即當m≥7時兩相鄰零階Bessel函數(shù)的正根之差與π之差小于10^-3；因此，當窗長為T′＝kT時，相鄰FB系數(shù)對應頻率的差值Δf_m隨系數(shù)階數(shù)的增大而微小變化，以該頻率差值近似表示頻率分辨率，即

由式(13)知，信號的頻率分辨率Δf_m與窗長T′(或k值)負相關；窗長(或k值)越大，頻率分辨率越高，信號的分離精度越高；

有限時域連續(xù)信號在進行信號處理之前通常進行數(shù)字采樣；若信號觀測時間為(0,T)，信號采樣頻率為f_s，采樣間隔為t_s，采樣點數(shù)為N，則離散多分量LFM信號表示為

當積分窗長為T′＝kT時，則離散信號s(n)的各項DVWL-FB級數(shù)表示為

其中m＝1,2,…,M；為降低計算復雜度，對式(15)作如下改進

其中K₁＝2t_s/T²為常系數(shù)，系數(shù)僅隨階數(shù)m變化；式(15)中，計算每一階系數(shù)需進行3N次乘法，N-1次加法，則計算M階系數(shù)的算法復雜度為O(3MN²)；同理，采用式(16)計算M階系數(shù)的算法復雜度為O(2MN²)，計算效率得到提升；

由式(10)知，當積分窗長不變時，信號的頻率與DVWL-FB級數(shù)的階數(shù)一一對應；已知N個采樣點所表示的最大頻率為Nf_s，則必然存在某一最大有效階數(shù)M與該最大頻率相對應，即M＝kN；因此對于離散信號，只需計算階數(shù)為k倍信號采樣點數(shù)的DVWL-FB級數(shù)即可完全表征采樣的信號頻率范圍；由此可以得出，窗長的增大一方面使得信號的頻率分辨率提高，達到更優(yōu)的信號分離精度，另一方面使得所需計算DVWL-FB系數(shù)的階數(shù)增加，計算量相應增大；

在本發(fā)明的所述方法中，第三步包括：

提取最終劃分區(qū)間的DVWL-FB系數(shù)進行信號重構；對重構信號進行分數(shù)階Fourier逆變換(IFrFT)，得到時頻域上的原始信號；循環(huán)步驟一至二，直到不存在明顯的能量聚集峰值；

其中，由于FrFT計算量對步長的限制，使得變換后的各分量信號仍存在一較小帶寬而非理論單頻信號；同時，如式(11)所述，某一單頻信號除峰值階數(shù)外在其附近若干階系數(shù)上也存在投影；因此，變換后的信號除峰值項DVWL-FB系數(shù)外還與其附近的若干項系數(shù)有關；

由于最大值和最小值項DVWL-FB系數(shù)總是成對出現(xiàn)，因此依次提取該區(qū)間上系數(shù)并進行重構，即可得到分數(shù)階Fourier域的各單分量信號，從而完成信號在分數(shù)階Fourier域的分離；已知多分量信號的DVWL-FB系數(shù)表現(xiàn)為各個單分量信號系數(shù)的疊加，即

因此，第i個信號分量可根據(jù)區(qū)間上的若干項DVWL-FB系數(shù)重構為

最后，通過分數(shù)階Fourier逆變換(Inverse Fractional Fourier transform，IFRFT)將分數(shù)階Fourier域的各分量信號還原為時頻域信號

可以對信號分量進行正確檢測和有效分離。

附圖說明

圖1示出本發(fā)明的流程圖；

圖2示出分數(shù)階Fourier域LFM信號示意圖；

圖3示出理論條件及SNR＝-8dB條件下多分量LFM信號時頻分布圖；

圖4(a)示出SNR＝-8dB條件下時頻域多分量LFM信號的DVWL-FB系數(shù)，圖4(b)示出SNR＝-8dB條件下分數(shù)階Fourier域多分量LFM信號的DVWL-FB系數(shù)，圖4(c)示出SNR＝-8dB條件下分數(shù)階Fourier域多分量LFM信號的DVWL-FB峰值系數(shù)放大圖；

圖5(a)示出理論條件下時頻域多分量LFM信號的DVWL-FB系數(shù)，圖5(b)示出理論條件下分數(shù)階Fourier域多分量LFM信號的DVWL-FB系數(shù)，圖5(c)示出理論條件下分數(shù)階Fourier域多分量LFM信號的DVWL-FB峰值系數(shù)放大圖；

圖6(a)示出采用本發(fā)明分離得到的第一信號分量的時頻分布圖，圖6(b)示出分離得到的第二信號分量的時頻分布圖一，圖6(c)示出分離得到的第二信號分量的時頻分布圖二，圖6(d)示出分離得到的第二信號分量的時頻分布圖三；

圖7示出不同SNR條件下，最小可分辨頻率隨窗長的變化情況。

具體實施方式

下面結合實施例、附圖對本發(fā)明作進一步描述。

本發(fā)明的方法是：首先利用FrFT實現(xiàn)各信號分量的最佳能量聚集，根據(jù)峰值個數(shù)進行信號分量的粗檢測；然后通過設定合適的窗長以達到分離精度要求，根據(jù)DVWL-FB級數(shù)的幅度特性進行信號分量的檢測修正；在信號正確檢測基礎上，結合逐次消去技術通過DVWL-FB級數(shù)重構完成信號分離。

實現(xiàn)上述本發(fā)明方法的具體步驟如下：

第一步：初始化信號分量個數(shù)K＝0；對接收信號s(t)進行FrFT，搜索接收信號能量聚集呈現(xiàn)峰值的分數(shù)階Fourier域，當在域α＝α₀上取得能量聚集極大值時，記K＝K+1。

對接收信號s(t)進行FrFT，搜索能量聚集為峰值的分數(shù)階Fourier域，當在某一域上取得能量聚集峰值時，記信號分量個數(shù)K＝K+1；

設多分量LFM信號的模型表示為

式中：K為信號分量數(shù)，a_i、f_i、μ_i分別為第i個信號分量的振幅、載頻和調(diào)頻率，w(t)～N(0,σ²)為實部、虛部不相關的零均值復高斯白噪聲。LFM信號在時頻面上呈直線形式，其FrFT可視為在時頻平面上將t軸與f軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的直線形式，如圖2所示。FrFT是Fourier變換的廣義形式，它作為一種線性變換，在處理多分量信號時能夠有效避免交叉項的干擾。當階數(shù)p＝1時FrFT即表示Fourier變換。信號s(t)的FrFT定義為：

式中：u為分數(shù)階傅立葉域變量，p為變換階次，α＝pπ/2為變換前后坐標軸夾角，K_α(t,u)為變換核。

圖2中，t_θ軸和f_θ軸由時頻平面上t軸和f軸經(jīng)FrFT后繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ得到，其中θ∈(-π/2,π/2)，Δθ為旋轉(zhuǎn)步長。若Δθ足夠小，總會存在某一旋轉(zhuǎn)角θ＝θ_i，使得LFM信號的時頻分布線垂直于分數(shù)階Fourier域中的軸，沿軸將該信號時頻分布線向軸積分，若積分滿足

則在f_θ＝f_θi處取得極大值，即表示在該分數(shù)階Fourier域上某一分量信號表現(xiàn)為單頻信號的形式。依次在時頻面上進行搜索，即可確定各分量信號對應積分極大值的分數(shù)階Fourier域。此時，該多分量LFM信號可表示為

式(4)表明各分量信號在各自能量聚集為峰值的分數(shù)階Fourier域上表現(xiàn)為單頻信號的形式。

然而，多數(shù)基于FrFT的多分量信號檢測算法將能量聚集的峰值個數(shù)作為信號分量個數(shù)的判定。然而，與基于能量的Wigner分布相同，基于FrFT的能量聚集峰值判定對噪聲敏感。此外，由于計算量對FrFT旋轉(zhuǎn)步長的限制，往往導致頻率相近的第i個和第j(j≠i)個信號分量搜索得到的能量聚集表現(xiàn)為單峰。此時，若將峰值個數(shù)判定為信號分量數(shù)將會產(chǎn)生疏漏。因此，在此基礎上，進行第二步的基于DVWL-FB級數(shù)的檢測修正。

在本發(fā)明的所述方法中，第二步包括：

根據(jù)信號分離精度要求設定DVWL-FBT窗長，在各能量聚集分數(shù)階Fourier域上對信號進行DVWL-FB級數(shù)展開；確定DVWL-FB系數(shù)的最小值系數(shù)及最大值系數(shù)判斷該區(qū)間上系數(shù)i∈[a,b]的單調(diào)性；根據(jù)系數(shù)幅值單調(diào)性進行區(qū)間劃分，每次劃分記K＝K+1，以此進行檢測修正；

在無限區(qū)間上，F(xiàn)BT將信號分解為無限個貝塞爾函數(shù)的加權和。通常情況下，多分量LFM信號s(t)為有限時域信號，在有限區(qū)間(0,T)上，信號s(t)能夠展開為正交函數(shù)集上的無窮級數(shù)。當該正交函數(shù)集為零階貝塞爾(Bessel)函數(shù)時，信號s(t)即展開為FB級數(shù)。零階Bessel函數(shù)的正交性可表示為

式中：t∈(0,T)，J₀(t)為第一類零階Bessel函數(shù)，λ_m為J₀(t)＝0的第m個升序正根。信號在(0,T)上的各項零階FB級數(shù)展開為

信號s(t)的各項FB級數(shù)C_m可由下式計算

式中，m＝1,2,…,M，J₁(λ_m)為一階Bessel函數(shù)在λ_m處的函數(shù)值。

已知在能量聚集的分數(shù)階Fourier域上，某一單分量LFM信號表現(xiàn)為單頻信號的形式，即s₀(t)＝aexp(j2πf₀t)。由式(7)知，信號s(t)展開的FB級數(shù)核函數(shù)為k(t)＝J₀(λ_mt/T)，由Bessel函數(shù)性質(zhì)，有

其中λ_m＞2πf₀T。當信號頻率f₀趨近于時，m₀階FB系數(shù)表現(xiàn)為一峰值。設頻率

則

由式(10)知，當積分上限T一定時，信號頻率與FB系數(shù)的階數(shù)m存在一一對應關系。該積分峰值即表示存在一頻率為f₀的單頻信號。

頻率相近信號的分離對信號的頻率分辨率提出了更高的要求。為提高信號的頻率分辨率以提高多分量信號的分離精度，設信號觀測時間(0,T)，窗長T′＝kT為信號觀測時間的k(k＞1)倍，則

則當上式取得極大值時，頻率f₀可近似表示為

已知第m階和第m+1階FB系數(shù)對應的零階Bessel函數(shù)的正根分別為λ_m和λ_m+1，當m→∞時，兩相鄰零階貝塞爾函數(shù)正根之差約為π，即

實際中，|(λ_m+1-λ_m)-π||_m≥7＜10^-3，即當m≥7時兩相鄰零階Bessel函數(shù)的正根之差與π之差小于10^-3。因此，當窗長為T′＝kT時，相鄰FB系數(shù)對應頻率的差值Δf_m隨系數(shù)階數(shù)的增大而微小變化，以該頻率差值近似表示頻率分辨率，即

由式(14)知，信號的頻率分辨率Δf_m與窗長T′(或k值)負相關。窗長(或k值)越大，頻率分辨率越高，信號的分離精度越高。

在實際應用中，有限時域連續(xù)信號在進行信號處理之前通常進行數(shù)字采樣。若信號觀測時間為(0,T)，信號采樣頻率為f_s，采樣間隔為t_s，采樣點數(shù)為N，則離散多分量LFM信號表示為

當積分窗長為T′＝kT時，則離散信號s(n)的各項DVWL-FB級數(shù)表示為

其中m＝1,2,…,M。為降低計算復雜度，對式(16)作如下改進

其中K₁＝2t_s/T²為常系數(shù)，系數(shù)僅隨階數(shù)m變化。已知{λ_m}為一固定常數(shù)列，因此{K_m}也為一固定常數(shù)列，且各階系數(shù)不隨信號參數(shù)的不同而改變。式(16)中，計算每一階系數(shù)需進行3N次乘法，N-1次加法，則計算M階系數(shù)的算法復雜度為O(3MN²)。同理，采用式(17)計算M階系數(shù)的算法復雜度為O(2MN²)，計算效率得到提升。

由式(11)知，當積分窗長不變時，信號的頻率與DVWL-FB級數(shù)的階數(shù)一一對應。已知N個采樣點所表示的最大頻率為Nf_s，則必然存在某一最大有效階數(shù)M與該最大頻率相對應，即M＝kN。階數(shù)大于最大有效階數(shù)M的DVWL-FB系數(shù)對應的信號頻率為第1～M階系數(shù)對應信號頻率的周期性重復，其重復周期M_r為2倍采樣點數(shù)，即M_r＝2kN。特別地，取窗長為信號觀測時間時，最大有效階數(shù)即為信號采樣點數(shù)。因此對于離散信號，只需計算階數(shù)為k倍信號采樣點數(shù)的DVWL-FB級數(shù)即可完全表征采樣的信號頻率范圍。由此可以得出，窗長的增大一方面使得信號的頻率分辨率提高，達到更優(yōu)的信號分離精度，另一方面使得所需計算DVWL-FB系數(shù)的階數(shù)增加，計算量相應增大。

如前所述，將基于FrFT能量聚集峰值個數(shù)判定為信號分量數(shù)將會產(chǎn)生疏漏。由式(4)知，某一信號分量當能量聚集取得峰值時轉(zhuǎn)換為單頻信號。根據(jù)信號頻率與DVWL-FB級數(shù)項數(shù)的關系，該單頻信號總會在某項DVWL-FB系數(shù)上取得峰值。同時，由于Bessel函數(shù)的振蕩特性，使得該峰值系數(shù)表現(xiàn)為相鄰的正負兩項峰值系數(shù)，即最大值和最小值。根據(jù)頻率分辨率與窗長的關系，窗長(或k值)的增加使得頻率分辨率提高，具體通過在最小值系數(shù)和最大值系數(shù)之間插入若干項系數(shù)來實現(xiàn)(不妨設a＜b)，且這些系數(shù)在以該最大值和最小值系數(shù)構成的區(qū)間上單調(diào)增加(或單調(diào)減小)。

對于多個頻率相近的信號分量，其DVWL-FB系數(shù)在該區(qū)間上疊加，從而使得單分量信號幅值的單調(diào)性被破壞。因此，在基于FrFT能量聚集的基礎上，通過以最大值和最小值系數(shù)構成區(qū)間上的DVWL-FB系數(shù)幅值的單調(diào)性進行頻率相近信號的檢測修正個數(shù)判定，不僅在頻率分辨率上有所提高，且不易受噪聲影響。

在本發(fā)明的所述方法中，第三步包括：

提取最終劃分區(qū)間的DVWL-FB系數(shù)進行信號重構；對重構信號進行分數(shù)階Fourier逆變換(IFrFT)，得到時頻域上的原始信號。循環(huán)步驟一至二，直到不存在明顯的能量聚集峰值。

實際中，由于FrFT計算量對步長的限制，使得變換后的各分量信號仍存在一較小帶寬而非理論單頻信號。同時，如式(11)所述，某一單頻信號除峰值階數(shù)外在其附近若干階系數(shù)上也存在投影。因此，變換后的信號除峰值項DVWL-FB系數(shù)外還與其附近的若干項系數(shù)有關。

由于最大值和最小值項DVWL-FB系數(shù)總是成對出現(xiàn)，因此依次提取該區(qū)間上系數(shù)并進行重構，即可得到分數(shù)階Fourier域的各單分量信號，從而完成信號在分數(shù)階Fourier域的分離。已知多分量信號的DVWL-FB系數(shù)表現(xiàn)為各個單分量信號系數(shù)的疊加，即

因此，第i個信號分量可根據(jù)區(qū)間上的若干項DVWL-FB系數(shù)重構為

最后，通過分數(shù)階Fourier逆變換(Inverse Fractional Fourier transform，IFRFT)將分數(shù)階Fourier域的各分量信號還原為時頻域信號

實例：空間錐體目標干涉式三維成像與微動特征提取仿真實驗

仿真參數(shù)設定：信噪比SNR＝-8dB條件下，信號觀測時間T＝20μs，采樣頻率F_s＝51.2MHz。分量s₁：f₁＝12MHz，μ₁＝-4.25×10¹¹Hz/s，a₁＝1.5；分量s₂：f₂＝7MHz，μ₂＝6×10¹¹Hz/s，a₂＝1.5；分量s₃：f₃＝21MHz，μ₃＝1.25×10¹¹Hz/s，a₃＝1；分量s₄：f₄＝20.9MHz，μ₄＝1.25×10¹¹Hz/s，a₄＝1。其中s₁與s₂的時頻分布在時頻域交疊，s₃與s₄為頻率相近信號，其調(diào)頻率相同，起始頻率僅相差0.1MHz。針對上述設定的參數(shù)進行仿真，在理論條件下和SNR＝-8dB條件下，頻率相近多分量LFM信號模型如圖3所示。

圖3(a)-圖3(c)表明：①頻率相近多分量LFM信號s₃與s₄從時頻分布圖上幾乎無法區(qū)分，如圖3(a)所示；②加入-8dB的高斯白噪聲后，多分量信號的SPWVD難以反映信號的時頻特征，如圖3(b)所示。

采用所提出的多分量LFM信號精細檢測與分離算法對各信號分量能量聚集的分數(shù)階Fourier域進行搜索，設置搜索角度步長為0.0002rad，當搜索到0.9746rad時，得到了分量s₃和分量s₄能量聚集的分數(shù)階Fourier域，記信號分量數(shù)K＝1。圖4(a)示出了取k＝6時且SNR＝-8dB條件下，時頻域及分量s₃與分量s₄能量聚集的分數(shù)階Fourier上多分量LFM信號的DVWL-FB級數(shù)，圖4(b)示出了該域上分量s₃和分量s₄的峰值DVWL-FB系數(shù)及其周圍若干階的局部放大圖，其中DVWL-FB系數(shù)幅值的最大值和最小值階數(shù)分別在第4563階和第4600階取得，幅值分別為-80.35和93.26。圖5(a)和圖5(b)分別示出了理論條件下相應的DVWL-FB級數(shù)及局部放大圖。

由于在第4563階和第4600階構成的區(qū)間上，DVWL-FB系數(shù)幅值不具有單調(diào)性，將該區(qū)間分割為兩個區(qū)間第4553階到第4563階和第4600階到第4610階，在這兩個區(qū)間上DVWL-FB系數(shù)幅值單調(diào)減小。因此在此區(qū)間上的單分量信號已完全檢測出，記信號分量數(shù)K＝K+1，即K＝2。

圖4(a)-圖4(c)，圖5(a)-圖5(c)表明：①在時頻域上DVWL-FB系數(shù)不能明顯地反映信號特征，表現(xiàn)為一系列雜亂無章的系數(shù)；②在能量聚集的分數(shù)階Fourier域上，DVWL-FB系數(shù)在m_min＝4563階和m_max＝4600階分別取得最小值和最大值，且在以m_min和m_max構成的的DVWL-FB系數(shù)區(qū)間上非單調(diào)性，表明該區(qū)間系數(shù)對應并非單分量信號。③SNR＝-8dB條件下分量s₃與s₄的DVWL-FB系數(shù)的最大幅值和最小幅值階數(shù)與理論條件下所得系數(shù)相同，證明了噪聲條件下本發(fā)明所提方法的正確性。

以此類推，繼續(xù)進行能量聚集的分數(shù)階Fourier域的搜索，將分數(shù)階Fourier域上信號展開為DVWL-FB級數(shù)并按照相應階數(shù)重構。圖6(a)-圖6(d)示出了采用所提方法進行多分量LFM的分離結果?？梢钥闯觯捎没贒VWL-FBT的信號檢測與分離算法，頻率相近信號及時頻域交疊信號均完成了有效分離，同時噪聲也被有效抑制，各分量的時頻分布較好的反應了各自的時頻特征，說明了本發(fā)明所提方法的有效性。

高斯白噪聲背景下，對頻率相近多分量信號進行檢測正確性測試。待分離信號為頻率相近兩分量信號s₅與s′₅，其中f₅＝10MHz，f′₅＝10+Δf MHz，其余參數(shù)均相同。在SNR為12dB～-6dB條件下，采用200次Monte-Carol方法仿真測試基于DVWL-FBT算法的兩分量信號的檢測正確性。由于兩信號頻率相近，當其頻率差小于一定值時，算法無法正確檢測出正確信號分量個數(shù)，稱能夠正確檢測的信號頻率差值為最小可分辨頻率Δf,這一頻率與載頻的比值稱為最小可分辨百分比。圖7示出了不同SNR條件下，檢測正確概率大于90％的最小可分辨百分比隨窗長(K值)變化情況。

該方法能夠在低信噪比條件下，對頻率相近的多分量LFM信號實現(xiàn)精確檢測和有效分離，在信號檢測正確性、信號分離精度以及低信噪比魯棒性等方面具有明顯優(yōu)勢。