本發(fā)明涉及自適應(yīng)控制領(lǐng)域，具體涉及一種基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法。

背景技術(shù)：

迭代學(xué)習(xí)控制(ilc)(arimoto等人，1984)最初是從機(jī)器人領(lǐng)域提出的，因為工業(yè)機(jī)構(gòu)通常用于執(zhí)行重復(fù)性任務(wù)。在這種情況下，ilc方法可以根據(jù)先前操作的誤差信息來改進(jìn)控制性能，已經(jīng)在廣泛的實際應(yīng)用中進(jìn)行了探討，例如在精確運動系統(tǒng)(tan等人，2001)、工業(yè)批量過程(lee和lee，2007)、高速交通控制(hou等人，2007；sun等人，2013)、列車軌跡跟蹤(hou等人，2011)和不確定的機(jī)器人系統(tǒng)(tayebi，2004；choi和lee，2000)中均實現(xiàn)了較好的控制。

最初提出的ilc方法利用一類pid型算法(arimoto等人，1984；tan等人，2001；lee和lee，2007；hou等人，2007；sun等人，2013；hou等人)。pid-ilc方法可以直接應(yīng)用于非線性不確定系統(tǒng)，因為它們需要很少的過程知識。在這個意義上，pid-ilc方法可以被稱為“數(shù)據(jù)驅(qū)動控制”方法(hou和wang，2013)，由于難以在大規(guī)模和復(fù)雜的工業(yè)過程中獲得精確的數(shù)學(xué)模型，這種方法已變得越來越具有吸引力(hou和wang，2013；hou和jin，2013；yin等，2014；xu等，2014)。

然而，典型的pid-ilc沿著迭代軸方向的系統(tǒng)瞬態(tài)性能通常較差，原因在于它沒有完全使用可測量的狀態(tài)和已知的過程信息。迄今為止所提出的ilc方案均要求在系統(tǒng)狀態(tài)和相同的期望軌跡上具有相同的初始條件。否則，沿著迭代軸方向只實現(xiàn)有界收斂。

因此，如何利用已知的過程知識來提高系統(tǒng)的控制性能是當(dāng)前的研究熱點。最近，一些自適應(yīng)ilc(ailc)方案(tayebi，2004；choi和lee，2000；frenchandrogers，2000；xu和wiswanathan，2000；qu和xu，2002；xu和xu，2004；rotariu，wang和chien，2013；yin等，2010)已經(jīng)在ilc領(lǐng)域提出。針對控制對象是重復(fù)的線性時不變(lti)參數(shù)化系統(tǒng)，french和rogers(2000)首先將傳統(tǒng)的參數(shù)適應(yīng)規(guī)律引入到學(xué)習(xí)任務(wù)中，其中參數(shù)更新規(guī)律與連續(xù)時間自適應(yīng)控制相同。唯一的區(qū)別是它通過使當(dāng)前迭代的初始參數(shù)估計等于先前迭代的終端參數(shù)估計來在固定時間間隔上鏈接兩個連續(xù)重復(fù)操作。

針對線性時變參數(shù)系統(tǒng)，有學(xué)者提出了基于復(fù)合能量函數(shù)(cef)的自適應(yīng)ilc方法(xu和wiswanathan，2000；qu和xu，2002；xu和xu，2004；rotariuetal，2008；wangandchien，2013；yinetal2010)。因為未知的時變參數(shù)在可重復(fù)的控制環(huán)境下沿著迭代軸方向是不變的，因此時變參數(shù)沿著迭代軸(批到批)方向而不是時間軸方向更新。此外，當(dāng)參數(shù)子集被稱為時不變而其余是時變時，針對這種情況有學(xué)者也提出了具有混合參數(shù)更新定律的新的自適應(yīng)ilc方法(xu和xu，2004)?；旌蠀?shù)更新法則分別包含用于時不變和時變參數(shù)的兩個參數(shù)估計器。

注意，上述自適應(yīng)ilc方法利用過程的已知知識，例如測量的系統(tǒng)狀態(tài)、已知的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、以及參數(shù)的已知的時變和/或時不變性質(zhì)。它們能夠確保沿著重復(fù)軸的跟蹤誤差的漸近收斂為零。同時，上述自適應(yīng)ilc可以通過將目標(biāo)軌跡的已知信息包括到控制律中來處理迭代變化的目標(biāo)軌跡。因此，可以通過使用可用的過程知識來實現(xiàn)更期望的性能。然而，上述自適應(yīng)ilc的開放性問題在于，為了保證收斂，需要所有迭代的初始系統(tǒng)狀態(tài)相同。

與上述用于連續(xù)時間系統(tǒng)的自適應(yīng)ilc方法相比，離散時間自適應(yīng)ilc(dailc)方法(chi等人，2008)已經(jīng)開始獲得關(guān)注。幾種dailc方法(chi等人，2008；chi等人，2007；li等人，2010；chi等人，2013)已經(jīng)被提出用于時變參數(shù)系統(tǒng)。通過使用可測量的系統(tǒng)狀態(tài)，已知模型結(jié)構(gòu)和精確已知的參考軌跡，離散時間ailc方法漸近地實現(xiàn)理想的跟蹤性能，而不需要在目標(biāo)軌跡或相同的初始狀態(tài)迭代上通過迭代的相同條件。然而，現(xiàn)有的離散時間ailc方法將所有未知的參數(shù)不確定性視為時變，即使參數(shù)不確定性是時不變的或者可以被精確地分離為時不變參數(shù)和時變參數(shù)，現(xiàn)有的離散時間ailc也將其視為時變參數(shù)，因此并未充分利用系統(tǒng)參數(shù)已知的有效信息(如全部時變，全部時不變，或部分時變部分時不變)，不能達(dá)到最好的控制效果。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提出一種基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法，該方法通過判斷所研究對象的數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)參數(shù)的類型來建立自適應(yīng)控制模式，能夠增強(qiáng)對研究對象的控制性能。

為了實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明專利采用如下技術(shù)方案，基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法，包括以下步驟：

s1.建立實際電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；

s2.判斷所建立的數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)參數(shù)的類型；

s3.根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的類型對所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)建立自適應(yīng)控制模式；

s4.根據(jù)所建立的自適應(yīng)控制模式對所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行控制。

進(jìn)一步地，在步驟s1中還包括如下步驟：如果所建立的數(shù)學(xué)模型是連續(xù)時間模型，需要將連續(xù)的時間模型進(jìn)行離散化；如果所建立的數(shù)學(xué)模型如果是離散時間模型，則直接進(jìn)行步驟s2。

進(jìn)一步地，步驟s2中系統(tǒng)參數(shù)的類型包括時變系統(tǒng)參數(shù)模型、時不變系統(tǒng)參數(shù)模型和混合系統(tǒng)參數(shù)模型。

進(jìn)一步地，步驟s3中對所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)建立自適應(yīng)控制過程時，先假設(shè)其通用數(shù)學(xué)模型為

其中xn(k)∈r和un(k)∈r分別表示實際電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入；和表示已知的非線性函數(shù)；是未知的時變參數(shù)向量；是時不變的；m1、m2分別與實際電機(jī)系統(tǒng)的時變參數(shù)和常參數(shù)的數(shù)量相對應(yīng)；b(k)是未知的時變輸入增益；k∈{0,λ,t}，t是有限時間間隔的終點；n＝1,2,λ表示迭代次數(shù)；跟蹤誤差為en(k)＝xr,n(k)-xn(k)；

并且該數(shù)學(xué)模型滿足以下假設(shè)：

(1)函數(shù)和滿足線性增長條件，即，

其中，0<p1<∞，0<p2<∞；0<c1<∞，0<c1<∞。

(2)對所有k∈{0,λ,t}和迭代次數(shù)n，未知時變參數(shù)θ⁰(k)、目標(biāo)軌跡xr,n(k)和初始狀態(tài)值xn(0)均一致有界；

(3)對所有的k∈{0,1,λt}，b(k)是正的(或負(fù)的)、非奇異的和有界的，并且0＜bmin≤b(k)≤bmax，其中bmin和bmax分別是b(k)已知的上限和下限。

進(jìn)一步地，對應(yīng)步驟s2中的時變系統(tǒng)參數(shù)模型，通用數(shù)學(xué)模型簡化為

xn(k+1)＝θ⁰(k)ξ⁰(xn(k))+b(k)un(k)

其中ξ⁰(xn(k))∈r^m表示已知的非線性函數(shù)；θ⁰(k)∈r^1×m是未知的時變參數(shù)向量；m表示實際電機(jī)系統(tǒng)的時變參數(shù)的數(shù)量。

則步驟s3中的自適應(yīng)控制模式為：

其中，θ(k)＝[b^-1(k),b^-1(k)θ⁰(k)]，ξ(xn(k))＝[xr,n(k+1),-ξ⁰(xn(k))]^t，表示的θ(k)估計值且有界；c＞0，0＜|a|bmax＜2，a的符號與bmax的符號相同。

進(jìn)一步地，對應(yīng)步驟s2中的時不變系統(tǒng)參數(shù)模型，通用數(shù)學(xué)模型簡化為

xn(k+1)＝θ⁰ξ⁰(xn(k))+bun(k)

其中θ⁰和b都是常數(shù)；

則步驟s3中的自適應(yīng)控制模式為：

其中θ＝[b^-1,b^-1θ⁰],ξ(xn(k))＝[xr,n(k+1),-ξ⁰(xn(k))]^t，表示的θ估計值，并且是給定的且有界；c＞0，0＜abmax＜2，a的符號與bmax的符號相同。

根據(jù)權(quán)利要求4所述的基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法，其特征在于，對應(yīng)步驟s2中的混合參數(shù)模型，通用數(shù)學(xué)模型簡化為

其中，存在兩個非線性向量值函數(shù)和是時變的，是時不變的，輸入增益b為常數(shù)；

則步驟s3中的自適應(yīng)控制模式為：

其中，ξ2,n(k)＝[xr,n(k+1)-ξ2(xn(k))^t]^t，和分別用于估計θ1(k)和θ2；

對于時變θ1(k)，通過遞歸設(shè)計ide控制律，

對于時不變參數(shù)θ2，采用如下tde控制律

其中，q1和q2是正學(xué)習(xí)收益，q＝diag(q1,q2)、和的初始值和是給定且有界的。

本發(fā)明所提出的基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法，通過判斷所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)類型來建立自適應(yīng)控制模式，所建立的控制模式不需要相同初始狀態(tài)和相同參考軌跡的條件，并且能夠充分利用測量的狀態(tài)和已知的過程信息來增強(qiáng)對混合參數(shù)不確定性的實際電機(jī)系統(tǒng)的控制性能。

附圖說明

圖1是情形1的隨機(jī)值m1(n)；

圖2是情形1的隨機(jī)值m2(n)；

圖3是情形1的初始狀態(tài)隨機(jī)值；

圖4是時不變參數(shù)不確定系統(tǒng)的跟蹤誤差；

圖5是情形2的隨機(jī)值m1(n)；

圖6是情形2的隨機(jī)值m2(n)；

圖7是情形2中初始狀態(tài)的隨機(jī)值；

圖8是時變參數(shù)不確定系統(tǒng)的跟蹤誤差；

圖9是情形3的隨機(jī)值m1(n)；

圖10是情形3的隨機(jī)值m2(n)；

圖11是情形3中初始狀態(tài)的隨機(jī)值；

圖12是混合參數(shù)不確定系統(tǒng)的跟蹤誤差。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖和實施例對本發(fā)明作進(jìn)一步的說明。

基于知識增強(qiáng)和重復(fù)學(xué)習(xí)的高效率自適應(yīng)控制方法，包括以下步驟：

s1.建立實際電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；如果所建立的數(shù)學(xué)模型是連續(xù)時間模型，需要將連續(xù)的時間模型進(jìn)行離散化；如果所建立的數(shù)學(xué)模型如果是離散時間模型，則直接進(jìn)行步驟s2。

s2.判斷所建立的數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)參數(shù)的類型；根據(jù)系統(tǒng)的參數(shù)類型可將系統(tǒng)分為時變系統(tǒng)參數(shù)模型、時不變系統(tǒng)參數(shù)模型和混合系統(tǒng)參數(shù)模型。

其中時變系統(tǒng)參數(shù)模型是指系統(tǒng)的參數(shù)的不確定性是隨時間變化的；時不變系統(tǒng)參數(shù)模型是指系統(tǒng)的參數(shù)的不確定性是不隨時間變化的；混合系統(tǒng)參數(shù)模型是指，系統(tǒng)的參數(shù)一組未知參數(shù)是不隨時間變化的，其余的參數(shù)是隨時間變化的。

s3.根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的類型對所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)建立自適應(yīng)控制模式。

s4.根據(jù)所建立的自適應(yīng)控制模式對所研究的實際電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行控制。

在本發(fā)明中，用于時變參數(shù)不確定系統(tǒng)的dailc方法，應(yīng)用迭代差估計器來更新時變參數(shù)迭代，稱為基于迭代差分估計的dailc方法(ide-dailc)。針對時不變參數(shù)不確定系統(tǒng)的dailc方法所提出的參數(shù)更新定律通過使用時間差估計算法沿著時間軸連續(xù)地估計參數(shù)，稱為基于時間差估計器的dailc方法(tde-dailc)。用于混合參數(shù)不確定系統(tǒng)的所提出的dailc方法包括：時間差估計器，用于沿著時間軸連續(xù)地更新時不變參數(shù)；以及迭代差估計器，用于分別沿著迭代軸更新時變的參數(shù)。為簡潔起見，將其表示為基于混合差分估計器的dailc方法(mde-ailc)。

假設(shè)研究對象的通用數(shù)學(xué)模型為：

其中xn(k)∈r和un(k)∈r分別表示實際電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入；和表示已知的非線性函數(shù)；是未知的時變參數(shù)向量；是時不變的；m1、m2分別與實際電機(jī)系統(tǒng)的時變參數(shù)和常參數(shù)的數(shù)量相對應(yīng)；b(k)是未知的時變輸入增益；k∈{0,λ,t}，t是有限時間間隔的終點；n＝1,2,λ表示迭代次數(shù)；跟蹤誤差為en(k)＝xr,n(k)-xn(k)；

并且該數(shù)學(xué)模型滿足以下假設(shè)：

(1)函數(shù)和滿足線性增長條件，即，

其中，0<p1<∞，0<p2<∞；0<c1<∞，0<c2<∞。

(2)對所有k∈{0,λ,t}和迭代次數(shù)n，未知時變參數(shù)θ⁰(k)、目標(biāo)軌跡xr,n(k)和初始狀態(tài)值xn(0)均一致有界；

(3)對所有的k∈{0,1,λt}，b(k)是正的(或負(fù)的)、非奇異的和有界的，并且0＜bmin≤b(k)≤bmax，其中bmin和bmax分別是b(k)已知的上限和下限。

我們的控制目標(biāo)是尋找一個合適的控制輸入序列un(k)，k∈{0,λ,t-1}，使得實際電機(jī)系統(tǒng)輸出xn(k)隨著迭代次數(shù)的增加在整個間隔k∈{0,λ,t}上能夠跟蹤期望軌跡xr,n(k)。注意，假定系統(tǒng)輸出xr,n(k)在迭代過程中是變化的。

定義en(k)＝xr,n(k)-xn(k)，可以將跟蹤誤差寫為

en(k+1)＝xr,n(k+1)-θ⁰(k)ξ⁰(xn(k))-b(k)un(k)＝b(k)(b-¹(k)xr,n(k+1)-b-¹(k)θ⁰(k)ξ⁰(xn(k))-un(k))(3)

令θ(k)＝[b^-1(k),b^-1(k)θ⁰(k)]，ξ(xn(k))＝[xr,n(k+1),-ξ⁰(xn(k))]^t，可以將式(3)重新寫為

en(k+1)＝b(k)(θ(k)ξ(xn(k))-un(k))(4)

針對時變系統(tǒng)參數(shù)模型：

通用數(shù)學(xué)模型簡化為

xn(k+1)＝θ⁰(k)ξ⁰(xn(k))+b(k)un(k)

其中ξ⁰(xn(k))∈r^m表示已知的非線性函數(shù)；θ⁰(k)∈r^1×m是未知的時變參數(shù)向量；m表示實際電機(jī)系統(tǒng)的時變參數(shù)的數(shù)量。

則步驟s3中的自適應(yīng)控制模式為：

其中，θ(k)＝[b^-1(k),b^-1(k)θ⁰(k)]，ξ(xn(k))＝[xr,n(k+1),-ξ⁰(xn(k))]^t，表示的θ(k)估計值且有界；c＞0，0＜|a|bmax＜2，a的符號與bmax的符號相同。

注1：注意，參數(shù)更新定律(6)是沿著迭代軸方向逐點進(jìn)行的，并且未知的時變參數(shù)通過迭代更新進(jìn)行迭代。

所提出的由式(5)-(6)給出的ide-dailc方法的收斂性如下所示。

定理1：對于滿足假設(shè)1、2和3的系統(tǒng)(1)，由式(5)-(6)給出的ide-dilc方法保證①參數(shù)估計誤差對于所有k∈{0,λ,t}和所有迭代是有界的和不增加的；②所有的跟蹤誤差，沿著迭代方向收斂。對系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1、2和3，則控制律(5)及參數(shù)更新律(6)能夠保證參數(shù)估計誤差有界以及在整個有限區(qū)間k∈{0,λ,t}上非增，并且整個有限區(qū)間k∈{0,λ,t}的跟蹤誤差沿迭代軸漸近收斂。

針對時不變系統(tǒng)參數(shù)模型：

考慮離散時間定常系統(tǒng)，其在有限時間間隔內(nèi)重復(fù)運行，則通用數(shù)學(xué)模型簡化為

xn(k+1)＝θ⁰ξ⁰(xn(k))+bun(k),(7)

其中θ⁰和b都是常數(shù)。

令θ＝[b^-1,b^-1θ⁰],ξ(xn(k))＝[xr,n(k+1),-ξ⁰(xn(k))]^t。根據(jù)第2節(jié)中的步驟(4)，基于時間差估計器的離散時間自適應(yīng)ilc方法(tde-dailc)可以被設(shè)計為：

其中表示的θ估計值，并且是給定的且有界；c＞0,0＜abmax＜2，a的符號與b的符號相同。

注2：與式(6)不同，提出的tde定律(9)沿時間軸方向更新，這與傳統(tǒng)的離散時間自適應(yīng)控制(goodwin和sin，1984)是相同的。然而，所提出的方法可以經(jīng)由方程(10)鏈接兩次連續(xù)的迭代以提高性能。

所提出的由式(8)-(10)給出的tde-dailc方法的收斂性如下。

定理2.考慮系統(tǒng)(7)滿足假設(shè)4。應(yīng)用由式(8)-(10)所給出的tde-dailc方法，可以保證①在固定時間間隔上的參數(shù)估計誤差迭代地收斂到零；②所有連接的跟蹤誤差沿著迭代方向收斂為零。整個有限區(qū)間k∈{1,λ,t}的跟蹤誤差en(k)沿迭代軸漸近收斂。

針對混合系統(tǒng)參數(shù)模型：

通用數(shù)學(xué)模型簡化為

其中，存在兩個非線性向量值函數(shù)和是時變的，是時不變的，輸入增益b為常數(shù)。

根據(jù)式(11)，誤差方程為

其中，ξ2,n(k)＝[xr,n(k+1)-ξ2(xn(k))^t]^t。

學(xué)習(xí)控制律設(shè)計如下

其中，和分別用于估計θ1(k)和θ2。

由于和被稱為系統(tǒng)(11)的時變和時不變不確定參數(shù)向量，式(11)的結(jié)構(gòu)是先驗已知的。因此，可以重寫式(11)如下

其中，z1,n(k)和z2,n(k)是可測量的系統(tǒng)狀態(tài)。

由于和是未知的參數(shù)向量，它們被估計的向量所代替，系統(tǒng)狀態(tài)的估計值如下：

將狀態(tài)估計誤差定義為

對于時變θ1(k)，通過遞歸設(shè)計ide控制律，

對于時不變參數(shù)θ2，采用如下tde控制律

其中，q1和q2是正學(xué)習(xí)收益，q＝diag(q1,q2)、和的初始值和是給定且有界的。

因此，由式(13)和式(17)-(19)構(gòu)造了一種用于混合參數(shù)系統(tǒng)(11)的新型made-dailc方法。

注3：注意，上述提出的控制律被簡稱為mde-dailc方法，因為其包含用于更新常數(shù)未知參數(shù)的時間差估計器(18)-(19)，以及迭代差估計器(17)變化的未知參數(shù)。因此，mde-dailc方法可以利用附加的過程信息來增強(qiáng)控制性能。

在進(jìn)行收斂性分析之前，進(jìn)行以下假設(shè)是為了進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

假設(shè)4函數(shù)和滿足，

其中，0＜m1＜∞,0＜m2＜∞；0＜c1＜∞,0＜c2＜∞。

假設(shè)5未知參數(shù)和有界；參考軌跡和初始狀態(tài)沿著迭代軸方向變化且有界；0＜bmin≤b(k)≤bmax，其中bmin和bmax分別是已知的上限和下限b(k)。

所提出的mde-dailc方法的收斂性如下所示。

定理3：對于滿足假設(shè)5-6的系統(tǒng)(11)，由式(13)、(17)-(19)給出的ide-dilc方法保證①參數(shù)估計誤差對于所有k∈{0,λ,t}和所有迭代是有界的和非增加的；②整個有限區(qū)間{1,λ,t}的跟蹤誤差en(k)沿迭代軸漸近收斂。

仿真研究：

考慮永磁直線電機(jī)如下(tan等人，1999)，

其中，v(t)是電動機(jī)速度(m/s)，m是移動的推力塊(kg)，ffriction(t)是摩擦力(n)，fripple(t)是波動力(n)，fl是可測量的負(fù)載力(n)，沿著迭代軸進(jìn)行模擬仿真，bv是粘性摩擦參數(shù)(n·s·m^-1)；fc是庫侖摩擦的最小水平(n)，fs是靜摩擦的水平(n)，vs是潤滑油參數(shù)(m·s^-1)，x是電機(jī)位置，ar是表示振幅的常數(shù)fripple(t)。模擬時間t＝1s。永磁直線電機(jī)的參數(shù)認(rèn)為是定值，如表i所示(tan等人，1999)。

表1.永磁直線電機(jī)的參數(shù)

在仿真中，線性電機(jī)(20)的重復(fù)連續(xù)時間模型離散化為

其中，h是采樣周期，k表示采樣時刻，n表示迭代次數(shù)；fl,n(k)被認(rèn)為是系統(tǒng)的可測量擾動，其被假定為迭代變化。

目標(biāo)軌跡表示為

vr,n(k)＝m1(n)sin(πk/1000),(22)

其中，m1(n)隨n在間隔[0,0.01]中隨機(jī)變化。因此，目標(biāo)軌跡隨著迭代而變化。

令，b＝h/m,則式(21)可改寫成

根據(jù)式(1)-(4)的計算步驟，得到跟蹤誤差

en(k+1)＝vd,n(k+1)-vn(k+1)＝b(θξn(k)-un(k))(24)

其中，以及ide-dailc、tde-dailc和mde-dailc方法可以直接應(yīng)用于線性電機(jī)系統(tǒng)(21)。

在仿真過程中，fl,n(k)＝m2(n)sin(πk/1000)和m2(n)沿著迭代軸方向隨機(jī)變化。采樣時間h＝0.001s，因此有限時間間隔的終端時刻為t＝1/h＝1000，即k∈{0,λ,1000}。

情形1.θ⁰和b都是常數(shù)。所有系統(tǒng)參數(shù)選擇為常數(shù)，如表1所示。情形1的迭代隨機(jī)變量m1(n)和m2(n)分別如圖1和圖2所示。初始狀態(tài)vn(0)＝0.01×rand是隨著迭代次數(shù)隨機(jī)變化的，如圖3所示。

通過選擇a＝80，c＝0.1，應(yīng)用由式(8)-(10)所給出的tde-ailc方法，得到最大跟蹤誤差如圖3實線所示。顯然，提出的tde-dailc方法對于時不變參數(shù)系統(tǒng)可取得滿意效果。雖然初始系統(tǒng)狀態(tài)和參考軌跡都通過迭代而改變隨機(jī)改變的，但是跟蹤誤差的漸近收斂性是有保證的。

實際上，可以將定常參數(shù)向量視為時變的一種特殊情況。因此，以前提出的由式(5)-(6)所給出的ide-dailc方法也可以應(yīng)用于情形i。為了比較，在相同的仿真條件下應(yīng)用ide-dailc方法，a＝80，c＝0.1，對于有限區(qū)間內(nèi)的所有離散時刻{0,λ,1000}，仿真結(jié)果如圖4中的虛線所示。

可以看出，ide-dailc方法還可以實現(xiàn)時不變系統(tǒng)的漸近收斂。但是，參數(shù)估計值已經(jīng)由時間差估計器在單次迭代內(nèi)通過使用算法(9)更新(t-1)次。并且，迭代差估計器(6)每次迭代只更新一次。因此，對于時不變系統(tǒng)，tde-dailc方法實現(xiàn)了比ide-dailc更方法好的控制性能和更快的收斂。

情形2.θ⁰和b都是隨時間變化的。時變因子被添加到如下所示的參數(shù)向量中，

其中，α(k)＝0.1sin(2πk/1000)。

對于這樣的控制場景，池榮虎等(chi，hou，&sui，2007)提出ide-dailc方法，其隨著迭代軸方向批量地估計時變參數(shù)，因為時變參數(shù)θ⁰(k)和b(k)相對于迭代是不變的。

在情形2的仿真研究中，m1(n)和m2(n)如圖5和圖6所示，它們都是迭代變化的。

情形2的迭代變化初始狀態(tài)如圖7所示。應(yīng)用由式(5)-(6)所給出的ide-dailc方法，取a＝1000，c＝0.01，仿真結(jié)果如圖8中的虛線所示。

如果時變參數(shù)被是定值，在相同的仿真條件下應(yīng)用由式(8)-(10)所給出的tde-dailc方法，結(jié)果如圖8中的紅色實線所示?？梢钥闯觯琲de-dailc方法很好地處理時變參數(shù)系統(tǒng)，并且能夠在隨機(jī)初始狀態(tài)下漸進(jìn)地跟蹤迭代變化的目標(biāo)軌跡。然而，由于使用時間差估計器，tde-dailc只能實現(xiàn)有界收斂，這僅對時不變不確定性有效。

情形3.假設(shè)參數(shù)θ⁰是定值，其余參數(shù)是隨時間變化的，b是時不變的。也就是說，混合參數(shù)向量被假定為

注意，這種假設(shè)對于實際的線性電機(jī)應(yīng)用是合理的，因為摩擦力通常隨著電機(jī)速度而變化。而在實際的電機(jī)運行中，運動的推力塊質(zhì)量m、粘滯的摩擦參數(shù)bv和振幅ar通常是常數(shù)。

在情形3的仿真中，得到的m1(n)和m2(n)如圖9和圖10所示，并且圖11中可以看出變化的初始狀態(tài)。

選擇q1＝100,q2＝10,將mde-dailc方法學(xué)習(xí)律(13)與參數(shù)估計算法(17)–(19)結(jié)合起來進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果如圖12中的實線所示。

相比之下，對于這種控制場景，如果使用由式(8)-(10)所給出的tde-dailc方法將所有參數(shù)視為時間不變的，并使用由式(5)-(6)所給出的ide-dailc方法將參數(shù)視為時變參數(shù)，得到在相同仿真條件下的相應(yīng)仿真結(jié)果如圖12所示。

從圖9-12可以看出，對于混合參數(shù)系統(tǒng)有如下結(jié)論，(a)所提出的mde-dailc方法在存在隨機(jī)初始條件和迭代變量參考軌跡的情況下可以實現(xiàn)最佳收斂；(b)ide-dailc方法還通過將所有參數(shù)視為時變參數(shù)來實現(xiàn)漸近跟蹤性能；然而其收斂速度慢于mde-dailc方法；(c)tde-dailc方法僅實現(xiàn)有界收斂。