基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階pid參數(shù)優(yōu)化方法
【專利說明】
[0001] 本申請要求申請日為2014年8月12日、申請?zhí)枮?01410395817. 3、名稱為基于最 大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法的優(yōu)先權。
技術領域
[0002] 本發(fā)明涉及計算、推算技術領域，特別涉及一種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù) 階PID參數(shù)最優(yōu)整定方法。
【背景技術】
[0003] 分數(shù)階微積分作為一種數(shù)學分析工具，和整數(shù)階微積分相比有許多優(yōu)點。分數(shù)階 微積分是指微分，積分的階次不再局限于整數(shù)，可以是任意的或者是分數(shù)。由于微分，積分 階次范圍的擴大，分數(shù)階微積分的描述能力比整數(shù)階微積分更大。當描述對象本身是分數(shù) 階系統(tǒng)時，分數(shù)階微積分通常比整數(shù)階微積分具有更加普遍的意義。
[0004] 分數(shù)階控制理論隨著分數(shù)階微積分與控制理論的結合而形成。隨后分數(shù)階控制理 論應用于PID控制器參數(shù)整定，這給PID控制注入了新的活力。分數(shù)階PID控制器是一種 新型控制器，除了 I^k1,匕三個參數(shù)，它多了兩個可調參數(shù)λ和μ，使得控制器設計及參數(shù) 整定的難度加大，但同時卻也使控制器參數(shù)調節(jié)更為靈活，控制效果更好。
[0005] 然而大部分研究集中在對分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定，對于參數(shù)優(yōu)化也是及其重 要的，特別當對于控制器跟蹤性能有要求時，優(yōu)化就更為重要。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0006] 本發(fā)明針對現(xiàn)有技術存在的上述不足，提供了一種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分 數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，本發(fā)明通過以下技術方案實現(xiàn)：
[0007] -種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，包括步驟：
[0008] S11、獲取分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定域，分數(shù)階 卩:^控制器的參數(shù)包括：^人以及以；
[0009] S12、獲取滿足一預設的最大靈敏度指標的分數(shù)階PID控制器的參數(shù)解集；
[0010] S13、由所述參數(shù)穩(wěn)定域以及所述參數(shù)解集的交集獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn) 定解；
[0011] S14、根據(jù)優(yōu)化目標確定權系數(shù)大??；
[0012] S15、在所述參數(shù)穩(wěn)定解中選擇一組最優(yōu)的解；
[0013] S16:所述分數(shù)階PID控制器在所述最優(yōu)的PID參數(shù)解的條件下對預定變量進行平 穩(wěn)控制；
[0014] 其中，優(yōu)化目標的函數(shù)為J(Hkd) = |1〇 + |2ts，其中，kp代表所述分數(shù)階PID 控制器的比例系數(shù)，1^代表所述分數(shù)階PID控制器的積分系數(shù)，kdR表所述分數(shù)階PID控 制器的微分系數(shù)；
[0015] 最優(yōu)的解包括：使優(yōu)化目標的函數(shù)值最小，且最優(yōu)解屬于參數(shù)解集，其中，σ為超 調量，ts為調節(jié)時間，ξ |2為權系數(shù)，并滿足ξ ^ξ2= 1。
[0016] 較佳地，采用D分割原理獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)的穩(wěn)定域，穩(wěn)定域為由實根 邊界、無窮根邊界以及復根邊界為邊界的區(qū)域。
[0017] 較佳地，獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域包括：
[0018] 分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)為
[0019] 被控對象的傳遞函數(shù)為：
[0020] 所述分數(shù)階PID控制器與所述被控對象組成的的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：
[0021] 將分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)和被控對象的傳遞函數(shù)代入閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函 數(shù)，得到特征多項式：Ψ (s) = sADW + QipsVki+kdsMiNWe Ls，對于一組參數(shù)：kp，ky kd， λ，μ，能使特征多項式的值為〇時，分數(shù)階PID控制器的輸入輸出穩(wěn)定。
[0022] 較佳地，獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定解，包括：

代入特征多項式， ，得到一組KP，K1關于ω的 方程，在[ω_，ω_]內(nèi)以預設步長取ω的值，得到ΚΡ，Κ^參數(shù)穩(wěn)定解的解集。
[0024] 較佳地，最大靈敏度指標為：ΜΤ< γ τ，γτ> 1，其中，
γτ*預設的最大靈 敏度指標。
[0025] 本發(fā)明還提供另外一種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，
[0026] 分數(shù)階PID控制器對直流電機的速度進行平穩(wěn)控制，包括以下步驟：
[0027] S21、根據(jù)所述分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)
與所述直 流電機的速度的傳遞函數(shù)1
t建立一直流電機的閉環(huán)系統(tǒng)
并獲取所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域； ?
[0028] S22、獲取滿足一預設的最大靈敏度指標的所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)解集；
[0029] S23、由所述參數(shù)穩(wěn)定域以及所述參數(shù)解集的交集獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn) 定解；
[0030] S24、根據(jù)優(yōu)化目標確定權系數(shù)大小；
[0031] S25、在所述參數(shù)穩(wěn)定解中選擇一組最優(yōu)的PID參數(shù)解；
[0032] S26 :所述分數(shù)階PID控制器在所述最優(yōu)的PID參數(shù)解的條件下對所述直流電機的 速度進行平穩(wěn)控制；
[0033] 其中，kp代表所述分數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)，k玳表所述分數(shù)階PID控制器 的積分系數(shù)，匕代表所述分數(shù)階PID控制器的微分系數(shù)，0〈 λ，μ〈2
[0034] 所述優(yōu)化目標的函數(shù)為：f(kp，h，kd) = ξ i。+ ξ 2ts;
[0035] 所述最優(yōu)的解包括：使所述優(yōu)化目標的函數(shù)值最小，且所述最優(yōu)解屬于所述參數(shù) 解集，其中，σ為超調量，t s為調節(jié)時間，ξ D |2為權系數(shù)，并滿足ξ片|2= 1。
[0036] 較佳地，采用D分割原理獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)的穩(wěn)定域，穩(wěn)定域為由實根 邊界、無窮根邊界以及復根邊界為邊界的區(qū)域。
[0037] 較佳地，
[0038] 獲取所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域包括：
[0039] 將所述分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)和所述直流電機的速度的傳遞函數(shù)代入所 述閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，得到特征多項式：Ψ (S) = 8λ0(8) + (1?ρ8λ+1^+1^μ + λ)Ν(8)θ \對 于一組參數(shù)=Ivk1, kd，λ，μ，能使特征多項式的值為〇時，所述分數(shù)階PID控制器的輸入 輸出穩(wěn)定，所述分數(shù)階PID控制器的輸入為所述直流電機的預設速度值，所述分數(shù)階PID控 制器的輸出為所述直流電機的預設電流值。
[0040] 較佳地，獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定解，包括：
[0041] 將
代入特征多項式，
，得到一組KP，K1關于ω的 方程，在[ω_，ω_]內(nèi)以預設步長取ω的值，得到ΚΡ，Κ^參數(shù)穩(wěn)定解的解集。
[0042] 較佳地，最大靈敏度指標為：ΜΤ< γ τ，γτ> 1，其中，
γτ*預設的最大靈 敏度指標。
[0043] 本發(fā)明可以得到滿足靈敏度約束的分數(shù)階PID控制器，并且控制器能兼顧多個輸 入跟蹤性能，該方法是一種有效的分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定方法。
【附圖說明】
[0044] 圖1所示的是分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖；
[0045] 圖2所示的是最大靈敏度指標幾何表示示意圖；
[0046] 圖3所示的是分數(shù)階PID控制器的穩(wěn)定域示意圖；
[0047] 圖4所示的是穩(wěn)定域內(nèi)隨機得到三個參數(shù)的單位階躍響應示意圖；
[0048] 圖5所示的是滿足最大靈敏度指標的分數(shù)階PID控制器參數(shù)解集示意圖；
[0049] 圖6所示的是ξ i = 0· 4，ξ 2= 〇· 6時的階躍響應示意圖；
[0050] 圖7所示的是ξ i= 1，ξ 2= 〇時的階躍響應示意圖；
[0051] 圖8所示的是ξ i = 0，ξ 2= 1時的階躍響應示意圖。
【具體實施方式】
[0052] 以下將結合本發(fā)明的附圖，對本發(fā)明實施例中的技術方案進行清楚、完整的描述 和討論，顯然，這里所描述的僅僅是本發(fā)明的一部分實例，并不是全部的實例，基于本發(fā)明 中的實施例，本領域普通技術人員在沒有做出創(chuàng)造性勞動的前提下所獲得的所有其他實施 例，都屬于本發(fā)明的保護范圍。
[0053] 為了便于對本發(fā)明實施例的理解，下面將結合附圖以具體實施例為例作進一步的 解釋說明，且各個實施例不構成對本發(fā)明實施例的限定。
[0054] 本發(fā)明針對的分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的結構如圖1所示， 其中：r(t)代表分數(shù)階PID控制器的輸入，u (t)代表分數(shù)階PID控制器的輸出，C(S)代表 分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)，v(t)代表被控對象，G(S)代表被控對象的傳遞函數(shù)，y(t) 代表閉環(huán)系統(tǒng)的輸出；
[0056] 式中(KA1 μ <2，kp代表所述分數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)，1^代表所述分數(shù)階PID 控制器的積分系數(shù)，匕代表所述分數(shù)階PID控制器的微分系數(shù)；
[0059] 分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為
[0060] 將式（1)和式（2)代入（3)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式寫作：
[0061] W(s) =saD(s) + (kpsλ +ki+kdsμ + λ)N(s) e Ls (4)
[0062] 對于一組參數(shù)（kp，h，kd，λ，μ )，若它使特征方程式Ψ (s) = 〇的根都有復實部， 則該子系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定的。
[0063] 由 D 分割原理（出處：Serdar E H. An Algorithm for Stabilization ofFractional-Order Time Delay Systems Using Fractional Order PID Controllers[J]· IEEE Trans on Automatic Control, 2007，52(4): 1964-1969·)，可將 λ , μ )所構成的參數(shù)空間Φ分割成RRB，CRB，IRB為邊界的區(qū)域D，區(qū)域D包含所 有使子系統(tǒng)穩(wěn)定的點，D分割的邊界定義如下：
[0066] 其中，賊表示實根邊界，3?表示無窮根邊界，表示復根邊界。
[0067] 將s = j ω代入特征多項式（4)，可得到特征方程如下：
[0068] Ψ (j ω) = (j ω) AD(j 〇) + (kd(j ω) A + 11+kp(j ω) A+ki)N(j ω)θLju (7)
[0069] 根據(jù)D分割原理，對給定被控系統(tǒng)，分數(shù)階PIaD11控制器的參數(shù)空間 (k p，H λ, μ)被可能的平面（a)，可能的平面（b)和曲面（C)分割成若干區(qū)域。
[0070] (a)實根邊界（RRB)
[0071] 根據(jù)式（6)的第一個式子，可以得到實根邊界為：k1= 0。
[0072] (b)無窮根邊界（IRB)遇見:

[0086]