通過上式（9)和（10)，對于給定的參數(shù)kd，λ，μ，當ω從〇到。變化時，可以在 (kp，平面得到復根邊界（CRB)。
[0087] 最大靈敏度指標如圖2表示：
[0088] 引理1設F(S) =NF(s)/DF(s)為一穩(wěn)定正則實（或復）有理數(shù)，且Df(S)的階數(shù) 為α次冪系數(shù)。定義：
[0089]
[0090] 則對于一給定的γ>0,當且僅當同時滿足下面兩個條件時，I IF(S) I <γ :
[0091] I) I Ca I〈 γ I da I ;2)識(在）Hurwize 穩(wěn)定，Y沒:e [0，&.)
[0092] 其中：Ca和d a分別為Nf和D F的s的a次冪系數(shù)。
[0093] 由靈敏度約束指標和引理1，可得引理1中對應的乂和Df分別為：
[0097] 求取滿足最大靈敏度指標的參數(shù)解集：

[0104] 通過上式（24)，對于給定的參數(shù)kd，λ，μ，當ω從〇到m變化時，可以得到最大 靈敏度指標下的分數(shù)階PID控制器參數(shù)解集Q e。
[0105] 定義優(yōu)化函數(shù)為：f(kp, h，kd) = ξ 丨 σ + ξ 2ts (27)
[0106] 參數(shù)優(yōu)化問題為：
[0107] min (f (Hkd))
[0108] (28)
[0109] s. t. (kp, k1; kd) e Φ
[0110] 其中：σ為超調(diào)量，ts為調(diào)節(jié)時間，ξ D |2為權(quán)系數(shù)，并滿足ξ Jl2= 1。通過 改變兩個權(quán)系數(shù)的比重，可以達到不同的優(yōu)化目的。
[0111] 參數(shù)優(yōu)化步驟：
[0112] (1)求取分數(shù)階PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域；
[0113] (2)在穩(wěn)定域內(nèi)求得滿足靈敏度約束指標下的參數(shù)解集Φ ;
[0114] (3)根據(jù)實際優(yōu)化要求確定權(quán)值ξ JP ξ 2的大小；
[0115] (4)在參數(shù)解集Φ中通過求解參數(shù)優(yōu)化問題（28)得到一組最優(yōu)的解。
[0116] 下面利用本發(fā)明對直流電機速度進行平穩(wěn)控制，以直流電機的速度為被控對象， 直流電機電流與速度的關(guān)系的傳遞函數(shù)可以表示成：
[0118] 設計分數(shù)階PID控制器，且滿足靈敏度指標:ΜΤ< γ τ，γτ= 1. 6。此時，對于圖一 所示的控制系統(tǒng)回路，r(t)為直流電機速度設定值，u(t)為分數(shù)階PID控制器輸出值，也就 是直流電機電流給定值，y(t)為直流電機實際速度值。
[0119] 根據(jù)分數(shù)階PID參數(shù)整定步驟可以求得分數(shù)階PID控制器參數(shù)為λ = 1.2, μ = 0. 62, kd= 1時得到最大穩(wěn)定域。如圖3所示：
[0120] 在穩(wěn)定域內(nèi)隨機取三個點，點 A:kp= 9.324，!^= 2.425,點 B:kp= 12.532，!^ = 5. 562,點C:kp= 18. 674, k 8. 453,分別得到直流電機速度設定為160r/min時的隨時間 T的運行圖，如圖4所示，從圖中可以看出，控制系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。
[0121] 再根據(jù)靈敏度指標約束下的控制器參數(shù)解集求取策略，得到λ = 1.5, μ = 0. 7, kd= 1時滿足靈敏度約束時控制器參數(shù)解集如圖5所示。
[0122] 參數(shù)優(yōu)化：
[0123] (1)在滿足靈敏度指標的分數(shù)階PID控制器參數(shù)解集中根據(jù)本文的優(yōu)化方法對參 數(shù)進行優(yōu)化，選取1=0.4, ξ 2=0.6。得到直流電機分數(shù)階PID控制器比例系數(shù)，積分 系數(shù)最優(yōu)參數(shù)解為kp= 4. 874, k 0. 851。再在滿足靈敏度約束的參數(shù)解集中隨機取一 個點kp= 12. 532, k 5. 562。直流電機速度V設定為160r/min時系統(tǒng)隨時間T的運行 狀況如圖6所示。從圖中可以看出，最優(yōu)參數(shù)解下的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應跟蹤性能明顯優(yōu)于 優(yōu)化前。
[0124] (2)當ξ 1= 1，ξ 2= 0時，此時得到優(yōu)化后直流電機分數(shù)階PID控制器比例系數(shù)， 積分系數(shù)為kp= 4. 325, k 0. 438。階躍響應如圖7所示。
[0125] (3)當ξ 1= 0, ξ 2= 1時得到優(yōu)化后直流電機分數(shù)階PID控制器比例系數(shù)，積分 系數(shù)為kp= 12. 662, k 0. 454,此時直流電機速度設定為160r/min時系統(tǒng)隨時間T的運 行狀況如圖8所示。
[0126] 本發(fā)明對分數(shù)階PID控制器的參數(shù)整定進行了研究，給出了一種基于最大靈敏度 指標的分數(shù)階PID控制器參數(shù)最優(yōu)整定方法。該方法先根據(jù)D分割法求取分數(shù)階PID控制 器參數(shù)穩(wěn)定域，再得到滿足靈敏度約束指標下的參數(shù)解集，最后由超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間作為 優(yōu)化指標函數(shù)對參數(shù)進行優(yōu)化得到最優(yōu)參數(shù)解。最后結(jié)果表明該方法可以得到滿足靈敏度 約束的分數(shù)階PID控制器，并且控制器能兼顧多個輸入跟蹤性能，該方法是一種有效的分 數(shù)階PID控制器參數(shù)整定方法。
[0127] 以上所述，僅為本發(fā)明較佳的【具體實施方式】，但本發(fā)明的保護范圍并不局限于此， 任何熟悉本技術(shù)領(lǐng)域的技術(shù)人員在本發(fā)明揭露的技術(shù)范圍內(nèi)，可輕易想到的變化或替換， 都應涵蓋在本發(fā)明的保護范圍之內(nèi)。因此，本發(fā)明的保護范圍應該以權(quán)利要求的保護范圍 為準。
【主權(quán)項】
1. 一種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特征在于，包括以下 步驟： 511、 獲取分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定域，所述分數(shù)階 PID控制器的參數(shù)包括：kp、ki、kd、人以及y; 512、 獲取滿足一預設的最大靈敏度指標的所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)解集； 513、 由所述參數(shù)穩(wěn)定域以及所述參數(shù)解集的交集獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定 解； 514、 根據(jù)優(yōu)化目標確定權(quán)系數(shù)大??； 515、 在所述參數(shù)穩(wěn)定解中選擇一組最優(yōu)的PID參數(shù)解； S16 :所述分數(shù)階PID控制器在所述最優(yōu)的PID參數(shù)解的條件下對預定變量進行平穩(wěn)控 制； 其中，所述優(yōu)化目標的函數(shù)為：fGvkblO= |1〇 + |2ts，其中，kp代表所述分數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)，1^代表所述分數(shù)階PID控制器的積分系數(shù)，kdR表所述分數(shù)階PID控 制器的微分系數(shù)； 所述最優(yōu)的解包括：使所述優(yōu)化目標的函數(shù)值最小，且所述最優(yōu)解屬于所述參數(shù)解集， 其中，。為超調(diào)量，ts為調(diào)節(jié)時間，I 12為權(quán)系數(shù)，并滿足I片I2= 1。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，采用D分割原理獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)的穩(wěn)定域，所述穩(wěn)定域為由實根邊 界、無窮根邊界以及復根邊界為邊界的區(qū)域。3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域包括：將所述分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)和所述被控對象的傳遞函數(shù)代入所述閉環(huán)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)，得到特征多項式：W(s) =stW+Gv^+ki+k^lMs)^，對于一組參數(shù)： IvI^kd,A，y，能使特征多項式的值為〇時，所述分數(shù)階PID控制器的輸入輸出穩(wěn)定。4. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，所述獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定解，包括：方程，在[?_，《_]內(nèi)以預設步長取《的值，得到KP，K^參數(shù)穩(wěn)定解的解集。5. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參 數(shù)優(yōu)化方法，其特征在于，所述最大靈敏度指標為：MT<yT，1，其中，大靈敏度指標。6. -種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特征在于，分數(shù)階PID 控制器對直流電機的速度進行平穩(wěn)控制，包括以下步驟：522、 獲取滿足一預設的最大靈敏度指標的所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)解集； 523、 由所述參數(shù)穩(wěn)定域以及所述參數(shù)解集的交集獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定 解； 524、 根據(jù)優(yōu)化目標確定權(quán)系數(shù)大?。? 525、 在所述參數(shù)穩(wěn)定解中選擇一組最優(yōu)的PID參數(shù)解； S26 :所述分數(shù)階PID控制器在所述最優(yōu)的PID參數(shù)解的條件下對所述直流電機的速度 進行平穩(wěn)控制； 其中，kp代表所述分數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)，1代表所述分數(shù)階PID控制器的積 分系數(shù)，匕代表所述分數(shù)階PID控制器的微分系數(shù)，0〈A，y〈2 所述優(yōu)化目標的函數(shù)為：fOvUio= |1〇 + |2ts; 所述最優(yōu)的解包括：使所述優(yōu)化目標的函數(shù)值最小，且所述最優(yōu)解屬于所述參數(shù)解集， 其中，。為超調(diào)量，ts為調(diào)節(jié)時間，I 12為權(quán)系數(shù)，并滿足I片I2= 1。7. 根據(jù)權(quán)利要求6所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，采用D分割原理獲取分數(shù)階PID控制器的參數(shù)的穩(wěn)定域，所述穩(wěn)定域為由實根邊 界、無窮根邊界以及復根邊界為邊界的區(qū)域。8. 根據(jù)權(quán)利要求6所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，獲取所述分數(shù)階PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域包括： 將所述分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)和所述直流電機的速度的傳遞函數(shù)代入所述閉 環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，得到特征多項式：W(s) =sADW+G^sVki+kdSpqNWe%對于一 組參數(shù)：<，1^，1^，人，11，能使特征多項式的值為〇時，所述分數(shù)階？1〇控制器的輸入輸出 穩(wěn)定，所述分數(shù)階PID控制器的輸入為所述直流電機的預設速度值，所述分數(shù)階PID控制器 的輸出為所述直流電機的預設電流值。9. 根據(jù)權(quán)利要求8所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，其特 征在于，所述獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定解，包括：方程，在[?_，《_]內(nèi)以預設步長取《的值，得到KP，K^參數(shù)穩(wěn)定解的解集。10.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參 數(shù)優(yōu)化方法，其特征在于，所述最大靈敏度指標為：MT<yT，1，其中，
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于最大靈敏度指標的穩(wěn)定分數(shù)階PID參數(shù)優(yōu)化方法，包括步驟：S1、獲取分數(shù)階PID控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定域，分數(shù)階PID控制器的參數(shù)包括：kp、ki、kd、λ以及μ；S2、獲取滿足一預設的最大靈敏度指標的分數(shù)階PID控制器的參數(shù)解集；S3、由參數(shù)穩(wěn)定域以及參數(shù)解集的交集獲得滿足最大靈敏度的參數(shù)穩(wěn)定解；S4、根據(jù)優(yōu)化目標確定權(quán)系數(shù)大?。籗5、在參數(shù)穩(wěn)定解中選擇一組最優(yōu)的解；S6：分數(shù)階PID控制器在最優(yōu)解下對預定變量進行平穩(wěn)控制；其中，優(yōu)化目標的函數(shù)為：f(kp,ki,kd)＝ξ1σ+ξ2ts，最優(yōu)的解包括：使優(yōu)化目標的函數(shù)值最小，且最優(yōu)解屬于參數(shù)解集，σ為超調(diào)量，ts為調(diào)節(jié)時間，ξ1,ξ2為權(quán)系數(shù)，并滿足ξ1+ξ2＝1。
【IPC分類】G05B13/02
【公開號】CN105045093
【申請?zhí)枴緾N201510475140
【發(fā)明人】王昕 , 周鐵軍
【申請人】上海交通大學
【公開日】2015年11月11日
【申請日】2015年8月5日
【公告號】CN104199293A