一種基于改進(jìn)的按位替換法求矩陣三角分解的模塊的制作方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及矩陣運(yùn)算，尤其涉及一種基于改進(jìn)的按位替換法求矩陣三角分解的新 型模塊。
【背景技術(shù)】
[0002] 矩陣運(yùn)算是科學(xué)和工程計(jì)算的基礎(chǔ)。矩陣簡(jiǎn)潔直觀的表述方式、運(yùn)算的靈活性和 高數(shù)值穩(wěn)定性使矩陣運(yùn)算成為眾多工程項(xiàng)目的關(guān)鍵技術(shù)和核心問(wèn)題。矩陣運(yùn)算包括矩陣乘 法、矩陣分解、矩陣求逆等。其中矩陣分解是矩陣乘法的逆過(guò)程，是矩陣求逆的一種簡(jiǎn)化的 求解方式，發(fā)展也最為普及。由于分解后的矩陣具有更加明顯的數(shù)值特征或物理含義，矩陣 分解在數(shù)值分析和工程領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。例如在環(huán)境管理風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、數(shù)字圖像處理和加 密、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)、信號(hào)處理和控制等大規(guī)模數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，矩陣分解算法已經(jīng)或正在成 為核心支撐。如何有效利用資源實(shí)現(xiàn)快速大規(guī)模矩陣分解運(yùn)算成為了設(shè)計(jì)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
[0003] 目前矩陣分解種類繁多，工程應(yīng)用中，常用的有QR分解、LU分解、奇異值分解等，結(jié) 合具體的應(yīng)用可選擇不同的分解方法。其中QR分解可用于任意矩陣的分解，其本質(zhì)是將任 意矩陣A分解成一個(gè)正交矩陣Q與一個(gè)三角矩陣R的乘積。QR分解經(jīng)典算法有g(shù)ram-schmidt 法、householder變換法和givens旋轉(zhuǎn)法，采用遞推方法，計(jì)算復(fù)雜度大，流程控制困難，并 行性差。LU分解是針對(duì)非奇異陣（即矩陣順序主子式均不為0)的一種矩陣分解方式，它的本 質(zhì)是將矩陣A分解為一個(gè)下三角陣L與上三角陣U的乘積。但LU分解計(jì)算復(fù)雜度高，采用遞推 方法，串行性要求較高，占用存儲(chǔ)空間大。奇異值分解是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對(duì)角化的推 廣，奇異值分解的本質(zhì)是將一個(gè)復(fù)矩陣A分解為兩個(gè)酉矩陣U、V以及一個(gè)對(duì)角陣S的乘積。但 奇異值分解很難拆成不相關(guān)子運(yùn)算，奇異值分解并行性較差，計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算效率、 實(shí)時(shí)性較差。
[0004] 綜上，目前現(xiàn)有的矩陣分解技術(shù)在工程應(yīng)用中仍有一定的局限性，主要?dú)w結(jié)為以 下幾點(diǎn)不足：
[0005] 第一，采用遞推迭代方法，串行性要求較高，進(jìn)行并行運(yùn)算難度較大，難以滿足工 程應(yīng)用中實(shí)時(shí)性要求。
[0006] 第二，運(yùn)算復(fù)雜度較高，運(yùn)算量較大，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。
[0007] 第三，運(yùn)算空間復(fù)雜度較高，占用的存儲(chǔ)空間較大，在具體工程應(yīng)用資源利用率不 尚。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0008] 本發(fā)明是為避免現(xiàn)有技術(shù)的不足之處，提出一種新的基于改進(jìn)的按位替換法求矩 陣三角分解的模塊，以期能降低運(yùn)算復(fù)雜度，壓縮存儲(chǔ)空間，提高分解運(yùn)算的可并行性，進(jìn) 而較快速、高效的完成矩陣分解運(yùn)算。
[0009] 本發(fā)明為解決技術(shù)問(wèn)題采用如下技術(shù)方案：
[0010] 本發(fā)明一種基于改進(jìn)的按位替換法求矩陣三角分解的模塊的特點(diǎn)包括:邊界元素 獲取單元、內(nèi)部元素獲取單元、上三角矩陣分解單元和下三角矩陣分解單元；
[0011]所述邊界元素獲取單元用于獲得待分解矩陣
的約化系數(shù)矩陣N的邊界元素;所述待分解矩陣A為滿足各階順序主子式不為0的Μ階方陣； aji表示第j行第i列元素;i，j = l，2,3,…，Μ;
[0012] 所述內(nèi)部元素獲取單元用于獲得待分解矩陣Α的約化系數(shù)矩陣Ν的內(nèi)部元素;從而 獲得約化系數(shù)矩陣N;
[0013] 所述上三角矩陣分解單元用于分解待分解矩陣A的上三角矩陣；
[0014]所述下三角矩陣分解單元用于分解待分解矩陣A的下三角矩陣。
[0015]本發(fā)明所述的基于改進(jìn)的按位替換法求矩陣三角分解的模塊的特點(diǎn)也在于：
[0016] 所述邊界元素獲取單元根據(jù)待分解矩陣A，利用式（1)獲得約化系數(shù)矩陣N的邊界 兀素 nii.o 和 nji.o:
[0017]
(1)
[0018] 所述內(nèi)部元素獲取單元利用式(2)獲得約化系數(shù)矩陣N的對(duì)角元素 rm.d-υ:
[0019]
(2)
[0020] 式（2)中，k = 2,3，."i-l;
[0021] 所述內(nèi)部元素獲取單元利用式(3)獲得約化系數(shù)矩陣N的下三角元素 r^.d-υ:
[0022]
(3)
[0023] 式（3)中，i = 2,3, =
[0024] 所述內(nèi)部元素獲取單元利用式(4)獲得約化系數(shù)矩陣N的上三角元素 r^. (η):
[0025]
(4)
[0026] 式（4)中，i = j+l，j+2, =
[0027] 從而獲得約化系數(shù)矩陣N為
[0028] 所述下三角矩陣分解單元根據(jù)所述約化系數(shù)矩陣N，利用式(5)將所述待分解矩陣 A分解為下三角矩陣

[0029]
[0030]
[0031]
[0032]所述上三角矩陣分解單元根據(jù)所述約化系數(shù)矩陣N，利用式(6)將所述待分解矩陣 A分解為上三角矩陣

[0033]
[0034] (6).
[0035]
[0036] 與已有扠不ffl比，不友明有Μ雙呆懷現(xiàn)仕：
[0037] 1、本發(fā)明提出的矩陣分解模塊，在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中，只有在內(nèi)部元素獲取單元、下 三角矩陣分解單元中和上三角矩陣分解單元中，需要對(duì)約化系數(shù)矩陣的對(duì)角元素做開(kāi)方或 倒數(shù)(除法），整個(gè)分解模塊的其余部分只涉及簡(jiǎn)單的乘加運(yùn)算過(guò)程，避免了現(xiàn)有技術(shù)中大 量的開(kāi)方、平方、求范數(shù)、除法等運(yùn)算，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。
[0038] 2、本發(fā)明提出的矩陣分解模塊，在基于原按位替換法進(jìn)行矩陣三角分解算法的基 礎(chǔ)上，對(duì)其算法進(jìn)行了修正和改進(jìn)，產(chǎn)生了改進(jìn)的高效矩陣分解算法。本發(fā)明提出的矩陣分 解模炔基于改進(jìn)的按位替換矩陣分解算法，不僅拓寬了運(yùn)算適用范圍，且大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算 過(guò)程，使運(yùn)算復(fù)雜度更低。
[0039] 3、本發(fā)明提出的矩陣分解模塊，通過(guò)在邊界元素獲取單元和內(nèi)部元素獲取單元中 獲取并創(chuàng)建約化系數(shù)矩陣，分解了串行迭代過(guò)程，使得在獲取約化系數(shù)矩陣元素的同時(shí)，上 三角矩陣分解單元和下三角矩陣分解單元內(nèi)部可以由前級(jí)得到的約化系數(shù)矩陣元素，并行 求解上、下三角矩陣元素，克服了現(xiàn)有矩陣分解技術(shù)中，由于采用迭代串行計(jì)算逐個(gè)計(jì)算 上、下三角矩陣元素導(dǎo)致的可并行性不強(qiáng)的問(wèn)題。
[0040] 4、本發(fā)明提出的矩陣分解模塊，基于按位替換的方法，使得整個(gè)模塊除輸入待分 解矩陣所占用的存儲(chǔ)空間外，無(wú)需占用額外的存儲(chǔ)空間。現(xiàn)有矩陣分解技術(shù)，由于要占用大 量的存儲(chǔ)空間，從而在超大規(guī)模矩陣分解的工程應(yīng)用中具有一定的局限性，本發(fā)明正是解 決了這一問(wèn)題。
[0041] 5、本發(fā)明提出的矩陣分解模塊，各單元內(nèi)部運(yùn)算過(guò)程運(yùn)算復(fù)雜度較低，且內(nèi)部元 素獲取單元內(nèi)部可按上、下三角并行執(zhí)行運(yùn)算過(guò)程，且上三角矩陣分解單元和下三角矩陣 分解單元可并行操作，因而運(yùn)算時(shí)間較短，解決了現(xiàn)有矩陣分解技術(shù)運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度較高 的問(wèn)題。
【具體實(shí)施方式】
[0042]本實(shí)施例中，一種基于改進(jìn)的按位替換法求矩陣三角分解的模塊包括:邊界元素 獲取單元、內(nèi)部元素獲取單元、上三角矩陣分解單元和下三角矩陣分解單元;其分解思路 是：1根據(jù)給定的待分解矩陣，求其約化系數(shù)矩陣的邊界元素;2根據(jù)待分解矩陣和其約化系 數(shù)矩陣的邊界元素，求其約化系數(shù)矩陣的內(nèi)部元素；3根據(jù)約化系數(shù)矩陣，將待分解矩陣分 解為上三角矩陣和下三角矩陣，從而完成整個(gè)矩陣的分解;具體的說(shuō)，
[0043] 邊界元素獲取單元用于獲得待分解矩陣.
勺約 化系數(shù)矩陣N的邊界元素;待分解矩陣A為滿足各階順序主子式不為0的Μ階方陣;a#表示第j 行第i