本發(fā)明屬于通信，它特別涉及一種任意階reed-muller(以下稱作rm)碼的擬線性時(shí)間復(fù)雜度編碼和列表譯碼方法及系統(tǒng)。

背景技術(shù)：

1、糾錯(cuò)碼是用于在有噪聲的通信信道上可靠傳輸信息的編碼方案。信息在各種有損信道中傳輸?shù)膱?chǎng)景，常常需要考慮對(duì)抗性噪聲的編碼。假設(shè)是有限域上的線性糾錯(cuò)碼，它將消息空間線性編碼為中的碼字。的碼率是碼的維度與碼長(zhǎng)之比，即k/n。的最小距離是中任意兩個(gè)不同碼字之間的最小漢明距離，它反映了的糾錯(cuò)能力。其中，碼率以及編碼譯碼時(shí)間復(fù)雜度等是衡量其性能的重要指標(biāo)。

2、當(dāng)假定通信信道中出現(xiàn)的錯(cuò)誤數(shù)e小于編碼最小距離的一半時(shí)，可以唯一地恢復(fù)出原始碼字，此為唯一譯碼。若錯(cuò)誤個(gè)數(shù)e大于最小距離的一半，可以使用列表解碼，它接收向量并輸出與其漢明距離e內(nèi)的碼字列表，對(duì)于任意誤差分?jǐn)?shù)0≤ρ≤1和整數(shù)l>1，一個(gè)線性碼被稱為(ρ,l)-列表可譯碼，如果對(duì)于每一個(gè)接受碼字滿足與其漢明距離不超過(guò)ρn的碼字個(gè)數(shù)不超過(guò)l。

3、rm碼由muller于1954年引入，后來(lái)reed提出了一種唯一譯碼算法，糾錯(cuò)半徑可達(dá)到最小距離的一半。rm碼的編碼實(shí)際上就是多變量多點(diǎn)賦值(以下稱作mpe)。針對(duì)mpe的輸入大小設(shè)計(jì)近似線性的時(shí)間算法是一項(xiàng)艱巨的挑戰(zhàn)。目前的研究中幾乎所有已知的rm碼的擬線性列表譯碼算法都是針對(duì)r階恒定的參數(shù)區(qū)設(shè)計(jì)的，大多數(shù)列表譯碼算法僅在階數(shù)r為常數(shù)的情況下才能實(shí)現(xiàn)擬線性時(shí)間譯碼復(fù)雜度。

4、通過(guò)上述分析，現(xiàn)有技術(shù)存在的問(wèn)題及缺陷是：rm碼的編碼與譯碼一直是編碼理論和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)重要研究課題，在此之前盡管研究人員付出了巨大的努力，但任意階rm碼的擬線性時(shí)間算法尚未被發(fā)現(xiàn)，該方向的研究結(jié)果依然匱乏。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)思路

1、針對(duì)背景技術(shù)中rm碼編碼以及列表譯碼準(zhǔn)線性時(shí)間算法的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，本發(fā)明提出一種能夠?qū)崿F(xiàn)以擬線性時(shí)間復(fù)雜度對(duì)任意r階rm碼進(jìn)行編碼和列表譯碼的方法。

2、該方案基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換，1.將上的m個(gè)變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題；2.將上的rm碼列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的reed-solomon(以下稱作rs)碼列表譯碼。

3、該算法的證明需要一些定義以及定理如下：

4、定義1：定義一個(gè)在有限域上的m個(gè)變量的多項(xiàng)式、總度數(shù)最多為r的多項(xiàng)式定義f的總度數(shù)為：

5、定義2：定義集合是所有總次小于等于r的多項(xiàng)式的子空間，維度是

6、定義3：定義多變量多點(diǎn)賦值(以下稱作mpe)如下：給定n賦值點(diǎn)集取定義1中的多項(xiàng)式f以及定義2中的集合并計(jì)算(f(a1),…,f(an))：

7、

8、定義4：根據(jù)定義3的mpe定義q元rm碼：

9、

10、其碼長(zhǎng)為n＝qm，維度為最小碼距為d＝qm-1(q-r)，為定義2所定義的集合；

11、定義5：根據(jù)定義3的mpe定義q元rs碼：

12、

13、其中且α1,α2,…,αn為n個(gè)互不相等的元素；

14、定義6：取定義4中的m，包含的q模qm-1的分圓陪集定義為：

15、uλ＝{qiλmod(qm-1)|1≤i≤m}

16、如果各不相同，且則的一個(gè)子集{λ1,λ2,…,λs}稱為q模qm-1的分圓陪集代表的完備集。

17、定義7：令mi是上述定義6中的周期，mi整除m，且有子域設(shè)是的一個(gè)正規(guī)基，對(duì)于定義6中每一個(gè)1≤i≤s且1≤j≤mi，定義多項(xiàng)式：

18、

19、引理8：取定義7中的所定義的多項(xiàng)式，令固定一組正規(guī)基{u1,u2,…,um}，令有：

20、

21、證明引理8：首先根據(jù)定義7以及的正規(guī)基{u1,u2,…,um}有：

22、

23、定義9：定義從上述引理8中的到的映射τ

24、τ:

25、其中表示引理8證明中第二步所述的m元多項(xiàng)式。

26、引理10：定義9中所定義的映射，實(shí)際上是上的一個(gè)多項(xiàng)式。

27、證明引理10：

28、可以看出其系數(shù)均在上，此外

29、

30、因此得證。

31、定義11：令r是一個(gè)正整數(shù)且滿足：

32、

33、假設(shè)都是定義6中重量至多為r的模qm-1分圓陪集，定義是引理8中集合的一個(gè)子集，其中為定義7中所定義的多項(xiàng)式，且有

34、定義12：定義其中是定義9中的m元多項(xiàng)式；

35、引理13：令是定義12中的集合，則有是的一組基并且：

36、

37、證明引理13：根據(jù)定義可知對(duì)于q＝2，則有：

38、

39、對(duì)于q>2的情況：

40、

41、根據(jù)引理10的證明過(guò)程以及定義12可知，對(duì)于中的每一個(gè)多項(xiàng)式，其階至多為r，根據(jù)可獲得上述結(jié)論。

42、定義14：令表示由定義11所述張成的線性空間即

43、

44、引理15：對(duì)于任一向量在標(biāo)準(zhǔn)單項(xiàng)式基下計(jì)算在中需要o(km)次運(yùn)算，同樣的，插值過(guò)程也是在中進(jìn)行o(km)次運(yùn)算即可，為定義7所述多項(xiàng)式。

45、證明引理15：結(jié)果由多項(xiàng)式的稀疏性得出。根據(jù)定義，只有在時(shí)，有非零單項(xiàng)式。由于每個(gè)最多有m個(gè)非零單項(xiàng)式。此外，是不相交的，因此單項(xiàng)式集bi也是不相交的。取單項(xiàng)式基依次為b1,b2,…,bt,其中則有：

46、

47、其中是摩爾矩陣，并且是有限域的一組正規(guī)基。因此ami是可逆的。因此矩陣a＝diag(am1,am2,…,amt)以及a-1都是可逆的。給定任意在標(biāo)準(zhǔn)基下計(jì)算就是計(jì)算a·a。這在中只需花費(fèi)o(km)的操作。同樣地，給定一個(gè)多項(xiàng)式假設(shè)其中是fa的系數(shù)向量，按照b1,b2,…,bt的順序排列。因此計(jì)算a就是計(jì)算b·a-1，這在中只需花費(fèi)o(km)的操作。

48、定義16：設(shè)τ為定義9中的映射，根據(jù)引理13可知，對(duì)于總度數(shù)小于r的m元多項(xiàng)式f(x1,x2,…xm)可被中的所有線性表出，給出了在的單變量多項(xiàng)式f(x)即

49、

50、定義17：固定一個(gè)的正規(guī)基{u1,u2,…,um}，定義在與之間的一個(gè)同構(gòu)：

51、π:

52、推論18：在定義17所述的同構(gòu)π下，是定義3中所定義的多點(diǎn)集，對(duì)應(yīng)于中的多點(diǎn)集π-1(p)，反之亦然，根據(jù)引理8中所定義的變換可知在對(duì)m元多項(xiàng)式f(x1,x2,…xm)進(jìn)行mpe即為上由定義16給出的單變量多項(xiàng)式f(x)的mpe，即

53、

54、因此，可以使用上單變量多項(xiàng)式的快速mpe算法來(lái)加速上m變量多項(xiàng)式的mpe。

55、定義19：令是定義12中的集合，假設(shè)是基下的一個(gè)多項(xiàng)式，并且是定義3中所定義的多點(diǎn)集，同時(shí)滿足

56、定理20：根據(jù)上述定義19，在定義17所述的同構(gòu)π下，若是中的乘法子群，則f在點(diǎn)集的mpe可以在中進(jìn)行運(yùn)算獲得，若n＝o(qm)，則mpe以及對(duì)f的插值可以在上進(jìn)行計(jì)算所獲得，若n是o(1)平滑(n＝o(qm))，則mpe以及對(duì)f的插值可以在上進(jìn)行o((km+nlogn)mq(m))計(jì)算所得,其中mq(n)表示中兩個(gè)階數(shù)小于n的單變量多項(xiàng)式相乘的操作次數(shù)。

57、證明定理20：設(shè)τ為定義9中的映射，mpe基于定義3所計(jì)算。對(duì)于任意根據(jù)定義9設(shè)為對(duì)應(yīng)的單變量多項(xiàng)式。根據(jù)引理15，我們可以將f在p的mpe轉(zhuǎn)換為f在π-1(p)的mpe。在中，這兩個(gè)步驟都花費(fèi)o(km)的運(yùn)算。因此，我們只需要統(tǒng)計(jì)f(x)的mpe和插值的操作次數(shù)。若是中的乘法子群，則的非零多項(xiàng)式是：

58、

59、令則用目前已知的整數(shù)模算法計(jì)算的開(kāi)銷最多為ko(logqm)次運(yùn)算，根據(jù)目前對(duì)rs碼的研究結(jié)果可知,可以在中最多次操作中計(jì)算，(n)表示中兩個(gè)階數(shù)小于n的單變量多項(xiàng)式相乘的操作次數(shù)。因此在計(jì)算需要如果n＝o(qm)，可以將拓展至這種情況下因此，給定便可以被正確恢復(fù)。同樣插值過(guò)程與mpe保持相同的復(fù)雜度。更進(jìn)一步，如果n是o(1)-光滑，則和的插值可以分別通過(guò)中的o(nlogn)次fft和逆fft運(yùn)算來(lái)計(jì)算。由此得證。

60、定理21：根據(jù)上述定義19，若其中ω是的本原元，則f在的mpe可以在的時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)完成。相反，如果k≤n，給定則恢復(fù)f可以在時(shí)間復(fù)雜度下完成。

61、證明定理21：沿用定理20證明中的符號(hào)表示，單變量多項(xiàng)式f(x)最多有k個(gè)非零項(xiàng)，但它的階可以達(dá)到qm-1，當(dāng)k遠(yuǎn)小于qm時(shí)，則f(x)是一個(gè)高次的稀疏多項(xiàng)式。令s＝{1,ω,ω2…,ωn-1}，通過(guò)早先研究成果，使用稀疏單變量多項(xiàng)式的快速mpe和插值，給定f,evs(f)的mpe可以在中的次運(yùn)算中計(jì)算出來(lái)。相反，給定mpe?evs(f)，若k≤n，則在中進(jìn)行次運(yùn)算可以唯一地恢復(fù)出f(x)，再加上o(mq(m)km)的開(kāi)銷，由此得證。

62、定義22：令為信息空間，據(jù)定義12獲得則存在一個(gè)映射，將信息映射成為信息多項(xiàng)式fa，該映射即為編碼映射：

63、

64、定理23：rmq(r,m)是并且擁有如下參數(shù)：

65、定理24：對(duì)于二元的情況，擁有漢明重量wt2(a)≤r的最大a∈[0,2m-1]是a＝2m-r+2m-r+1+…+2m-1＝2m-2m-r，因此對(duì)于每個(gè)fm都有deg(fm)<k＝2m-2m-r+1；

66、定理25：對(duì)于q元情況，擁有漢明重量wtq(a)≤r的最大a∈[0,qm-1]是a＝rqm-1，因此對(duì)于每個(gè)fm都有deg(fm)<k＝rqm-1+1；

67、定理26：令

68、

69、因此，d＝n–k+1是rmq(r,m)的最小距離，同時(shí)也是rs(n,k)的最小距離。

70、引理27：根據(jù)目前已有的研究結(jié)論可知：對(duì)于一個(gè)q元[n,k]rs碼rs(n,k)是(ρ,l)-列表可譯碼，其解碼半徑ρ和列表大小l：

71、l＝o(1/∈)

72、其中∈>0表示一個(gè)很小的正數(shù)，是相對(duì)最小距離，可以在o(∈-ω-1nlog2nloglogn)復(fù)雜度下完成列表譯碼，ω表示矩陣乘法的指數(shù)。

73、本發(fā)明是這樣實(shí)現(xiàn)的，一種能夠?qū)崿F(xiàn)以擬線性時(shí)間復(fù)雜度對(duì)任意r階rm碼進(jìn)行編碼和列表譯碼的方法，旨在優(yōu)化任意r階rm碼進(jìn)行編碼和列表譯碼的時(shí)間復(fù)雜度，列表譯碼具體包括以下步驟：

74、1.預(yù)處理階段：根據(jù)定義4定義q元rmq(r,m)rm碼，根據(jù)定義7定義信息并轉(zhuǎn)化成一元多項(xiàng)式。

75、2.編碼階段：

76、將上的m變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)上m元多項(xiàng)式的mpe加速使得編碼復(fù)雜度達(dá)到擬線性水平。

77、利用rs碼的編碼器進(jìn)行編碼。

78、3.接收端列表譯碼列表階段：

79、將上的rm碼的列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼的列表譯碼，將譯碼結(jié)果與接收碼字進(jìn)行計(jì)算與挑選，從而使得任意r階rm碼列表譯碼復(fù)雜度達(dá)到o(nlog3+o(1)n)的擬線性水平。

80、通過(guò)上述步驟，本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想，將上的m變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題、將上的rm碼的列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼的列表譯碼，從而使得任意r階rm碼編碼、列表譯碼復(fù)雜度達(dá)到擬線性水平。該方法適用于對(duì)編碼譯碼時(shí)間復(fù)雜度要求較高的工業(yè)通信領(lǐng)域或是需要高糾錯(cuò)能力的復(fù)雜信道的應(yīng)用場(chǎng)景，特別是在通信領(lǐng)域應(yīng)用中具有重要價(jià)值。

81、該編碼方法，一種能夠?qū)崿F(xiàn)以擬線性時(shí)間復(fù)雜度對(duì)任意r階rm碼進(jìn)行編碼的改進(jìn)方案。

82、進(jìn)一步，所述的將上的m變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題，利用rs碼的編碼器進(jìn)行編碼具體步驟如下：

83、取定義4中的q元rmq(r,m)rm碼的碼長(zhǎng)n＝qm，維度為mi基于定義7所定義，定義信息為

84、將信息映射成為信息多項(xiàng)式其中基于定義7所定義；

85、使用rs碼的編碼器計(jì)算返回c即是最終的編碼碼字。

86、進(jìn)一步，所述的將上的rm碼的列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼的列表譯碼，利用rs碼的快速列表譯碼器進(jìn)行列表譯碼具體步驟如下：

87、接收碼字并令

88、使用現(xiàn)有的快速rs列表譯碼器(ρ,l)對(duì)接收碼字r進(jìn)行譯碼，并令l′是其輸出；

89、遍歷根據(jù)定義3計(jì)算并使得恢復(fù)信息f為定義1中的m元多項(xiàng)式，令l＝l∪a，直至遍歷結(jié)束；

90、輸出dh表示漢明距離，且該列表大小至多為l；

91、最終的輸出l即為譯碼列表。

92、結(jié)合上述的技術(shù)方案和解決的技術(shù)問(wèn)題，本發(fā)明所要保護(hù)的技術(shù)方案所具備的優(yōu)點(diǎn)及積極效果為：

93、第一，本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想的思想，增強(qiáng)了rm碼的性能。這種方法的關(guān)鍵優(yōu)點(diǎn)包括：

94、1.增強(qiáng)了檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力：該列表譯碼算法rmq(r,m)列表譯碼半徑達(dá)到了johnson界，使得該方法在面對(duì)傳輸錯(cuò)誤超過(guò)(d為rmq(r,m)的最小碼距)時(shí)，能夠有效地檢測(cè)錯(cuò)誤并輸出譯碼列表，增加檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力。

95、2.加速了rm碼編碼譯碼：本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想，將上的m變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題、將上的rm碼的列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼的列表譯碼，從而使得rm碼編碼以及列表譯碼復(fù)雜度達(dá)到擬線性水平，加快了編碼譯碼。

96、3.實(shí)現(xiàn)了任意r階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法：本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想，將上的rm碼列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼列表譯碼，從而實(shí)現(xiàn)了任意r階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法。

97、4.適用性廣泛：該方法適用于對(duì)編碼譯碼時(shí)間復(fù)雜度要求較高的工業(yè)通信領(lǐng)域或是各種需要高糾錯(cuò)能力的復(fù)雜信道的應(yīng)用場(chǎng)景，包括但不限于安全通信、敏感信息傳輸和隱寫術(shù)等領(lǐng)域。

98、本發(fā)明不僅體現(xiàn)了技術(shù)上的顯著進(jìn)步，而且還提供了一種對(duì)現(xiàn)有rm碼編碼譯碼的有效改進(jìn)和補(bǔ)充。通過(guò)實(shí)現(xiàn)這一方法，可以加速rm碼編碼以及列表譯碼，增強(qiáng)檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力，滿足日益增長(zhǎng)的對(duì)安全通信和應(yīng)對(duì)復(fù)雜信道需求。

99、第二，本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想的思想，不僅有效提高了之前rm碼檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力，還加速了rm碼編碼以及列表譯碼，實(shí)現(xiàn)了顯著的技術(shù)進(jìn)步。

100、提高之前rm碼檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力：該算法的列表譯碼算法rmq(r,m)列表譯碼半徑達(dá)到了johnson界，本發(fā)明提高了rm碼檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力。

101、加速rm碼編碼譯碼：該方法將編碼以及列表譯碼時(shí)間復(fù)雜度達(dá)到擬線性水平，從而加快了編碼譯碼。

102、實(shí)現(xiàn)了任意階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法：該算法實(shí)現(xiàn)了任意階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法。

103、適應(yīng)性強(qiáng)：本發(fā)明適用于各種參數(shù)的rm碼以及各種應(yīng)用場(chǎng)景。

104、技術(shù)創(chuàng)新：本發(fā)明的編碼譯碼方法是對(duì)現(xiàn)有rm碼編碼譯碼技術(shù)的有效補(bǔ)充和改進(jìn)，展示了在通信領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新。

105、第三，本發(fā)明的技術(shù)方案轉(zhuǎn)化后的預(yù)期收益和商業(yè)價(jià)值為：

106、將信息通過(guò)rm碼編碼，將其處在即為復(fù)雜的信道中，接收方進(jìn)行rm碼列表譯碼，這樣的操作可以提高之前rm碼檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力，加速rm碼編碼譯碼。該技術(shù)可以用于安全通信、敏感信息傳輸和隱寫術(shù)等領(lǐng)域。

107、本發(fā)明的技術(shù)方案填補(bǔ)了國(guó)內(nèi)外業(yè)內(nèi)技術(shù)空白：在此之前，任意階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法尚未被發(fā)現(xiàn)。為解決這一問(wèn)題，本發(fā)明基于上的多元多項(xiàng)式環(huán)與擴(kuò)展有限域上的單變量多項(xiàng)式環(huán)之間的變換思想，將上的m變量mpe問(wèn)題簡(jiǎn)化為擴(kuò)展域上的單變量mpe問(wèn)題、將上的rm碼的列表譯碼轉(zhuǎn)化為上的rs碼的列表譯碼，從而使得任意r階rm碼編碼以及列表譯碼復(fù)雜度達(dá)到擬線性水平。

108、本發(fā)明的技術(shù)方案解決了人們一直渴望解決、但始終未能獲得成功的技術(shù)難題：傳統(tǒng)任意階rm碼的擬線性時(shí)間算法尚未被發(fā)現(xiàn)，而該方法實(shí)現(xiàn)了任意階rm碼列表譯碼的擬線性時(shí)間算法。