本發(fā)明涉及結(jié)構(gòu)有限元模型修正技術(shù)。

背景技術(shù)：

在土木領(lǐng)域做結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的時(shí)候，通常都會(huì)建立有限元模型，而結(jié)構(gòu)基于設(shè)計(jì)圖紙建完之后，結(jié)構(gòu)的一些固有模態(tài)參數(shù)包含固有頻率，阻尼比，振型等與基于有限元建模計(jì)算得到的結(jié)果有明顯的區(qū)別。模型修正技術(shù)就是基于實(shí)測數(shù)據(jù)識別得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)來對有限元模型進(jìn)行修正，從而得到更為準(zhǔn)確的有限元模型，為之后的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、損傷識別等服務(wù)。

現(xiàn)有的技術(shù)有以下兩個(gè)問題：

第一個(gè)問題是在實(shí)際振動(dòng)測試過程中，傳感器的數(shù)目往往少于需要測試的測點(diǎn)的數(shù)目，然而目前尚無直接基于多次測試數(shù)據(jù)直接進(jìn)行模型修正的方法，傳統(tǒng)方法需要進(jìn)行多次獨(dú)立的數(shù)據(jù)處理，因而易產(chǎn)生誤差；或者只能進(jìn)行單次測試的模型修正，但受到傳感器數(shù)目的限制。

第二個(gè)問題是基于環(huán)境激勵(lì)下的振動(dòng)測試，輸入激勵(lì)是隨機(jī)激勵(lì)，因此輸出的模態(tài)參數(shù)具有一定的誤差并存在不確定性。傳統(tǒng)技術(shù)只能直接利用識別出的模態(tài)參數(shù)的值本身，而對模態(tài)參數(shù)存在的誤差及不確定性無法獲得，從而也就不能進(jìn)行利用。

另外，現(xiàn)有的基于振動(dòng)數(shù)據(jù)的模型修正技術(shù)，通常是基于固有頻率和振型兩種主要參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù)，但是在目標(biāo)函數(shù)中如何確定這兩種參數(shù)的權(quán)重是目前尚無法合理解決的問題，傳統(tǒng)方法往往通過經(jīng)驗(yàn)來確定。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明目的在于克服傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)，給出一種基于環(huán)境激勵(lì)數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，可實(shí)現(xiàn)對多次測試數(shù)據(jù)進(jìn)行直接的處理分析，可對多次測試得到的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行一次性輸入，模型修正結(jié)果直接輸出。本發(fā)明可以基于計(jì)算得到的兩種模態(tài)參數(shù)(固有頻率和振型)的不確定性來得到它們在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)，從而從根本上得到了目標(biāo)參數(shù)確定方法，無需人工經(jīng)驗(yàn)。

本發(fā)明技術(shù)方案可用來解決基于實(shí)際測試數(shù)據(jù)的有限元模型修正問題。

為此，本發(fā)明需要保護(hù)的技術(shù)方案表征為：

一種基于環(huán)境激勵(lì)數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，分兩個(gè)階段，

第一階段是對多次測試下采集的環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到每次測試測得的結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，并計(jì)算這些模態(tài)參數(shù)的不確定性，用協(xié)方差矩陣來表示。

第二個(gè)階段是基于多次測試得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣，基于貝葉斯理論構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過對目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，得到需要修正的有限元模型的模型參數(shù)的最優(yōu)值。

所述的基于環(huán)境激勵(lì)數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，總體構(gòu)建方法如下：

從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基本原理出發(fā)，考慮一個(gè)線彈性的結(jié)構(gòu)滿足以下的動(dòng)力方程：

這里M,C,K分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，W是外力向量。假設(shè)該結(jié)構(gòu)滿足經(jīng)典阻尼，結(jié)構(gòu)的加速度可以從下式得到：

這里，u_i是第i階全振型向量，是第i階模態(tài)的模態(tài)加速度響應(yīng)。剛度質(zhì)量的關(guān)系可以通過以下特征方程得到：

這里ω_i表示結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率。讓θ表示與結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。已知?jiǎng)偠群唾|(zhì)量矩陣，結(jié)構(gòu)的固有頻率和全振型理論上通過特征值分解得到。因此，構(gòu)建一個(gè)理論模型來進(jìn)行模型修正從而確定θ。

讓D＝{D_i:i＝1,...,n_s}表示多次測試得到的用來進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)識別的數(shù)據(jù)，其中D_i表示第i次測試得到的數(shù)據(jù)?；趦呻A段的模型修正公式和多次測試數(shù)據(jù)，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)θ的后驗(yàn)分布：

其中，p(θ)表示結(jié)構(gòu)參數(shù)的先驗(yàn)分布；由固有頻率和部分振型組成。由于可以通過有限元模型得到，其提供了在模型修正過程中第一階段和第二階段相互關(guān)聯(lián)的以下信息。條件概率密度函數(shù)表示給定結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的條件下，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的先驗(yàn)概率分布；表示綜合了多次測試數(shù)據(jù)的的邊緣后驗(yàn)分布，這里在第一階段的先驗(yàn)分布被認(rèn)為是均勻分布。假設(shè)有限元模型在預(yù)測結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的過程中不存在模型誤差，那么條件概率密度函數(shù)可以通過一個(gè)Dirac-Delta方程得到：

這里，

其中，和分別表示固有頻率和振型的理論解，它們可以通過解特征方程得到。

基于以上的推導(dǎo)的公式，當(dāng)忽略模型誤差時(shí)，p(θ|D)可以表示為只與有關(guān)。為了構(gòu)建二階段模型修正公式，接下來后驗(yàn)概率密度函數(shù)將通過利用環(huán)境激勵(lì)下多次測試數(shù)據(jù)信息得到。

公式(4)中的后驗(yàn)概率密度函數(shù)公式即為該發(fā)明的總體框架公式，包含兩個(gè)階段，即第一階段：貝葉斯模態(tài)識別；第二階段：基于第一階段得到的多次測試模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行貝葉斯模型修正。

所述的基于環(huán)境激勵(lì)數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，第一階段-貝葉斯模態(tài)識別,具體實(shí)現(xiàn)方法如下：

2.1數(shù)據(jù)采集

采集數(shù)據(jù)時(shí)，將加速度或者速度傳感器放在結(jié)構(gòu)上，結(jié)構(gòu)的激勵(lì)可來自于周圍的風(fēng)荷載、交通荷載、環(huán)境噪音及結(jié)構(gòu)中人員活動(dòng)等。在傳感器數(shù)目少于需要測試的測點(diǎn)數(shù)目時(shí)，通過多次測試完成。多次測試需要設(shè)置參考點(diǎn)，參考點(diǎn)位置以能采集到盡可能多的有效模態(tài)為原則。每次測試時(shí)間建議大于第一個(gè)周期長度的600倍。每次測試數(shù)據(jù)時(shí)間長度盡量保持一致。

2.2多次測試下貝葉斯模態(tài)識別目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

采集到的多次測試數(shù)據(jù)，分別進(jìn)行單次測試數(shù)據(jù)的模態(tài)識別完成，模態(tài)識別分兩部分進(jìn)行，首先基于貝葉斯方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值的識別，然后進(jìn)行模態(tài)參數(shù)后驗(yàn)不確定性的計(jì)算。將單次模態(tài)識別得到的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行收集，用于后期的模型修正。

貝葉斯模態(tài)識別方法基本原理是要識別的模態(tài)的快速傅里葉變換數(shù)據(jù)在對應(yīng)的頻域段內(nèi)可以很好的近似為一個(gè)高斯概率密度函數(shù)。通過最大化這個(gè)高斯分布函數(shù)，從而可以將模態(tài)參數(shù)得到。該方法簡單概述如下：

在第i個(gè)測試的加速度數(shù)據(jù)可以近似的模擬為：

其中是i次測試的理論加速度響應(yīng)，該響應(yīng)是通過將要識別的模態(tài)參數(shù)來構(gòu)建的。這些模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度，預(yù)測誤差的功率譜密度以及振型等。在公式(7)中，表示模型誤差，N_i表示樣本的數(shù)目，n_i表示單次測試自由度的數(shù)目。測試數(shù)據(jù)的快速傅里葉變化可以定義為：

這里，i²＝-1；Δt_i表示i次測試的樣本時(shí)間間隔；k＝1,...,N_qi；N_qi＝int[N_i/2]+1是奈奎斯特頻率的頻率指標(biāo)，int[.]表示整數(shù)部分。在i次測試中用來模態(tài)識別的數(shù)據(jù)D_i可以表示為

其中是在i次測試的快速傅里葉變換數(shù)據(jù){F_ik}在第r個(gè)頻域段數(shù)據(jù)的集合。n_B表示選擇的頻域段的數(shù)目?？梢酝耆_定的概率分布的模態(tài)參數(shù)可以表示為：

其中

分別表示在r個(gè)頻域段固有頻率和阻尼比的集合；是模態(tài)力的功率譜密度，其可以在一個(gè)頻域段內(nèi)假設(shè)為一個(gè)常數(shù)；是預(yù)測誤差的功率譜密度，其也可以在一個(gè)頻域段內(nèi)假設(shè)為一個(gè)常數(shù)。同時(shí)，

其中表示在第i次測試下第r個(gè)頻域段的第j階振型。

基于貝葉斯定理，給定第i次測試數(shù)據(jù)，的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以得到：

其中表示先驗(yàn)概率分布。假設(shè)先驗(yàn)信息滿足均勻分布，先驗(yàn)概率密度函數(shù)可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。因此后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以認(rèn)為直接跟似然函數(shù)成正比。當(dāng)N_i足夠大及Δt_i足夠小時(shí)，不同頻率的快速傅里葉變換可以證明其是近似獨(dú)立的，同時(shí)他們的實(shí)部和虛部被證明滿足高斯分布。因此似然函數(shù)可以寫為：

其中表示負(fù)對數(shù)似然函數(shù)，其可以通過以下公式得到：

這里‘*’表示復(fù)數(shù)的共軛轉(zhuǎn)置；

是在頻率f_k理論時(shí)的理論功率譜密度矩陣；是一個(gè)單位矩陣；表示在r個(gè)頻域段的模態(tài)正定轉(zhuǎn)換矩陣，其(p,q)單元可以從下式得到：

其中

公式(16)是貝葉斯模態(tài)識別的目標(biāo)函數(shù)，后續(xù)的最優(yōu)值可以通過最小化負(fù)對數(shù)似然函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。模態(tài)參數(shù)的協(xié)方差矩陣可以通過使其等于目標(biāo)函數(shù)(16)的漢森矩陣的逆來實(shí)現(xiàn)。

2.3算法實(shí)現(xiàn)：

通過MATLAB編程來實(shí)現(xiàn)以上貝葉斯模態(tài)識別方法，程序收斂后，可以識別模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，振型，阻尼比，模態(tài)力的功率譜及預(yù)測誤差的功率譜。若程序不收斂，需要重新選擇頻率段，進(jìn)行重復(fù)循環(huán)。其中固有頻率和振型以及其對應(yīng)的參數(shù)的協(xié)方差矩陣將用到后期的第二階段的貝葉斯模型修正。

總之，通過第一階段的步驟可完成以下工作：

對于每一次測試，i＝1,...,n_s，對于每一個(gè)頻域段，通過貝葉斯模態(tài)識別優(yōu)化計(jì)算模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值：和其對應(yīng)的后驗(yàn)協(xié)方差矩陣

所述的基于環(huán)境激勵(lì)數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，第二階段：貝葉斯模型修正，具體流程：

3.1構(gòu)建目標(biāo)結(jié)構(gòu)的有限元模型

建立目標(biāo)結(jié)構(gòu)的有限元模型，在后續(xù)的模型修正過程中，直接進(jìn)行調(diào)用。

3.2輸入模態(tài)參數(shù)及輸出模型參數(shù)的選擇。

選定第一階段獲得的需要輸入的多次測試得到的多組模態(tài)參數(shù)，盡可能將識別得到的所有模態(tài)用到，以提供最多的有效信息。同時(shí)根據(jù)有限元模型，選定需要修正的模型參數(shù)，模型參數(shù)數(shù)目需要根據(jù)測點(diǎn)信息及輸入模態(tài)信息相對應(yīng)，避免輸出過多參數(shù)，導(dǎo)致后期優(yōu)化過程中不收斂。

3.3構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)并優(yōu)化(貝葉斯模型修正后驗(yàn)概率密度函數(shù))

在這個(gè)部分，定義選擇矩陣，其可以將全局振型和在單次測試下得到的振型關(guān)聯(lián)起來，從而基于多次測試數(shù)據(jù)構(gòu)建模型參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。這里首先介紹如何得到后驗(yàn)概率密度函數(shù)，然后介紹如何將負(fù)對數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，從而方便進(jìn)行優(yōu)化。

3.3.1選擇矩陣

全局振型Φ^(r)可以通過定義一個(gè)選擇矩陣L_i來將其與i次測試時(shí)得到的振型關(guān)聯(lián)。這個(gè)矩陣中，當(dāng)自由度s在第r頻道被測到，那么(r,s)對應(yīng)的數(shù)值就等于1，其他值等于0.第i次測試的振型可以從以下公式得到：

為了方便，這個(gè)方法中，假設(shè)第i次測試的振型向量正則化為1。

3.3.2多次測試下模型參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)

讓α＝{α_i,i＝1,...,n_s}表示所有測試下的模態(tài)參數(shù)。基于貝葉斯理論，給定所有測試的數(shù)據(jù)，α的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以通過下式得到：

給定α，假設(shè)在多次測試下數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，因此

這里應(yīng)該注意到p(D_i|α)與其他測試時(shí)的參數(shù)無關(guān)，因此

p(D_i|α)＝p(D_i|α_i) (22)

從而

其中，

這里由i次測試得到的固有頻率和部分振型組成

其中f_i和Φ_i分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)所有頻率和阻尼比。參數(shù)υ_i由i次測試下剩下的其他模態(tài)參數(shù)組成，

υ_i＝{ζ_i,S_i,S_ei} (26)

其中ζ_i,S_i和S_ei分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度和預(yù)測誤差的功率譜密度。

因此，基于貝葉斯定理，公式(23)可以由下式得到：

因?yàn)閜(D)和p(D_i)可以認(rèn)為是常數(shù)，所以公式(27)可以重新寫為：

假設(shè)先驗(yàn)信息為均勻分布，可以得到：

因此，在第i次測試時(shí)，第一階段的模態(tài)參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)p₀(α_i|D_i)可以從下式得到：

其中可以通過公式(16)得到。

假設(shè)每個(gè)是在全局范圍內(nèi)可識別的，在i次測試下，在公式(30)中的每個(gè)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以很好的近似為一個(gè)高斯分布，其均值為最大可能值協(xié)方差矩陣為識別的模態(tài)參數(shù)協(xié)方差矩陣其分布可以寫為：

在i次測試下，的邊緣后驗(yàn)概率分布函數(shù)仍然是一個(gè)高斯分布，因此

其中和分別為的最優(yōu)值和協(xié)方差矩陣，其可以從對應(yīng)的和中的某一部分提取。

考慮多次測試下，基于公式(29)，我們可以得到：

其中

同時(shí)

假設(shè)固有頻率和振型可以完全由結(jié)構(gòu)模型參數(shù)決定，將(5)和(33)代入(4)，后驗(yàn)概率密度函數(shù)p(θ|D)可以表示為：

其中

這里表示在第r個(gè)頻域段由有限元模型計(jì)算得到的固有頻率，其中表示由有限元模型計(jì)算得到的對應(yīng)測試自由度的振型。

3.3.3負(fù)對數(shù)似然函數(shù)的重構(gòu)

由于振型存在著范數(shù)約束，在公式(37)中計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算問題，因此非常有必要在計(jì)算過程中通過計(jì)算矩陣的特征基來克服這個(gè)問題。經(jīng)過重構(gòu)，公式(37)可以寫為：

這里和分別是在i次測試下的r頻域段中的漢森矩陣的特征值和特征向量。通過重構(gòu)，不需要計(jì)算任何矩陣的逆。

基于目標(biāo)函數(shù)(39)，通過輸入模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣編寫程序，優(yōu)化使其達(dá)到最小值。若程序收斂，可以得到模型修正參數(shù)θ的最優(yōu)值；若程序不收斂，那么需要回到開始的地方，調(diào)整有限元模型及選擇模型修正參數(shù)進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直至程序收斂。

3.4結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性計(jì)算

在二次泰勒近似的情況下，當(dāng)θ達(dá)到最優(yōu)值時(shí)，后驗(yàn)協(xié)方差矩陣可以通過計(jì)算負(fù)對數(shù)似然函數(shù)的漢森矩陣的逆來得到，該漢森矩陣可以通過有限差分法來得到。從而我們可以實(shí)現(xiàn)評估得到的模型參數(shù)的不確定性。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，該方法主要有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

1)本發(fā)明的技術(shù)比傳統(tǒng)方法更加便捷，可以實(shí)現(xiàn)對多次測試數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，從而直接進(jìn)行處理分析，實(shí)現(xiàn)多次測試的模態(tài)參數(shù)一次性輸入，模型修正結(jié)果直接輸出，克服了傳統(tǒng)方法步驟繁瑣的缺點(diǎn)。同時(shí)，由于減少了操作步驟，從而減少計(jì)算過程中的誤差。

2)本發(fā)明目標(biāo)函數(shù)中，關(guān)于頻率和振型兩種參數(shù)的權(quán)重可以通過識別的模態(tài)參數(shù)的協(xié)方差矩陣來確定，從而克服了傳統(tǒng)方法確定目標(biāo)函數(shù)權(quán)重指數(shù)需要人工經(jīng)驗(yàn)確定的缺點(diǎn)，從理論根本上解決了這個(gè)問題。識別的模型參數(shù)比傳統(tǒng)方法更加準(zhǔn)確。

3)本發(fā)明與傳統(tǒng)技術(shù)相比，可以用較少的傳感器，通過設(shè)置參考點(diǎn)，來測量在實(shí)際模型修正過程中需要的大量測點(diǎn)，由于傳感器往往由于價(jià)格昂貴，而本發(fā)明節(jié)約了傳感器使用數(shù)目，因而其帶來了一定的經(jīng)濟(jì)效益。

4)本發(fā)明目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建中考慮了模型誤差和模態(tài)參數(shù)識別誤差的雙重影響，而傳統(tǒng)方法往往只能考慮其中之一的影響。

附圖說明

圖1：方法的總體框架圖

圖2：第一階段貝葉斯模態(tài)識別流程圖

圖3：第二階段貝葉斯模型修正流程圖

具體實(shí)施方式

本發(fā)明是基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基本原理，將實(shí)測數(shù)據(jù)與有限元得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)經(jīng)過推導(dǎo)，構(gòu)建后驗(yàn)概率密度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))。該函數(shù)包含多次測試的模態(tài)分析結(jié)果及識別模態(tài)參數(shù)的不確定性等，可以從理論上推導(dǎo)得到在目標(biāo)函數(shù)中固有頻率和振型兩種模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系。

該方法的總體框架圖如圖1所示，其分為兩個(gè)階段。本發(fā)明方法分兩個(gè)階段，

第一階段是對多次測試下采集的環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到每次測試測得的結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，并計(jì)算這些模態(tài)參數(shù)的不確定性，用協(xié)方差矩陣來表示。

第二個(gè)階段是基于多次測試得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣，基于貝葉斯理論構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過對目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，得到需要修正的有限元模型的模型參數(shù)的最優(yōu)值，同時(shí)可基于有限差分法計(jì)算模型參數(shù)的不確定性

以下結(jié)合附圖，對本發(fā)明方法過程詳述如下。

1.兩階段模型修正方法總體框架構(gòu)建如圖1所示，總體構(gòu)建方法如下：

該方法從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基本原理出發(fā)，考慮一個(gè)線彈性的結(jié)構(gòu)滿足以下的動(dòng)力方程：

這里M,C,K分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，W是外力向量。假設(shè)該結(jié)構(gòu)滿足經(jīng)典阻尼，結(jié)構(gòu)的加速度可以從下式得到：

這里，u_i是第i階全振型向量，是第i階模態(tài)的模態(tài)加速度響應(yīng)。剛度質(zhì)量的關(guān)系可以通過以下特征方程得到：

這里ω_i表示結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率。讓θ表示與結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果剛度和質(zhì)量矩陣都知道，那么結(jié)構(gòu)的固有頻率和全振型就都可以理論上通過特征值分解得到。因此，通過這個(gè)基本原理，我們可以構(gòu)建一個(gè)理論模型來進(jìn)行模型修正從而確定θ。

讓D＝{D_i:i＝1,...,n_s}表示多次測試得到的用來進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)識別的數(shù)據(jù)，其中D_i表示第i次測試得到的數(shù)據(jù)?；趦呻A段的模型修正公式和多次測試數(shù)據(jù)，我們可以得到結(jié)構(gòu)參數(shù)θ的后驗(yàn)分布：

其中，p(θ)表示結(jié)構(gòu)參數(shù)的先驗(yàn)分布；由固有頻率和部分振型組成。由于可以通過有限元模型得到，其提供了在模型修正過程中第一階段和第二階段相互關(guān)聯(lián)的信息。條件概率密度函數(shù)表示給定結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的條件下，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的先驗(yàn)概率分布；表示綜合了多次測試數(shù)據(jù)的的邊緣后驗(yàn)分布，這里在第一階段的先驗(yàn)分布被認(rèn)為是均勻分布。假設(shè)有限元模型在預(yù)測結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的過程中不存在模型誤差，那么條件概率密度函數(shù)可以通過一個(gè)Dirac-Delta方程得到：

這里，

其中，和分別表示固有頻率和振型的理論解，它們可以通過解特征方程得到。

基于以上的推導(dǎo)的公式，當(dāng)忽略模型誤差時(shí)，p(θ|D)可以表示為只與有關(guān)。為了構(gòu)建二階段模型修正公式，接下來后驗(yàn)概率密度函數(shù)將通過利用環(huán)境激勵(lì)下多次測試數(shù)據(jù)信息得到。

公式(4)中的后驗(yàn)概率密度函數(shù)公式即為該發(fā)明的總體框架公式，包含兩個(gè)階段，即第一階段：貝葉斯模態(tài)識別；第二階段：基于第一階段得到的多次測試模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行貝葉斯模型修正。具體實(shí)現(xiàn)方法如下：

2.第一階段-貝葉斯模態(tài)識別,如圖2所示

2.1數(shù)據(jù)采集

采集數(shù)據(jù)時(shí)，將加速度或者速度傳感器放在結(jié)構(gòu)上，結(jié)構(gòu)的激勵(lì)可來自于周圍的風(fēng)荷載、交通荷載、環(huán)境噪音及結(jié)構(gòu)中人員活動(dòng)等。在傳感器數(shù)目少于需要測試的測點(diǎn)數(shù)目時(shí)，通過多次測試完成。多次測試需要設(shè)置參考點(diǎn)，參考點(diǎn)位置以能采集到盡可能多的有效模態(tài)為原則。每次測試時(shí)間建議大于第一個(gè)周期長度的600倍。每次測試數(shù)據(jù)時(shí)間長度盡量保持一致。

2.2多次測試下貝葉斯模態(tài)識別目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

采集到的多次測試數(shù)據(jù)，分別進(jìn)行單次測試數(shù)據(jù)的模態(tài)識別完成，模態(tài)識別分兩部分進(jìn)行，首先基于貝葉斯方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值的識別，然后進(jìn)行模態(tài)參數(shù)后驗(yàn)不確定性的計(jì)算。將單次模態(tài)識別得到的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行收集，用于后期的模型修正。

貝葉斯模態(tài)識別方法基本原理是要識別的模態(tài)的快速傅里葉變換數(shù)據(jù)在對應(yīng)的頻域段內(nèi)可以很好的近似為一個(gè)高斯概率密度函數(shù)。通過最大化這個(gè)高斯分布函數(shù)，從而可以將模態(tài)參數(shù)得到。該方法簡單概述如下：

在第i個(gè)測試的加速度數(shù)據(jù)可以近似的模擬為：

其中是i次測試的理論加速度響應(yīng)，該響應(yīng)是通過將要識別的模態(tài)參數(shù)來構(gòu)建的。這些模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度，預(yù)測誤差的功率譜密度以及振型等。在公式(7)中，表示模型誤差，N_i表示樣本的數(shù)目，n_i表示單次測試自由度的數(shù)目。測試數(shù)據(jù)的快速傅里葉變化可以定義為：

這里，i²＝-1；Δt_i表示i次測試的樣本時(shí)間間隔；k＝1,...,N_qi；N_qi＝int[N_i/2]+1是奈奎斯特頻率的頻率指標(biāo)，int[.]表示整數(shù)部分。在i次測試中用來模態(tài)識別的數(shù)據(jù)D_i可以表示為

其中是在i次測試的快速傅里葉變換數(shù)據(jù){F_ik}在第r個(gè)頻域段數(shù)據(jù)的集合。n_B表示選擇的頻域段的數(shù)目?？梢酝耆_定的概率分布的模態(tài)參數(shù)可以表示為：

其中

分別表示在r個(gè)頻域段固有頻率和阻尼比的集合；是模態(tài)力的功率譜密度，其可以在一個(gè)頻域段內(nèi)假設(shè)為一個(gè)常數(shù)；是預(yù)測誤差的功率譜密度，其也可以在一個(gè)頻域段內(nèi)假設(shè)為一個(gè)常數(shù)。同時(shí)，

其中表示在第i次測試下第r個(gè)頻域段的第j階振型。

基于貝葉斯定理，給定第i次測試數(shù)據(jù)，的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以得到：

其中表示先驗(yàn)概率分布。假設(shè)先驗(yàn)信息滿足均勻分布，先驗(yàn)概率密度函數(shù)可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。因此后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以認(rèn)為直接跟似然函數(shù)成正比。當(dāng)N_i足夠大及Δt_i足夠小時(shí)，不同頻率的快速傅里葉變換可以證明其是近似獨(dú)立的，同時(shí)他們的實(shí)部和虛部被證明滿足高斯分布。因此似然函數(shù)可以寫為：

其中表示負(fù)對數(shù)似然函數(shù)，其可以通過以下公式得到：

這里‘*’表示復(fù)數(shù)的共軛轉(zhuǎn)置；

是在頻率f_k理論時(shí)的理論功率譜密度矩陣；是一個(gè)單位矩陣；表示在r個(gè)頻域段的模態(tài)正定轉(zhuǎn)換矩陣，其(p,q)單元可以從下式得到：

其中

公式(16)是貝葉斯模態(tài)識別的目標(biāo)函數(shù)，后續(xù)的最優(yōu)值可以通過最小化負(fù)對數(shù)似然函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。模態(tài)參數(shù)的協(xié)方差矩陣可以通過使其等于目標(biāo)函數(shù)(16)的漢森矩陣的逆來實(shí)現(xiàn)。

2.3算法實(shí)現(xiàn)：

通過MATLAB編程來實(shí)現(xiàn)以上貝葉斯模態(tài)識別方法，程序收斂后，可以識別模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，振型，阻尼比，模態(tài)力的功率譜及預(yù)測誤差的功率譜。若程序不收斂，需要重新選擇頻率段，進(jìn)行重復(fù)循環(huán)。其中固有頻率和振型以及其對應(yīng)的參數(shù)的協(xié)方差矩陣將用到后期的第二階段的貝葉斯模型修正。

總之，通過第一階段的步驟可完成以下工作：

對于每一次測試，i＝1,...,n_s，對于每一個(gè)頻域段，通過貝葉斯模態(tài)識別優(yōu)化計(jì)算模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值：和其對應(yīng)的后驗(yàn)協(xié)方差矩陣

3第二階段：貝葉斯模型修正，具體流程如圖3所示

3.1構(gòu)建目標(biāo)結(jié)構(gòu)的有限元模型

利用計(jì)算軟件MATLAB或者有限元分析軟件ANASYS等，建立目標(biāo)結(jié)構(gòu)的有限元模型，在后續(xù)的模型修正過程中，方便直接進(jìn)行調(diào)用。

3.2輸入模態(tài)參數(shù)及輸出模型參數(shù)的選擇。

選定第一階段獲得的需要輸入的多次測試得到的多組模態(tài)參數(shù)，盡可能將識別得到的所有模態(tài)用到，以提供最多的有效信息。同時(shí)根據(jù)有限元模型，選定需要修正的模型參數(shù)，模型參數(shù)數(shù)目需要根據(jù)測點(diǎn)信息及輸入模態(tài)信息相對應(yīng)，避免輸出過多參數(shù)，導(dǎo)致后期優(yōu)化過程中不收斂。

3.3構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)并優(yōu)化(貝葉斯模型修正后驗(yàn)概率密度函數(shù))

在這個(gè)部分，定義選擇矩陣，其可以將全局振型和在單次測試下得到的振型關(guān)聯(lián)起來，從而基于多次測試數(shù)據(jù)構(gòu)建模型參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。這里首先介紹如何得到后驗(yàn)概率密度函數(shù)，然后介紹如何將負(fù)對數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，從而方便進(jìn)行優(yōu)化。

3.3.1選擇矩陣

全局振型Φ^(r)可以通過定義一個(gè)選擇矩陣L_i來將其與i次測試時(shí)得到的振型關(guān)聯(lián)。這個(gè)矩陣中，當(dāng)自由度s在第r頻道被測到，那么(r,s)對應(yīng)的數(shù)值就等于1，其他值等于0.第i次測試的振型可以從以下公式得到：

為了方便，這個(gè)方法中，假設(shè)第i次測試的振型向量正則化為1。

3.3.2多次測試下模型參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)

讓α＝{α_i,i＝1,...,n_s}表示所有測試下的模態(tài)參數(shù)。基于貝葉斯理論，給定所有測試的數(shù)據(jù)，α的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以通過下式得到：

給定α，假設(shè)在多次測試下數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，因此

這里應(yīng)該注意到p(D_i|α)與其他測試時(shí)的參數(shù)無關(guān)，因此

p(D_i|α)＝p(D_i|α_i) (22)

從而

其中，

這里由i次測試得到的固有頻率和部分振型組成

其中f_i和Φ_i分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)所有頻率和阻尼比。參數(shù)υ_i由i次測試下剩下的其他模態(tài)參數(shù)組成，

υ_i＝{ζ_i,S_i,S_ei} (26)

其中ζ_i,S_i和S_ei分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度和預(yù)測誤差的功率譜密度。

因此，基于貝葉斯定理，公式(23)可以由下式得到：

因?yàn)閜(D)和p(D_i)可以認(rèn)為是常數(shù)，所以公式(27)可以重新寫為：

假設(shè)先驗(yàn)信息為均勻分布，可以得到：

因此，在第i次測試時(shí)，第一階段的模態(tài)參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)p₀(α_i|D_i)可以從下式得到：

其中可以通過公式(16)得到。

假設(shè)每個(gè)是在全局范圍內(nèi)可識別的，在i次測試下，在公式(30)中的每個(gè)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以很好的近似為一個(gè)高斯分布，其均值為最大可能值協(xié)方差矩陣為識別的模態(tài)參數(shù)協(xié)方差矩陣其分布可以寫為：

在i次測試下，的邊緣后驗(yàn)概率分布函數(shù)仍然是一個(gè)高斯分布，因此

其中和分別為的最優(yōu)值和協(xié)方差矩陣，其可以從對應(yīng)的和中的某一部分提取。

考慮多次測試下，基于公式(29)，我們可以得到：

其中

同時(shí)

假設(shè)固有頻率和振型可以完全由結(jié)構(gòu)模型參數(shù)決定，將(5)和(33)代入(4)，后驗(yàn)概率密度函數(shù)p(θ|D)可以表示為：

其中

這里表示在第r個(gè)頻域段由有限元模型計(jì)算得到的固有頻率，其中表示由有限元模型計(jì)算得到的對應(yīng)測試自由度的振型。

3.3.3負(fù)對數(shù)似然函數(shù)的重構(gòu)

由于振型存在著范數(shù)約束，在公式(37)中計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算問題，因此非常有必要在計(jì)算過程中通過計(jì)算矩陣的特征基來克服這個(gè)問題。經(jīng)過重構(gòu)，公式(37)可以寫為：

這里和分別是在i次測試下的r頻域段中的漢森矩陣的特征值和特征向量。通過重構(gòu)，不需要計(jì)算任何矩陣的逆。

基于目標(biāo)函數(shù)(39)，通過輸入模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣編寫程序，優(yōu)化使其達(dá)到最小值。若程序收斂，可以得到模型修正參數(shù)θ的最優(yōu)值；若程序不收斂，那么需要回到開始的地方，調(diào)整有限元模型及選擇模型修正參數(shù)進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直至程序收斂。

3.4結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性計(jì)算

在二次泰勒近似的情況下，當(dāng)θ達(dá)到最優(yōu)值時(shí)，后驗(yàn)協(xié)方差矩陣可以通過計(jì)算負(fù)對數(shù)似然函數(shù)的漢森矩陣的逆來得到，該漢森矩陣可以通過有限差分法來得到。從而我們可以實(shí)現(xiàn)評估得到的模型參數(shù)的不確定性。

本發(fā)明為本領(lǐng)域貢獻(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)：

1)貝葉斯模型修正目標(biāo)函數(shù)的推導(dǎo)過程。

2)基于多次測試數(shù)據(jù)用有限傳感器覆蓋盡可能多測點(diǎn)并進(jìn)行模態(tài)識別和模型修正的理念；

3)基于模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值和其不確定性的多次測試貝葉斯模型修正目標(biāo)函數(shù)。