技術特征：

1.一種基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，分兩個階段，

第一階段是對多次測試下采集的環(huán)境激勵下結構加速度數(shù)據(jù)進行分析，得到每次測試測得的結構的固有頻率和振型，并計算這些模態(tài)參數(shù)的不確定性，用協(xié)方差矩陣來表示；

第二個階段是基于多次測試得到的結構模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣，基于貝葉斯理論構建目標函數(shù)，通過對目標函數(shù)的優(yōu)化，得到需要修正的有限元模型的模型參數(shù)的最優(yōu)值。

2.如權利要求1所述的基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，總體構建方法如下：

從結構動力學的基本原理出發(fā)，考慮一個線彈性的結構滿足以下的動力方程：

$M\stackrel{\·\·}{x}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{x}\left(t\right)+Kx\left(t\right)=W\left(t\right)---\left(1\right)$

這里M,C,K分別表示結構的質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，W是外力向量。假設該結構滿足經(jīng)典阻尼，結構的加速度可以從下式得到：

$\stackrel{\·\·}{x}\left(t\right)=\underset{i}{\Σ}{u}_i{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_i\left(t\right)---\left(2\right)$

這里，u_i是第i階全振型向量，是第i階模態(tài)的模態(tài)加速度響應。剛度質(zhì)量的關系可以通過以下特征方程得到：

${\mathrm{Ku}}_i={\mathrm{\ω}}_i^2{\mathrm{Mu}}_i---\left(3\right)$

這里ω_i表示結構的第i階固有頻率。讓θ表示與結構的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M相關的結構參數(shù)。已知剛度和質(zhì)量矩陣，結構的固有頻率和全振型理論上通過特征值分解得到。因此，構建一個理論模型來進行模型修正從而確定θ。

讓D＝{D_i:i＝1,...,n_s}表示多次測試得到的用來進行結構模態(tài)識別的數(shù)據(jù)，其中D_i表示第i次測試得到的數(shù)據(jù)。基于兩階段的模型修正公式和多次測試數(shù)據(jù)，得到結構參數(shù)θ的后驗分布：

其中，p(θ)表示結構參數(shù)的先驗分布；由固有頻率和部分振型組成。由于可以通過有限元模型得到，其提供了在模型修正過程中第一階段和第二階段相互關聯(lián)的以下信息。條件概率密度函數(shù)表示給定結構模型參數(shù)的條件下，結構模態(tài)參數(shù)的先驗概率分布；表示綜合了多次測試數(shù)據(jù)的的邊緣后驗分布，這里在第一階段的先驗分布被認為是均勻分布。假設有限元模型在預測結構模態(tài)參數(shù)的過程中不存在模型誤差，那么條件概率密度函數(shù)可以通過一個Dirac-Delta方程得到：

這里，

其中，和分別表示固有頻率和振型的理論解，它們可以通過解特征方程得到。

3.如權利要求2所述的基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，基于以上的推導，當忽略模型誤差時，p(θ|D)可以表示為只與有關。所述后驗概率密度函數(shù)將通過利用環(huán)境激勵下多次測試數(shù)據(jù)信息得到，為總體框架公式。

4.如權利要求1或者2所述的基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，第一階段-貝葉斯模態(tài)識別,具體實現(xiàn)方法如下：

2.1數(shù)據(jù)采集

采集數(shù)據(jù)時，將加速度或者速度傳感器放在結構上，結構的激勵可來自于周圍的風荷載、交通荷載、環(huán)境噪音及結構中人員活動。在傳感器數(shù)目少于需要測試的測點數(shù)目時，通過多次測試完成。

2.2多次測試下貝葉斯模態(tài)識別目標函數(shù)構建

采集到的多次測試數(shù)據(jù)，分別進行單次測試數(shù)據(jù)的模態(tài)識別完成，模態(tài)識別分兩部分進行，首先基于貝葉斯方法進行模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值的識別，然后進行模態(tài)參數(shù)后驗不確定性的計算。將單次模態(tài)識別得到的模態(tài)參數(shù)進行收集，用于后期的模型修正。

貝葉斯模態(tài)識別方法基本原理是要識別的模態(tài)的快速傅里葉變換數(shù)據(jù)在對應的頻域段內(nèi)可以很好的近似為一個高斯概率密度函數(shù)。通過最大化這個高斯分布函數(shù)，從而可以將模態(tài)參數(shù)得到。該方法如下：

在第i個測試的加速度數(shù)據(jù)可以近似的模擬為：

${\stackrel{\·\·}{y}}_{ij}={\stackrel{\·\·}{x}}_{ij}+e_{ij}---\left(7\right)$

其中是i次測試的理論加速度響應，該響應是通過將要識別的模態(tài)參數(shù)來構建的。這些模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度，預測誤差的功率譜密度以及振型等。在公式(7)中，表示模型誤差，N_i表示樣本的數(shù)目，n_i表示單次測試自由度的數(shù)目。測試數(shù)據(jù)的快速傅里葉變化可以定義為：

$F_{ik}=\sqrt{\frac{2{\mathrm{\Δt}}_i}{N_i}}\underset{j=1}{\overset{N_1}{\Σ}}{\stackrel{\·\·}{y}}_k\exp \[-2\mathrm{\π}i\frac{(k-1)(j-1)}{N_i}\]---\left(8\right)$

這里，i²＝-1；Δt_i表示i次測試的樣本時間間隔；k＝1,...,N_qi；N_qi＝int[N_i/2]+1是奈奎斯特頻率的頻率指標，int[.]表示整數(shù)部分。在i次測試中用來模態(tài)識別的數(shù)據(jù)D_i可以表示為

$D_i=\{D_i^{\left(r\right)}:r=1,\mathrm{...},n_B\}---\left(9\right)$

其中是在i次測試的快速傅里葉變換數(shù)據(jù){F_ik}在第r個頻域段數(shù)據(jù)的集合。n_B表示選擇的頻域段的數(shù)目?？梢酝耆_定的概率分布的模態(tài)參數(shù)可以表示為：

${\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}=\[f_i^{\left(r\right)},{\mathrm{\Φ}}_i^{\left(r\right)},{\mathrm{\ζ}}_i^{\left(r\right)},S_i^{\left(r\right)},S_{ei}^{\left(r\right)}\]---\left(10\right)$

其中

$f_i^{\left(r\right)}=\[f_{i1}^{\left(r\right)},\mathrm{...},f_{{\mathrm{im}}_r}^{\left(r\right)}\]\∈R^{m_r}---\left(11\right)$

${\mathrm{\ζ}}_i^{\left(r\right)}=\[{\mathrm{\ζ}}_{i1}^{\left(r\right)},\mathrm{...},{\mathrm{\ζ}}_{{\mathrm{im}}_r}^{\left(r\right)}\]\∈R^{m_r}---\left(12\right)$

分別表示在r個頻域段固有頻率和阻尼比的集合；是模態(tài)力的功率譜密度，其可以在一個頻域段內(nèi)假設為一個常數(shù)；是預測誤差的功率譜密度，其也可以在一個頻域段內(nèi)假設為一個常數(shù)。同時，

${\mathrm{\Φ}}_i^{\left(r\right)}=\[{\mathrm{\Φ}}_{i1}^{\left(r\right)},\mathrm{...},{\mathrm{\Φ}}_{{\mathrm{im}}_r}^{\left(r\right)}\]\∈R^{n_i\×m_r}---\left(13\right)$

其中表示在第i次測試下第r個頻域段的第j階振型。

基于貝葉斯定理，給定第i次測試數(shù)據(jù)，的后驗概率密度函數(shù)可以得到：

$p\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right|D_i^{\left(r\right)})\∝p\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right)p\left(D_i^{\left(r\right)}\right|{\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)})---\left(14\right)$

其中表示先驗概率分布。假設先驗信息滿足均勻分布，先驗概率密度函數(shù)可以認為是一個常數(shù)。因此后驗概率密度函數(shù)可以認為直接跟似然函數(shù)成正比。當N_i足夠大及Δt_i足夠小時，不同頻率的快速傅里葉變換可以證明其是近似獨立的，同時他們的實部和虛部被證明滿足高斯分布。因此似然函數(shù)可以寫為：

$p\left(D_i^{\left(r\right)}\right|{\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)})\∝\exp \[-L_i^{\left(r\right)}\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right)\]---\left(15\right)$

其中表示負對數(shù)似然函數(shù)，其可以通過以下公式得到：

$L_i^{\left(r\right)}\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right)=\underset{k\∈I_r}{\Σ}\[ln\left|E_{ik}^{\left(r\right)}\right|+F_{ik}^{*}{E}_{ik}^{\left(r\right)-1}{F}_{ik}\]---\left(16\right)$

這里‘*’表示復數(shù)的共軛轉置；

$E_{ik}^{\left(r\right)}={\mathrm{\Φ}}_i^{\left(r\right)}{H}_{ik}^{\left(r\right)}{\mathrm{\Φ}}_i^{\left(r\right)T}+S_{ei}^{\left(r\right)}{I}_{n_i}\∈C^{n_i\×n_i}---\left(17\right)$

是在頻率f_k理論時的理論功率譜密度矩陣；是一個單位矩陣；表示在r個頻域段的模態(tài)正定轉換矩陣，其(p,q)單元可以從下式得到：

$H_{ik}^{\left(r\right)}(p,q)=S_i^{\left(r\right)}(p,q){\[({\mathrm{\β}}_{ipk}^{\left(r\right)2}-1)+i\left(2{\mathrm{\ζ}}_{ip}^{\left(r\right)}{\mathrm{\β}}_{ipk}^{\left(r\right)}\right)\]}^{-1}{\[({\mathrm{\β}}_{iqk}^{\left(r\right)2}-1)-i\left(2{\mathrm{\ζ}}_{iq}^{\left(r\right)}{\mathrm{\β}}_{iqk}^{\left(r\right)}\right)\]}^{-1}---\left(18\right)$

其中

2.3算法實現(xiàn)：

通過MATLAB編程來實現(xiàn)以上貝葉斯模態(tài)識別方法，程序收斂后，可以識別模態(tài)參數(shù)包括固有頻率，振型，阻尼比，模態(tài)力的功率譜及預測誤差的功率譜。若程序不收斂，需要重新選擇頻率段，進行重復循環(huán)。其中固有頻率和振型以及其對應的參數(shù)的協(xié)方差矩陣將用到后期的第二階段的貝葉斯模型修正。

5.如權利要求4所述的基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，通過第一階段的步驟完成以下工作：

對于每一次測試，i＝1,...,n_s，對于每一個頻域段，通過貝葉斯模態(tài)識別優(yōu)化計算模態(tài)參數(shù)最優(yōu)值：和其對應的后驗協(xié)方差矩陣

6.如權利要求1或者2所述的基于環(huán)境激勵數(shù)據(jù)的多次測試下貝葉斯模型修正方法，其特征在于，第二階段：貝葉斯模型修正，具體流程：

3.1構建目標結構的有限元模型

建立目標結構的有限元模型，在后續(xù)的模型修正過程中，直接進行調(diào)用。

3.2輸入模態(tài)參數(shù)及輸出模型參數(shù)的選擇。

選定第一階段獲得的需要輸入的多次測試得到的多組模態(tài)參數(shù)，同時根據(jù)有限元模型，選定需要修正的模型參數(shù)，模型參數(shù)數(shù)目需要根據(jù)測點信息及輸入模態(tài)信息相對應。

3.3構建目標函數(shù)并優(yōu)化(貝葉斯模型修正后驗概率密度函數(shù))

定義選擇矩陣，將全局振型和在單次測試下得到的振型關聯(lián)起來，從而基于多次測試數(shù)據(jù)構建模型參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)。

3.3.1選擇矩陣

全局振型Φ^(r)可以通過定義一個選擇矩陣L_i來將其與i次測試時得到的振型關聯(lián)。這個矩陣中，當自由度s在第r頻道被測到，那么(r,s)對應的數(shù)值就等于1，其他值等于0.第i次測試的振型可以從以下公式得到：

${\mathrm{\Φ}}_i^{\left(r\right)}=L_i{\mathrm{\Φ}}^{\left(r\right)}---\left(19\right)$

假設第i次測試的振型向量正則化為1。

3.3.2多次測試下模型參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)

讓α＝{α_i,i＝1,...,n_s}表示所有測試下的模態(tài)參數(shù)?；谪惾~斯理論，給定所有測試的數(shù)據(jù)，α的后驗概率密度函數(shù)可以通過下式得到：

$p\left(\mathrm{\α}\right|D)=\frac{p\left(\mathrm{\α}\right)}{p\left(D\right)}p\left(D\right|\mathrm{\α})=\frac{p\left(\mathrm{\α}\right)}{p\left(D\right)}p\left(\right\{D_1,D_2,\mathrm{...},D_{n_s}\left\}\right|\mathrm{\α})---\left(20\right)$

給定α，假設在多次測試下數(shù)據(jù)在統(tǒng)計上是獨立的，因此

$p\left(\right\{D_1,D_2,\mathrm{...}{D}_{n_s}\left\}\right|\mathrm{\α})=p\left(D_1\right|\mathrm{\α})p\left(D_2\right|\mathrm{\α}),\mathrm{...},p\left(D_{n_s}\right|\mathrm{\α})---\left(21\right)$

這里應該注意到p(D_i|α)與其他測試時的參數(shù)無關，因此

p(D_i|α)＝p(D_i|α_i) (22)

從而

$p\left(\mathrm{\α}\right|D)=\frac{p\left(\mathrm{\α}\right)}{p\left(D\right)}\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}p\left(D_i\right|{\mathrm{\α}}_i)---\left(23\right)$

其中，

這里由i次測試得到的固有頻率和部分振型組成

其中f_i和Φ_i分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)所有頻率和阻尼比。參數(shù)υ_i由i次測試下剩下的其他模態(tài)參數(shù)組成，

υ_i＝{ζ_i,S_i,S_ei} (26)

其中ζ_i,S_i和S_ei分別表示在i次測試下所有選擇的頻率段內(nèi)阻尼比，模態(tài)力的功率譜密度和預測誤差的功率譜密度。

因此，基于貝葉斯定理，公式(23)可以由下式得到：

$p\left(\mathrm{\α}\right|D)=\frac{p\left(\mathrm{\α}\right)}{p\left(D\right)}\[\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}\frac{p\left(D_i\right)}{p\left({\mathrm{\α}}_i\right)}\]\[\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}p\left({\mathrm{\α}}_i\right|D_i)\]---\left(27\right)$

因為p(D)和p(D_i)可以認為是常數(shù)，所以公式(27)可以重新寫為：

$p\left(\mathrm{\α}\right|D)\∝\frac{p\left(\mathrm{\α}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}p\left({\mathrm{\α}}_i\right)}\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}p\left({\mathrm{\α}}_i\right|D_i)---\left(28\right)$

假設先驗信息為均勻分布，可以得到：

$p\left(\mathrm{\α}\right|D)\∝\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Π}}p\left({\mathrm{\α}}_i\right|D_i)---\left(29\right)$

因此，在第i次測試時，第一階段的模態(tài)參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)p₀(α_i|D_i)可以從下式得到：

$p_0\left({\mathrm{\α}}_r\right|D_i)\∝\underset{r=1}{\overset{n_B}{\Π}}{p}_0\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right|D_i^{\left(r\right)})\∝\exp \[-\underset{r=1}{\overset{n_B}{\Σ}}{L}_i^{\left(r\right)}\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right)\]---\left(30\right)$

其中可以通過公式(16)得到。

假設每個是在全局范圍內(nèi)可識別的，在i次測試下，在公式(30)中的每個的后驗概率密度函數(shù)可以很好的近似為一個高斯分布，其均值為最大可能值協(xié)方差矩陣為識別的模態(tài)參數(shù)協(xié)方差矩陣其分布可以寫為：

$p_0\left({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)}\right|D_i^{\left(r\right)})=\mathrm{\φ}({\mathrm{\α}}_i^{\left(r\right)};{\widehat{\mathrm{\α}}}_i^{\left(r\right)},{\hat{C}}_i^{\left(r\right)})---\left(31\right)$

在i次測試下，的邊緣后驗概率分布函數(shù)仍然是一個高斯分布，因此

其中和分別為的最優(yōu)值和協(xié)方差矩陣，其可以從對應的和中的某一部分提取。

考慮多次測試下，基于公式(29)，可以得到：

其中

同時

假設固有頻率和振型可以完全由結構模型參數(shù)決定，將(5)和(33)代入(4)，后驗概率密度函數(shù)p(θ|D)可以表示為：

其中

這里表示在第r個頻域段由有限元模型計算得到的固有頻率，其中表示由有限元模型計算得到的對應測試自由度的振型。

3.3.3負對數(shù)似然函數(shù)的重構

由于振型存在著范數(shù)約束，在公式(37)中計算時會出現(xiàn)數(shù)值計算問題，為此，在計算過程中通過計算矩陣的特征基。經(jīng)過重構，公式(37)可以寫為：

這里和分別是在i次測試下的r頻域段中的漢森矩陣的特征值和特征向量。通過重構，不需要計算任何矩陣的逆。

基于目標函數(shù)(39)，通過輸入模態(tài)參數(shù)及其協(xié)方差矩陣編寫程序，優(yōu)化使其達到最小值。若程序收斂，可以得到模型修正參數(shù)θ的最優(yōu)值；若程序不收斂，那么需要回到開始的地方，調(diào)整有限元模型及選擇模型修正參數(shù)進行循環(huán)計算，直至程序收斂。

3.4結構模型參數(shù)不確定性計算

在二次泰勒近似的情況下，當θ達到最優(yōu)值時，后驗協(xié)方差矩陣可以通過計算負對數(shù)似然函數(shù)的漢森矩陣的逆來得到，該漢森矩陣可以通過有限差分法來得到，實現(xiàn)評估得到的模型參數(shù)的不確定性。